河南省信阳市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题

2024-2025学年下学期高一期末质量监测

数学试题

本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考

证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸

和答题卡的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

5

1.已知复数z与2i互为共轭复数，则复数z的虚部为（）

A.1B.iC.1D.i

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的除法运算化简，结合共轭复数的概念即可求得答案.

552i

【详解】由题意可得2i，

2i2i2i

5

因为z与互为共轭复数，

2i

所以z2i，即z的虚部为1，

故选：A.

2.下列命题中正确的是（）

A.若直线a上有无数个点不在平面内，则a//

B.若直线a//平面，则直线a与平面内的任意一条直线都平行

C.若直线a//直线b，直线b//平面，则直线a//平面

D.若直线a//平面，则直线a与平面内的任意一条直线都没有公共点

【答案】D

【解析】

【分析】对于A，由线面位置关系的定义判断，对于B，由线面平行的性质判断，对于C，由线面平行的判

定定理判断，对于D，由线面平行的定义判断

【详解】对于A，当直线a与平面相交于点P时，除了点P外，直线上的无数个点都不在平面内，所

以A错误，

对于B，当直线a//平面时，直线a与平面内直线平行或异面，所以B错误，

对于C，当直线a//直线b，直线b//平面，则直线a//平面，或直线a在平面内，所以C错误，

对于D，当直线a//平面时，则直线a与平面无公共点，所以直线a与平面内的任意一条直线都没

有公共点，所以D正确，

故选：D

3.设平面向量a(4,2),b(m,1)，若a与b不能作为平面向量的一组基底，则ab（）

A.2B.10C.6D.0

【答案】B

【解析】

【分析】由条件，结合基底的定义列方程可求m，再由数量积的坐标表示求ab.

【详解】因为a与b不能作为平面向量的一组基底，

所以a//b，又a4,2，bm,1，

所以412m，故m2，所以b2,1，

所以ab422110.

故选：B.

4.如图，在ABC中，点D是BC的中点，AE3ED，则BE（）

2121

A.ABACB.ABAC

3333

5353

C.ABACD.ABAC

8888

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量基本定理得到答案.

【详解】点D是BC的中点，AE3ED，

33153

BEBAAEBAADABABACABAC．

44288

故选：D．

5.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（）

A.若m，nm，则n∥B.若m，n，∥，则m∥n

C.若，n∥，则nD.若m，n，∥，则mn

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线、平面间的位置关系判断.

【详解】若m，nm，则n∥或n，选项A错误；

若m，n，则m与n平行，相交或异面，选项B错误；

若，n∥，则n，或n，或n，选项C错误；

若m，n，∥，选项D正确．首先得m，n，由线面平行的性质定理知内有直线c//n，

而cm，所以mn，D正确.

故选:D．

2

6.数据x1,x2,x3,x10的平均数为x4，方差s6.4，现在增加两个数据2和6，则这组新数据的标准

差为（）

A.0.8B.6C.6.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据平均数的计算公式求出新数据的平均数，再根据方差的计算公式求出新数据的方差，最后根

据标准差与方差的关系求出新数据的标准差.

的2

【详解】数据x1,x2,x3,x10平均数为x4，方差s6.4

即，2222

x1x2x3x1041040x14x24x34x1046.41064

x1x2x3x1026

则数据x1,x2,x3,x10，2，6的平均数为4

12

222222648

方差S2x4x4x4x424646

1231012

标准差为6．

故选B．

7.将一个直角边长分别为3，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥

内切球的体积为（）

9

A.B.9C.25D.27

2

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得内切球半径即为圆锥轴截面内切圆半径，据此可得答案.

【详解】由题知所得圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，

该圆锥内切球半径即为圆锥轴截面半径.

113

设圆锥内切球的半径为r，则圆锥轴截面面积为556r64，得r．

222

4πr39π

所以，球的体积V．

32

故选：A．

8.已知非零向量a，b的夹角为锐角，c为b在a方向上的投影向量，且c2a2，设bca与b的

夹角为，则cos的最小值为（）

32326

A.B.C.D.10

255

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得c2a，a1，从而可得bcaab，ab2，设bx，根据向量的夹角公

式及基本不等式求解即可.

【详解】解：因为c2a，c为b在a方向上的投影向量，

所以c2a，

112

则bcaab，abcbc2，

22

设bx，

由题意可得a1，

22

则abab5x2，abb2x，

3232

22x2x

abb2x2226

cos

则2，

abb2322325

5xx5xx5xx

22

2

3

当且仅当5x2x2，即x10时，取等号．

2

故选：C．

【点睛】难点点睛：本题的难点是在利用基本不等式求夹角余弦的最小值时，对等式的适当变形.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．

9.已知复数z2mimR，z11iz，则下列说法正确的是（）

A.若z1在复平面对应的点位于第二象限，则m2

B.若z1为纯虚数，则m2

C.z的最小值为2

D.存在mR，使z1与z互为共轭复数

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，由复数几何意义可判断选项正误；对于B，由纯虚数概念可判断选项正误；对于C，由复

数模计算公式可得答案；对于D，由共轭复数概念结合题意可判断选项正误.

【详解】对于A，z11iz1i2mi2mm2i，若z1在复平面对应的点位于第二象

2m0,

限，则解得m2，选项A正确；

m20,

2m0,

对于B，若z1为纯虚数，则解得m2，选项B错误；

m20,

2

对于C，z2m22，当m0时取等号，选项C正确；

22m,

对于D，若z1与z互为共轭复数，则无解，选项D错误．

mm2,

故选：AC．

10.如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P为线段B1C1上的动点，则下列结论中正确的是（）

2

A.点A到平面A1BC的距离为B.平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1P

2

C.三棱锥P﹣A1BC的体积为定值D.二面角A1-BC-A的大小为

4

【答案】BC

【解析】

【分析】根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

12

【详解】A选项，四边形ABB1A1是正方形，所以AB1A1B，所以AMAB,AMAB，

1212

2

但AM与BC不垂直，所以AM与平面A1BC不垂直，所以A到平面A1BC的距离不是，A选项错误.

2

B选项，根据三棱柱的性质可知，平面ABC//平面A1B1C1，所以A1P//平面ABC，

设平面A1PC与平面ABC的交线为l，根据线面平行的性质定理可知A1P//l，B选项正确.

C选项，由于B1C1//BC,B1C1平面A1BC,BC平面A1BC，所以B1C1//平面A1BC.所以P到平面A1BC

的距离为定值，所以三棱锥PA1BC的体积为定值，C选项正确.

D选项，设Q是BC的中点，由于A1CA1B,ACAB，所以A1QBC,AQBC，所以二面角

ABCA的平面角为AQA，由于AAAQ，所以AQA，D选项错误.

11114

故选：BC

11.在锐角ABC中，设a，b，c分别表示角A，B，C对边，a1，bcosAcosB1，则下列选项

正确的有（）

A.B2A

B.b的取值范围是2,2

327

C.当b时ABC的外接圆半径为

27

23

D.若当A,B变化时，sinB2sinA存在最大值，则正数的取值范围为0,

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】由a1对bcosAcosB1进行化简得bcosAacosBa，在利用正弦定理可以推出B2A；

再由ABC为锐角三角形化简出A的取值范围，且根据正弦定理化简出b2cosA可判断出b的取值范围；

3

同样根据b，加上b2cosA，求出sinA，再利用正弦定理即可求出ABC的外接圆半径；由A的

2

取值范围，且对sinB2sin2A进行化简得12sin(2A)，且tan，当sinB2sin2A

π1

取到最大值时转化成tantan(2A)求出的取值范围.

2tan2A

【详解】对于A：a1，且bcosAcosB1，即bcosAacosBa，

由正弦定理得：sinBcosAsinAcosBsinA，

即sinBAsinA，

BAA或BAAπ（舍去），

B2A，故A正确；

ab

对于B：由正弦定理，

sinAsinB

asinBsinBsin2A

则b2cosA，

sinAsinAsinA

ππ

0A0A

22

ππ

ABC为锐角三角形，则0B，即02A，

22

ππ

0C0π3A

22

ππ

A，所以b2cosA2,3，故B不正确；

64

3

对于C：b2cosA且b，

2

37

cosA，所以sinA，

44

a2727

由正弦定理2R，求得R，即ABC的外接圆半径为；故C正确；

sinA77

22

对于D：sinB2sinAsin2A2sinAsin2A1cos2A

sin2Acos2A12sin(2A)，且tan，

ππππ

A，即2A；

6432

要使得sinB2sin2A有最大值，即12sin(2A)有最大值，

π

此时，当sin(2A)有最大值时，即2A时，

2

π

12sin(2A)有最大值为12，此时2A，

2

π1ππ

tantan(2A)，又2A，

2tan2A32

13

tan2A3，0，

tan2A3

3

∴的取值范围为0,，故D正确.

3

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是利用正弦定理得到b2cosA，再求出角A的范围即可判断；

D选项的关键是充分利用辅助角公式得到其范围.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填写在答题卡上的相应位

置．

12.已知正六边形ABCDEF的边长为2，则ACBF__________.

【答案】6

【解析】

【分析】根据正六边形，可得向量夹角及模长，计算即可得解.

【详解】如图：

根据正六边形的结构特征，可知CEBF，

22

而CE与AC的夹角为120，ACCE4223，

则ACBFACCE2323cos1206.

故答案为：6

13.已知函数fxlogax13的图象经过定点A，且幂函数gx的图象过点A，则g2______．

【答案】3

【解析】

【分析】利用对数型函数图象特征求出点A坐标，进而求出g(2)的值.

【详解】函数fxlogax13中，当x11，即x2时，恒有fx3，则点A(2,3)，

由幂函数gx的图象过点，得g(2)3.

故答案为：3

14.在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，AB2，AD4，BAD，

3

2

BCD，若二面角PABD为，则四棱锥PABCD外接球的表面积为_____．

34

4949

【答案】##π

33

【解析】

【分析】分别取AB，AD的中点R，Q，连接PQ，PR，RQ，可证明PQ平面ABCD，再由RQAB，

从而得到AB平面PQR，可得到ABPR，所以PRQ为二面角PABD的平面角，即可求出PQ，

然后设球心O为PQ上的一点，列方程可以求出三棱锥PABD的外接球半径，再由ABCD四点共圆，所

以三棱锥PABD的外接球即为四棱锥PABCD的外接球，从而得解.

【详解】分别取AB，AD的中点R，Q，连接PQ，PR，RQ，

PAPD，PQAD，因为平面PAD平面ABCD，

平面PAD平面ABCDAD，PQ平面PAD，所以PQ平面ABCD，

π

因为AB平面ABCD，PQAB．在△ABD中，AB2，AD4，BAD，

3

π

BD2242224cos23，所以，AB2BD2AD2，ABBD．

3

因为点R，Q分别为AB，AD的中点，所以RQ//BD，RQAB．

RQ,PQ平面PQR，RQPQQ，

AB平面PQR，又PR平面PQR，

ABPR，所以PRQ为二面角PABD的平面角，

π1

PRQ，PQRQBD3．因为Q为直角三角形ABD的外接圆的圆心，

42

所以，三棱锥PABD的外接球的球心O在直线PQ上，

由于PQ32，所以O在线段PQ的延长线上，

27

设外接球的半径为R，则R322R2，R．

23

49π

所以三棱锥PABD的外接球的表面积S4πR2．

3

在四边形ABCD中，由于BADBCDπ，ABCD四点共圆，

所以三棱锥PABD的外接球即为四棱锥PABCD的外接球，

49π

故四棱锥PABCD的外接球的表面积为．

3

49π

故答案为：.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知向量a(1,x),b(2x3,x)c(3,5),xR．

（1）若a∥b，求|2ab|的值；

（2）若a与c的夹角是钝角，求x的取值范围．

【答案】（1）1或35

553

（2）,,

335

【解析】

【分析】（1）先根据向量共线的坐标表示求出x的值，进而求出a,b及2ab的坐标，再根据向量模的坐标

计算式计算即可；

（2）先分析出若a与c的夹角是钝角，则ac0，且a与c不共线，再列出不等式组，求解即可.

【小问1详解】

若a∥b，则有1xx2x30，解得x0或x2.

①当x0时，a(1,0),b(3,0)，2ab1,0，

所以|2ab|1；

②当x2时，a(1,2),b(1,2)，2ab3,6，

22

所以|2ab|3635.

所以|2ab|是1或35；

【小问2详解】

若a与c的夹角是钝角，则ac0，且a与c不共线，

135x035

，解得x<且x，

153x053

553

即x的取值范围为,,.

335

16.已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,ππ)的部分图象如图所示.

（1）求f(x)的解析式及单调递增区间；

5π

（2）将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数yg(x)图象，若不等式g(x)m4对

12

π

任意x[0,]成立，求m的取值范围.

4

2π7

【答案】（1）f(x)3sin(2xπ)；[kπ,πkπ]，kZ

31212

（2）m1

【解析】

【分析】（1）根据函数的图象，由最大值确定A，由对称轴和零点的距离确定，再由最大值点确定，

再代入正弦公式的单调递增区间，即可求解；

（2）首先求函数gx的解析式，根据函数的定义域，利用代入法求函数gx的只有，再将不等式恒成立

问题，转化为最值问题，列不等式，即可求解.

【小问1详解】

2π17ππ

由图象可知，A3，，得2，

4123

7π7ππ2π

当x时，22kπ，kZ，得2kπ，kZ，

121223

2π

因为ππ，所以，

3

2π

所以fx3sin2x，

3

π2ππ

令2kπ2x2kπ，kZ，

232

π7π

得kπxkπ，kZ，

1212

π7π

所以函数的单调递增区间是kπ,kπ，kZ；

1212

【小问2详解】

5π2ππ

gx3sin2x3sin2x，

1236

πππ2π

当x0,时，2x,，

4663

π3

则3sin2x,3，

62

π

若不等方式g(x)m4对任意x[0,]成立，则3m4，

4

得m1.

17.人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某

网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100

人按成绩分组：第1组50,60，第2组60,70，第3组70,80，第4组80,90，第5组90,100，

得到的频率分布直方图如图所示．

（1）求a；

（2）求样本数据的中位数与第35百分位数；

（3）已知直方图中成绩在80,90内的平均数为85，方差为10，90,100内的平均数为95，方差为15，

求成绩在80,100内的平均数与方差．

【答案】（1）a0.005

（2）中位数为80，第35百分位数为75

（3）平均数为89，方差为36

【解析】

【分析】（1）由所有矩形面积之和为1可得答案；

（2）由（1）中结果可估计中位数与百分位数；

（3）由题可得成绩在80,90，90,100内的人数分别为30，20，然后由样本方差估计总体方差计算方法

得答案.

【小问1详解】

由a0.0150.0200.0032101，得a0.005

【小问2详解】

前三组频率之和为0.050.150.0300.5，

所以样本数据的中位数为80；

前两组频率之和为0.0050.015100.2

则样本数据的第35百分位数落在第三组，设第35百分位数为x，

则x700.030.350.2x75；

【小问3详解】

由题意，成绩在80,90，90,100内的人数分别为30，20．

设内数据的平均数为，方差为2，

80,90xSx

内数据的平均数为，方差为2，总平均数为，方差为2，

90,100ySyzS

85309520

依题意，，，22，则，

x85y95Sx10,Sy15z89

50

3022023222

S2S2zxS2zy10898515899536.

50x50y55

所以，成绩在80,100内的平均数为89，方差为36．

1

18.在ABC中，角A,B,C，所对的边分别为a，b，c，asinAcsinCbsinBasinC．

2

（1）求cosABC；

（2）已知AD2DC，BD10，求ABC面积的最大值．

1

【答案】（1）

4

915

（2）

4

【解析】

1

【分析】（1）由正弦定理得，a2c2b2ac，再由余弦定理求解即可；

2

121

（2）由题意可得BDBABC，平方得c24a2ca10，再由基本不等式可得ac18，最

339

后由三角形面积公式求解即可

.

【小问1详解】

1

解：因为asinAcsinCbsinBasinC，

2

1

由正弦定理，a2c2b2ac，

2

1

222ac

所以acb1．

cosABC2

2ac2ac4

【小问2详解】

解：由AD2DC，

2212

得BDBAADBAACBABCBABABC，

3333

2

211221122

所以BDBA2BCc4a4cac4aca10，

9949

115

由基本不等式，10c24a2ca2c24a2caac，

999

所以ac18，当且仅当c2a，即a3，c6时等号成立．

1

由cosABC，B0,π，

4

15

所以sinABC，

4

11159

所以SacsinABC1815．

2244

915

故ABC面积的最大值为．

4

19.如图，四棱锥MABCD中，平面MAD平面ABCD，△MAD是边长为6的等边三角形，AD∥BC，

BC2AD，点N在棱MD上，且MN2ND．

（1）求证：MB∥平面NAC；

（2）已知ACCD．

①若二面角MACD的正切值为2，求三棱锥MACD的体积；

ππ

②若ADC，设直线NC与平面ABCD所成的角为，若，求tan的取值范围．

43

【答案】（1）证明见解析

273921

（2）①；②,

2137

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，得到NO//MB，进而证明出线面平行；

（2）①作出辅助线，MFE为二面角MACD的平面