河北省衡水中学2024-2025学年高二下学期6月联考数学试卷

2024-2025学年河北省衡水中学高二（下）联考数学试卷（6月份）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数，则f′（-2）=（）

A.-10B.10C.-11D.11

2.已知变量x,y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为=2x+6，则样本点（3，13）

的残差为（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数abc,其中满足b＞a,且b＞c的三位数的个数是（）

A.10B.20C.30D.50

4.某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（）

A.0.64B.0.512C.0.384D.0.128

5.下列说法中，正确的是（）

A.经验回归直线必经过样本点中心

B.样本相关系数r的值越大，两个变量的相关程度越强

C.在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高

22

D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ≈3.56，根据小概率值α=0.05的χ独立性检验x0.05=3.841），

可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05

6.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=，E（X）=1，则D（X）=（）

A.B.C.D.

7.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收

为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别

为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（）

A.0.475B.0.525C.0.425D.0.575

8.设函数f（x）=（ex-a）ln（x+b），若f（x）≥0恒成立，则a+b的最小值为（）

A.-1B.1C.2D.3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.过点A（a,0）的曲线y=（1-x）ex的切线有2条，则a的值可能是（）

A.-5B.-3C.1D.3

10.下列结论正确的有（）

A.若随机变量X服从两点分布，，则

B.若随机变量Y的方差D（Y）=3，则D（2Y+5）=12

C.若随机变量ξ服从二项分布，则

D.若随机变量η服正态分布N（6，σ2），P（η＜3）=0.1，则P（6＜η＜9）=0.4

11.已知集合A={1，2，3，，10}，现随机选取集合A中4个元素组成集合A的4元子集（记为A4）.记该

子集中的最小数为m,则下列⋯说法正确的有（）

A.不同A4的个数为

B.m的取值范围是{1，2，3，4，5，6}

C.在所有集合A4中随机取1个，则取到m=3的A4的概率为

D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（x-y）（x+y）6的展开式中x3y4的系数为______（用数字作答）.

13.已知变量x,y满足线性相关关系，一组观测值如下表，且经验回归方程为，现有一对观测数

据为（20，n），若该数据的残差为-0.6，则n=______.

x21232527

y15181920

x

14.已知不等式a＞logax（a＞0，a≠1）对x（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是______

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答∀应∈写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居

民的竞赛成绩X近似服从正态分布N（86，9）.

（1）若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平

均成绩.

（2）参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3

道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题

答对与否相互独立.记小王获得话费为Y元，求Y的数学期望E（Y）和方差D（Y）.

参考数据：若随机变量XN（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P

（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9∼973.

16.(本小题15分)

已知函数f（x）=x3+ax2-4x在x=2处取得极值.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）在区间[-1，3]上的最大值与最小值.

17.(本小题15分)

某赛事结束后，主管部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到如下不完整列联表：

性别

满意度合计

女性男性

比较满意50

非常满意4070

合计60120

（1）补全列联表，依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的

评价有差异？

（2）用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设X表示这2人中对该部门服

务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望.

附：χ2=，n=a+b+c+d.

α0.10.010.001

xα2.7066.63510.828

18.(本小题17分)

甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件

的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%.

（1）设甲工厂试生产的零件有m件，乙工厂试生产的零件有n件，求证：4m=n；

（2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率；

（3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，

求X的分布列和数学期望.

19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ex-e-x-ax（e为自然对数的底数），其中aR.

（1）试讨论函数f（x）的单调性；∈

（2）若g（x）=f（lnx）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））的直线的斜率

为k,同：是否存在a,使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.

1.【答案】

【解析】解：由题意可知，，

所以f′（x）=（x3）′=3x2，

所以．

故选：D．

求出导函数，代入数值即可求解．

本题主要考查了导数的计算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：根据题意可知，当x=3时，预测值，

又样本点为（3，13），

所以残差为13-12=1．

故选：C．

将x=3代入，得到预测值，再由残差=观测值-预测值，即可得出答案

本题考查了经验回归方程，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：由题意可知，从数字1、2、3、4、5中取出3个不同的数字，有种取法，

将取出的3个数字中最大的一个作十位上的数字，另外2个数字分别作百位和个位上的数字，有种方法，

由分步乘法计数原理可知，符合题意的三位数有=10×2=20个．

故选：B．

先从5个数字中选择3个数字，将取出的3个数字中最大的一个作十位上的数字，另外2个数字分别作百位

和个位上的数字，结合分步乘法计数原理可得结果．

本题主要考查了计数原理的应用，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：篮球爱好者投3分篮3次得6分，则其投中2次，

又因为每次投3分篮投中的概率为0.8，

所以得分为6分的概率为=0.384．

故选：C．

利用二项分布的概率公式即可得到答案．

本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：对于A，经验回归方程必经过中心点，故A正确；

对于B，相关系数r的绝对值|r|越接近于1，两个变量的相关程度越强，故B错误；

对于C，在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，

区域越宽，回归方程的预报精确度越低，故C错误；

22

对于D，由χ≈3.56＜3.841=x0.05，根据小概率值α=0.05的χ独立性检验，

没有充分证据推断X与Y有关联，不可以判断此推断犯错误的概率不超过0.05，故D错误．

故选：A．

利用回归直线的性质判断A；利用相关系数的意义判断B；利用残差图的特征判断C；利用独立性检验判断

D．

本题考查回归直线的性质，相关系数的意义，独立性检验相关知识，属于中档题．

6.【答案】

【解析】解：设P（X=1）=p，P（X=2）=q，

E（X）=0×+p+2q=1①，

∵

又+p+q=1，②

由①②得，p=，q=，

D（X）=（0-1）2+=，

故∴选：B．

设P（X=1）=p，P（X=2）=q，则由P（X=0）=，E（X）=1，列出方程组，求出p=，q=，由此能求

出D（X）．

本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考

查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

7.【答案】

【解析】解：设B=“接收到的信号为0”，A=“发送的信号为0”，

则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1”，

所以P（A）=0.5，，P（B|A）=0.9，，，，

所以接收信号为0的概率为：，

所以接收信号为1的概率为：．

故选：B．

运用全概率公式及对立事件概率公式计算即可．

本题考查全概率公式及对立事件概率公式，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：f（x）=（ex-a）ln（x+b），x＞-b,

因为f（x）≥0恒成立，

所以在区间（-b,+∞）上，

函数y=ex-a与y=ln（x+b）有相同的零点，且符号相同．

由ln（x+b）≥0，得x+b≥1，解得x≥1-b；

由ln（x+b）＜0，得x+b＜1，解得-b＜x＜1-b；

所以a＞0，由ex-a≥0，得ex＞a,解得x≥lna,

所以lna=1-b,b=1-lna,

所以a+b=a+1-lna.

令g（a）=a+1-lna,

则（a＞0），

解g′（a）＜0，得0＜a＜1，解g′（a）＞0，得a＞1，

所以g（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以g（a）min=g（1）=2，

所以（a+b）min=（a+1-lna）min=g（a）min=2．

故选：C．

由题意得在区间（-b,+∞）上，函数y=ex-a与y=ln（x+b）有相同的零点，且符号相同，然后由相同零点得

出a,b关系，把a+b化为一元函数，再利用导数求得最小值．

本题考查了函数的零点、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：因为y=（1-x）ex的导函数为y′=-xex，

设过A（a,0）的切线切曲线于点，

则切线方程为，又其过点A（a,0），

所以，

整理得，

因为切线有2条，所以Δ=[-（a+1）]2-4＞0，

解得a＜-3或a＞1，

结合选项知，选项A、D符合题意．

故选：AD．

设切点为，求得y′=-xex，得到切线方程为，根据切线过

点A（a,0），求得，由切线有2条，利用Δ＞0，求得a的取值范围，结合选项，即

可求解．

本题考查函数的切线问题的求解，属中档题．

10.【答案】

【解析】解：对于A，因为随机变量X服从两点分布，，可得，

则，故A正确；

对于B，因为随机变量Y的方差D（Y）=3，所以D（2Y+5）=12，故B正确；

对于C，因为随机变量ξ服从二项分布，

则，故C错误；

对于D，因为随机变量η服从正态分布N（6，σ2），P（η＜3）=0.1，

所以P（3＜η＜6）=0.5-P（η＜3）=0.5-0.1=0.4，

因此P（6＜η＜9）=P（3＜η＜6）=0.4，故D正确，

故选：ABD．

由两点分布定义直接计算可得A正确，利用方差性质计算可得B正确，由二项分布公式计算可得C错误，

结合正态分布对称性计算可得D正确．

本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题，

11.【答案】

【解析】解：A选项，从10个不同元素中取出4个就构成1个A4，不同A4的个数为，A选项正确；

B选项，当集合A4={7，8，9，10}时，m=7，B错误；

C选项，由m=3，得A4中其他3元素均比4大，则其他3个元素取值集合为{4，5，6，7，8，9，10}，

当m=3时，A4的个数为，因此取到m=3的A4的概率为，C选项正确，

D选项，m的可能值为1，2，3，4，5，6，7，则，

由离散型随机变量的均值，得，

而，，

因此，D选项正确．

故选：ACD．

根据给定条件，利用组合计数问题列式判断A；求出m的所有可能值判断B；求出古典概率判断C；求出期

望判断D．

本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：（x+y）6展开式的通项公式为，

故（x+y）6展开式中x2y4系数为，x3y3系数为，

故（x-y）（x+y）6的展开式中x3y4的系数为15-20=-5．

故答案为：-5．

求出（x+y）6展开式的x2y4、x3y3的系数后可求展开式中x3y4的系数．

本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：由题意可知，，，

将（24，18）代入，得，解得，

所以，

当x=20时，预测值，则n=14.8-0.6=14.2．

故答案为：14.2．

根据统计所得数据，可以先求出其样本中心点，代入可求得，进而可求得当x=20时的预测值，再根据残

差，即可求得观测值n.

本题考查了经验回归方程，属于基础题．

14.【答案】

x

【解析】解：因为不等式a＞logax（a＞0，a≠1）对x（0，+∞）恒成立，

即不等式ax＞（a＞0，a≠1）对x（0，+∞）恒∀成∈立，

∀∈

＞（a＞0，a≠1）对x（0，+∞）恒成立，

lna•＞lnx（a＞0，a≠1）对∀∈x（0，+∞）恒成立，

xlna•exlna＞xlnx=（lnx）•elnx（a＞∀0，∈a≠1）对x（0，+∞）恒成立，

令f（x）=xex，x＞0，∀∈

则f'（x）=（x+1）ex＞0，

所以f（x）=xex在（0，+∞）上单调递增，

所以xlna•exlna＞（lnx）•elnxf（xlna）＞f（lnx）xlna＞lnxlna＞（a＞0，a≠1），

⇔⇔⇔

令g（x）=，x＞0，

则g'（x）=，

令g'（x）=0，得x=e,

所以当x（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；

当x（e∈,+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；

∈

所以g（x）max=g（e）=，

所以lna＞，a＞．

所以a的取值范围是（，+∞）．

故答案为：（，+∞）．

由题意可得xlna•exlna＞xlnx=（lnx）•elnx（a＞0，a≠1）对x（0，+∞）恒成立，令f（x）=xex，x＞0，利

用导数可得f（x）=xex在（0，+∞）上单调递增，从而可得∀l∈na＞（a＞0，a≠1），再令g（x）=，

x＞0，求出y=g（x）的最大值即可得答案．

本题考查了转化思想、导数的综合运用，属于难题．

15.【答案】

【解析】（1）因为，

又正态分布N（86，9）中，μ=86，σ=3，

所以本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86-3=83；

（2）记小王答对题的数量为Z，则Y=30Z，

由题意得，

则，

所以E（Y）=30E（Z）=30×2=60，

．

（1）根据正态分布的对称性求出P（X＜μ-σ）=0.15865，再根据期望方差，得到平均成绩；（2）利用二项

分布的数学期望、方差公式与性质计算即得．

本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．

16.【答案】

【解析】（1）由题意可得f′（x）=3x2+2ax-4，xR，

由f（x）在x=2处取得极值，得f′（2）=12+4a-4∈=0，解得a=-2，

则f′（x）=3x2-4x-4=（3x+2）（x-2），

当或x＞2时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，

则x=2为f（x）的极小值点，符合题意；

所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）由（1）知，f（x）=x3-2x2-4x在上单调递增，在上单调递减，

因此，而f（-1）=1，f（3）=-3，

所以函数f（x）在区间[-1，3]上的最大值为，最小值为-8．

（1）求出导数，利用给定的极值点求出a,进而求出单调区间．

（2）由（1）结合已知，利用单调区间求出最值．

本题考查函数的单调性，极值与最值，属于中档题．

17.【答案】

【解析】（1）根据题意，可得2×2列联表如下：

性别

满意度合计

女性男性

比较满意302050

非常满意304070

合计6060120

零假设为H0：

不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异．

所以，

依据小概率值α=0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，

即认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异．

（2）由列联表中数据，可得女性参赛人员对该部门服务质量非常满意的概率为，

男性参赛人员对该部门服务质量非常满意的概率为．

由题意可知，X的可能取值为0，1，2．

则P（X=0）=×，

P（X=1）=×，

P（X=2）==，

故X的分布列为：

X012

P

故X的数学期望．

（1）先补全列联表，再由列联表中数据计算χ2，再作判断；

（2）先求出男、女性对服务非常满意的概率，列出X的可能取值，计算各取值对应概率，列出分布列，再

由期望公式求解即可．

本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望、独立性检验等，属于基础题．

18.【答案】

【解析】（1）证明：由题意可知，甲工厂试生产的m件零件中合格零件为0.8m件，

乙工厂试生产的n件零件中合格零件为0.9n件，

混合后混合后合格零件为0.88（m+n）件，

所以0.8m+0.9n=0.88（m+n），

化简得4m=n；

（2）设甲工厂试生产的零件有m件，乙工厂试生产的零件有n件，由（1）知4m=n,

事件M1=“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”，

事件M2=“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”，

事件N=“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”，

则，P（N）=88%，P（N|M1）=80%，

所以所求概率；

（3）由（2）知，任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂的概率是，

由题意可知，则，X的可能取值为0，1，2，3，

所以，，

，，

所以X的分布列为：

X0