广东省深圳市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷

广东省深圳市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷

2025.7

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用

2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴

处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，留存试卷，交回答题卡.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则z的共轭复数z（）

A.12iB.12iC.12iD.12i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的几何意义，得到z12i，结合共轭复数的概念，即可求解.

【详解】由复数z对应的点的坐标是(1,2)，可得z12i，所以z的共轭复数为z12i.

故选：B.

2.已知集合A{2,4,6,8,10},B{x∣2x9}，则AB（）

A.{8,10}B.{6,8,10}C.{4,6,8,10}D.{2,4,6,8,10}

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合B，再求交集即可.

9

【详解】因为A2,4,6,8,10,Bx2x9xx，

2

所以AB6,8,10，

故选：B.

3.已知tan2,(0,π)，则sin（）

255525

A.B.C.D.

5555

【答案】D

【解析】

sin

【分析】由tan2,(0,π)知角在第二象限，所以sin0，结合tan以及

cos

sin2cos21解出sin即可.

【详解】因为tan2,(0,π)，所以角在第二象限，则sin0，

sin

由tan2①

cos

sin2cos21②

25

联立解得：sin，

5

故选：D.

4.若a,b是夹角为120的两个单位向量，则|a2b|（）

A.3B.2C.5D.7

【答案】D

【解析】

【分析】求出ab即可求解.

rrrr11

【详解】因为ab|a||b|cos12011()，

22

222221

所以|a2b||a||2b|2a2b1214()7.

2

故选：D.

5.下列函数中，既是偶函数，又在(0,)上单调递减的是（）

A.f(x)e|x|B.f(x)ln|x|C.f(x)x2D.f(x)sin|x|

【答案】C

【解析】

【分析】由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可.

【详解】对于A，由t|x|在(0,)上递增，yet在定义域上递增，故yex在(0,)上递增，故A

不满足题意；

对于B，由t|x|在(0,)上递增，ylnt在定义域上递增，故f(x)ln|x|在0,上单调递增函

数，故B不满足题意；

对于C，f(x)x2为偶函数，由幂函数的性质知f(x)x2在(0,)上递减，故C满足题意；

对于D，ysinx为偶函数，在(0,)上为周期函数，故D不满足题意.

故选：C.

6.已知,,是三个不同的平面，且，则“//”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由面面的位置关系以及充分必要条件的定义判断即可.

【详解】若，//，则，故是充分条件，

反之，若，，则//或与相交，故不是必要条件.

所以“//”是“”的充分不必要条件.

故选：A

2

7.若函数f(x)log2xax在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范围是（）

A.(,1]B.(,2]C.(0,1]D.(0,2]

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据对数函数的单调性确定函数gxx2ax的单调区间，结合对数函数的定义域可求出

答案.

2

【详解】因为函数fxlog2xax在区间1,2上单调递增，

2

所以gxxax在区间1,2上单调递增，且gx0在区间1,2上恒成立.

a

1

所以2，解得a1.

g11a0

故选：A.

8.已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中n()24,n(A)12,n(B)8，n(AB)16，则

（）

1

A.事件A与B互斥B.P(AB)=

2

2

C.事件A与B相互独立D.P(ABAB)

3

【答案】C

【解析】

【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及相关性质，结合古典概型概率公式逐项分析即可.

【详解】A选项：由n(AB)n(A)n(B)n(AB)，

则有16128n(AB)，所以n(AB)40，

即AB，故A不正确；

B选项：因为AB=AB，所以nABnAB，

又nABnΩnAB24168，

nAB811

所以nAB8，所以P(AB)，

nΩ2432

故B选项不正确；

nA121nB81

C选项：由P(A)，P(B)，

nΩ242nΩ243

nAB41

P(AB)，

nΩ246

所以P(AB)P(A)P(B)，

所以事件A与B相互独立故C正确；

D选项：因为n(AB)nBn(AB)844，

n(AB)nAn(AB)1248,

nAB41nAB81

所以P(AB)，P(AB)，

nΩ246nΩ243

由事件A与B相互独立，

1112

所以P(ABAB)P(AB)P(AB)，

6323

故D选项不正确，

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知ab1,c0，则（）

22abcc

A.acbcB.ccC.abD.logaclogbc

【答案】AC

【解析】

【分析】根据不等式的性质可判断A，根据幂函数的单调性可判断C，取特殊值可判断BD.

【详解】因为ab1,c0，所以ac2bc2，故A正确；

32

11111ab

当a3，b2，c时，，，cc，故B错误；

22824

c

因为fxx在0,单调递增，所以acbc，故C正确；

当a3，b2，c2时，log32log221，故D错误；

故选：AC.

xx

10.已知函数f(x)3sincos，则（）

22

A.f(0)1

B.f(x)的最小正周期为4π

π

C.f(x)的图象关于点,0对称

6

x2π

D.为了得到函数f(x)的图象，只需把函数y2cos的图象向右平移个单位

23

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接计算即可判断A；化简f(x)的表达式，即可求函数的最小正周期，判断B；代入验证可判断

C；根据三角函数的图象平移变换结合诱导公式化简可判断D.

xx

【详解】因为f(x)3sincos，故f(0)3sin0cos01，A正确；

22

2π

xxxπ4π

又f(x)3sincos2sin，则最小正周期为1，B正确；

2226

2

πππππ

f()2sin2sin0，则f(x)的图象不关于点,0对称，C错误；

6126126

x2π12π1π

把函数y2cos的图象向右平移个单位,得到函数y2cosx2cosx的图象，

232323

πxπxπxπ

而f(x)2cos2cos2cos，D正确，

2262323

故选：ABD

11.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为A1D上一动点，F为棱AB的中点，则（）

A.四面体B1CEF的体积为定值

B.存在点E，使EF平面ACB1

5

C.二面角A1DFA的正切值为

5

D.当E为A1D的中点时，四面体ADEF的外接球表面积为5π

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项利用等体积法进行转化即可判断；B选项找到点E的位置再进行证明；C选项作出二面角

A1DFA的平面角进行求解；D选项利用直接法找到外接球的球心位置进行求解即可.

【详解】对于A选项，在正方体中，A1B1//AB，AB//CD，A1B1AB，ABCD

A1B1//CD,A1B1CD，四边形A1B1CD是平行四边形，A1D//B1C，

A1D平面B1CF，B1C平面B1CF，A1D//平面B1CF，

为上一动点，VVVV，

EA1DB1CEFEB1CFDB1CFB1CDF

正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，

1114

VSBB222，

B1CDF3CDF1323

4

四面体BCEF的体积为定值，故A正确；

13

对于B选项，当E为A1D中点时，EF平面ACB1，证明如下：

的

取AD中点M，AA1的中点N，连接EM,NE,MF,NF,BD,A1B，

M,E分别为AD,A1D中点，ME//AA1，

AA1平面ABCD，ME平面ABCD，AC平面ABCD，MEAC，

M,F分别为AD,AB中点，MF//BD，

在正方形ABCD中，ACBD，MFAC，

MFMEM，MF,ME平面MEF，

AC平面MEF，EF平面MEF，ACEF，

N,E分别为AA1,A1D中点，NE//AD，

AD平面ABB1A1，NE平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，NEAB1，

N,F分别为AA1,AB中点，NF//A1B，

在正方形ABB1A1中，AB1A1B，AB1NF，

NENFN，NE,NF平面NEF，AB1平面NEF，

平面，，

EFNEFAB1EF

AB1ACA，AB1,AC平面ACB1，EF平面ACB1，

即存在点E，使EF平面ACB1，故B正确；

对于C选项，过A1作A1PDF于点P，过A作APDF于点P，

在直角三角形△ADF中，AD2，AF1，DF5，

ADAF255

AP，PFAF2AP2，

DF55

在中，，，，

A1DFA1D22DF5A1F5

DF2FA2AD21

11，26，

cosA1FDsinA1FD

2DFFA155

11

，230，

SADFDFFA1sinA1FDDFA1PAP

12215

5

PFAF2AP2，点P与P重合，

115

A1PA是二面角A1DFA的平面角，

AA

tanAPA15，故C错误；

1AP

对于D选项，取DF的中点O，连接OM,ME,EO，

5

在直角三角形△ADF中，ODOFAO，

2

又由B选项中可知，ME平面ABCD，MO平面ABCD，

MEMO，

15

EM1，MO，EO，O为四面体ADEF的外接球的球心，

22

2

5

外接球半径为5，外接球的表面积为，故正确

4π5πD.

22

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a(5,1),b(3,2)，且(ab)b，则___________.

【答案】1

【解析】

【分析】由向量的线性运算结合坐标表示垂直可得.

【详解】ab5,13,2(53,21)，

因为(ab)b，

所以159420，解得1.

故答案为：1.

13.已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为52π，则该圆台的体积为___________.

19

【答案】π

3

【解析】

【分析】由圆台的侧面积公式得圆台的母线长，由勾股定理得圆台的高，再由圆台的体积公式得圆台的体

积.

【详解】圆台的上底面半径r2，下底面半径R3，设圆台的母线长为l，高为h，

由圆台的侧面积公式得S侧πRrl5πl52π，解得l2，

2

由勾股定理得hl2Rr1，

1119

由圆台的体积公式得2222，

Vπr1r2r1r2hπ23231π

333

19

故答案为：π.

3

a

14.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c2b，则的最小值为___________.

bsinB

【答案】3

【解析】

【分析】首先根据余弦定理和角B的范围求出sinB，然后用a,b,c将所求式子表示出来并化简，最后利用

二次函数的最值可求得原式的最小值.

a23b2

【详解】根据余弦定理得cosB，因为0Bπ，所以，

4ab

sin�>0

222

2a3b

所以sinB1cosB1.

4ab

aaa4a216

22224424

bsinB2222

所以a3ba3b10aba9bbb.

b121019

b2aa

4ab16a

2422

bbb516

而10199.

aaa99

224

b5b5bb16

当时，即时，1019取最大值为.

a9a3aa9

16

a3

此时取最小值为16.

bsinB

9

故答案为：3.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15.已知函数f(x)a为奇函数.

2x1

（1）求a的值；

2

（2）若f(x)，求x的取值范围.

3

【答案】（1）a1

（2）,log25

【解析】

【分析】（1）由奇函数性质求得参数，反过来验证一下即可；

（2）将不等式进行变形，结合指数函数单调性即可求解.

【小问1详解】

由题意fx的定义域为R且fx是奇函数，故f0a10，解得a1，

22x1

当a1时，fx1，

2x12x1

2x12x1

此时fxfx，且fx的定义域为R，

2x12x1

所以此时fx是R上的奇函数，

故a1满足题意；

【小问2详解】

2221

fx12x162x5xlog5，

2x132x132

2

所以满足f(x)的x的取值范围为,log25.

3

16.为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质

量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值

的频率分布直方图如下图所示.

质量指标值[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

频数2030301010

（1）求频率分布直方图中a的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中

的数据用该组区间的中间值作代表）；

（2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在[120,130)和[130,140)两

组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率.

【答案】（1）答案见解析

（2）0.4

【解析】

【分析】（1）根据面积之和为1，求得a，根据平均数的计算公式进行计算并比较大小即可得解；

0.03

（2）应在[120,130)中抽取53件，记这三件产品为a,b,c，在[130,140)中抽取532件，

0.030.02

记这两件产品为1,2，结合古典概型概率计算公式即可求解.

【小问1详解】

由题意2a0.020.030.04101，解得a0.005，

甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：1050.21150.31250.31350.11450.1121，

乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：1050.051150.41250.31350.21450.05123，

所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小；

【小问2详解】

从乙企业生产的产品质量指标值在[120,130)和[130,140)两组中抽取5件产品，

0.03

则应在[120,130)中抽取53件，记这三件产品为a,b,c，

0.030.02

在[130,140)中抽取532件，记这两件产品为1,2，

则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，

抽到的组合可能为：a,b,a,c,a,1,a,2,b,c,b,1,b,2,c,1,c,2,1,2，共10种可能，

这2件产品均来自同一组的可能情况为：a,b,a,c,b,c,1,2，共4种可能，

4

故所求为0.4.

10

如图，在三棱柱中，平面平面，点为中点

17.ABCA1B1C1ABCBCC1B1,B1BC60MBC.

（1）证明：A1B//平面AMC1；

（2）若ABACBC2CC1，求直线AC与平面AMC1所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

1

（2）

4

【解析】

【分析】（1）连接A1C，由三角形中位线可证得MN//A1B，根据线面平行判定定理可证得结论；

（2）先利用面面垂直的性质定理得AM平面BCC1B1，进而利用线面垂直的性质和判定定理得CO平

面AMC1，根据线面角定义可知所求角为CAO，在直角三角形中由长度关系求解即可.

【小问1详解】

连接A1C，交AC1于N，连接MN，四边形ACC1A1为平行四边形，所以N为A1C中点，

又点M为BC中点，所以MN//A1B，

因为MN平面AMC1，A1B平面AMC1，所以A1B//平面AMC1；

【小问2详解】

因为ABACBC，点M为BC中点，所以AMBC，

又平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，AMBC，

又AM平面ABC，所以AM平面BCC1B1，

取C1M的中点为O，连接CO,AO，

由题意CC1CM,C1CM120，则COC1M，

由AM平面BCC1B1，CO平面BCC1B1，得AM^CO，

因为AMC1MM，且AM,C1M平面AMC1，所以CO平面AMC1，

所以直线AC与平面AMC1所成角即为CAO，AO平面AMC1，COAO，

a

设ABACBC2CC2a，则CMa，所以COasin30，

12

CO11

在Rt△COA中，sinCAO，即直线AC与平面AMC所成角的正弦值为.

AC414

18.在ABC中，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，若AB:AM:AC6:7:10.

（1）用AB,AC表示AM,BN；

（2）求BAC；

（3）若AMBN2，求四边形PMCN的面积.

111

【答案】（1）AMABACBNABAC

22,2

（2）

3

（3）203

【解析】

【分析】(1)由AM，BN为BC，AC边上的中线即可得出答案

1

（2）由AMABAC，两边平方，设AB6k,AM7k,AC10k(k0)，化简计算后即可得出

2

答案

1

（3）由P是重心，得出SS，再由（2）即可得出答案

PMCN3ΔABC

【小问1详解】

11

因为AM为BC边上的中线，所以AMABAC

22

11111

因为BN为AC边上的中线，所以BNBABCABACABABAC

22222

【小问2详解】

1

因为AMABAC

2

所以

1221

AM2ABAC2ABACAB|2AC|22ABACcosBAC

44

因为AB:AM:AC6:7:10

所以设AB6k,AM7k,AC10k(k0)

2122

所以7k6k10k26k10kcosBAC

4

1

所以cosBAC

2

又因为BAC0,

所以BAC

3

【小问3详解】

11112112

AMBNABACACABAB|ABACAC|

222244

已知AMBN2，设AB6k,AM7k,AC10k(k0)，结合BAC，

3

ABAC|AB||AC|cos30k2，代入得：

3

111

36k230k2100k22

244

15

18k2k225k22

2

解得k24,k2(k0)

则AB12,AC20,BAC

3

113

SABACsinBAC1220603

ABC222

11

因为P是重心,则SS,SS

PMC3AMCAMC2ABC

11

所以SS，同理SS

PMC6ABCPNC6ABC

1

SSSS203

PMCNPMCPNC3ABC

19.已知函数f(x)sin2x2acosxa2b.

1

（1）当a时，f(x)0，求b的取值范围；

2

（2）求f(x)的值域；

π

（3）当x0,时，|f(x)|2，求ba的最大值.

2

5

【答案】（1）b

4

9

（2）答案见解析（3）

4

【解析】

3

【分析】（1）由由f(x)0，可得bcos2xcosx，结合二次函数性质即可求得答案；

4

2

（2）令tcosx,t1,1，化简可得gtta1b,t1,1，分类讨论，讨论对称轴和已知

区间的位置关系，即可求得答案；

（3）讨论a的取值范围，结合题意可得相应不等式组，进而求出关于b的不等关系，从而可得ba的不

等式，继而求得答案.

【小问1详解】

113

a时，f(x)sin2xcosxbcos2xcosxb，

244

3

由f(x)0，得bcos2xcosx，

4

2

231

而cosxcosxcosx1,cosx1,1，

42

2

15

当cosx1时，cosx1取最小值，

24

5

故b

4

【小问2详解】

f(x)sin2x2acosxa2bcos2x2acosx1a2b

2

cosxa1b,cosx1,1，

2

令tcosx,t1,1，则gtta1b,t1,1，

当a1时，gt在1,1上单调递减，

则2，2，

f(x)maxg12aabfxming12aab

22

故函数值域为2aab,2aab；

同理，当时，，2，

1a0f(x)max1bf(x)min2aab

2

此时函数值域为2aab,1b，

当时，，2，

0a1f(x)max1bf(x)min2aab

2

此时函数值域为2aab,1b，

当时，2，2，

a1f(x)max2aabf(x)min2aab

22

故函数值域为2aab,2aab；

22

综上可得，当a