广东省五所名校2022-2023学年高一下学期期末考试 数学

2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

32324

1.已知复数z满足z1i3i4i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3

2.已知集合Atan,cos,sin,sin,By∣ysinx，则AB（）

3446

221221

A.3,,,B.,,

222222

2121

C.,D.,

2222

5sin3

3.已知,3,a2,blog2sin,csin，则（）

2

A.acbB.abc

C.bcaD.cab

15

4.在ABCD中，BEBC,DFDC,M是线段EF的中点，则AM（）

56

1312

A.ABADB.ABAD

2523

112113

C.ABADD.ABAD

123125

5.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式.以小斜幂并大斜幂减中

斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之，为实.一为从隅开方得积.如果把以上这段文字

2222

122cab

写成公式，就是：Sca.在ABC中，已知角A､B､C所对边长分别为a,b,c，

42

其中a为棱长为3的正方体的体对角线的长度，b为复数34i的模，c为向量4,25的模，则ABC

的面积为（）

A.23B.14C.214D.314

6.把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切，则

该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上､下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.

若一个圆柱的表面积为S1，内切球的表面积为S2，外接球的表面积为S3，则S1:S2:S3为（）

A.1:2:2B.1:1:1C.3:2:4D.2:3:3

7.为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6人，现抽取了两

组数据，其中甲组数据的平均数为8，方差为4，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，

则关于新的一组数据说法错误的是（）

A.若乙组数据的平均数为8，则新的一组数据的平均数一定为8

B.若乙组数据的方差为4，则新的一组数据的方差一定为4

C.若乙组数据的平均数为8，方差为4，则新的一组数据的方差一定为4

D.若乙组数据的平均数为4，方差为8，则新的一组数据的方差一定为10

8.巴普士（约公元34世纪），古希腊亚历山大学派著名几何学家.生前有大量的著作，但大部分遗失在历

史长河中，仅有《数学汇编》保存下来.《数学汇编》一共8卷，在《数学汇编》第3卷中记载着这样一个

定理：“如果在同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一

周所得到的旋转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，VSl（V表示

平面闭合图形绕旋转轴旋转所得几何体的体积，S表示闭合图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周

长）.已知在四边形ABCD中，CEAD于点E,AB∥CE,AEDE3,2ABCE4，利用上述定理

可求得四边形ABCD的重心G到点A的距离为（）

113225720052457

A.B.C.D.

951515

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.我国经济结构处于转型升级阶段，当前的汽车保有量仍处于较低水平，未来增量市场发展空间依旧广阔.

根据公安部数据统计，截至2022年末，我国汽车保有量达到3.19亿辆.因此，无论是从增量维度还是存量

维度，我国消费者需求足以推动着市场继续发展.下图为2015-2022年全国汽车保有量及增长率情况，则

（）

A.2015-2022年全国汽车保有量的极差大于一亿辆

B.2016-2022年全国汽车保有量的中位数大于2.5亿辆

C.2016-2022年全国汽车保有量的增长率平均值低于7.00%

D.2016-2022年全国汽车保有量的增长率逐年降低，一定能说明每年买汽车的人越来越少

10.下列命题为真命题的是（）

A.ABC的三个内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c，若sinABsinA，则ca

B.若角A,B,C是锐角ABC的三个内角，则tanA2BCtanAC

1

C.若幂函数fx的图象过点A16,2，则fxx4

1

D.若x2，则x的最小值为2

x2

11.已知O为坐标原点，点P1cos,sin,P2cos,sin，

22

P3cos,sin,P4cos,sin，则（）

A.OP1OP2

B.OP3OP4cos2

若，则

C.OP1∥OP3cos0

若，则

D.OP2OP4cos0

12.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点G､E分别是棱A1B1､BB1的中点，点F是棱BC上的动点，则（）

A.直线D1G与直线CE交于一点

1665

B.点F满足BFBC时，异面直线AG与EF所成的角的余弦值为

365

1

C.点F满足BFBC时，BC1平面DEF

2

122

D.当点F满足BFBC时，直线GF与平面A1B1CD所成角的正弦值为

37

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某染发剂生产厂家生产了一种新型植物染发剂，现在有35000名女性，21000名男性用了此染发剂.销售

科为了了解使用过的顾客对此染发剂的评价，决定按性别比例抽取80名顾客做调查，则应抽取女性

__________名.

logx1,x1

3

已知函数，若复数是纯虚数，则

14.fx2zm22miffm__________.

2sin,x1

8x

15.如图，有一底面边长为6m，高为6m的正六棱柱形粮仓，侧面CDD1C1的中心点为P，此时一只蚂蚁正

在A处，它要沿棱柱侧面到达P所经过的最短路程是__________m.

16.已知a,e均是单位向量，若不等式ae2ate对任意实数t都成立，则a与e的夹角的最小值是

__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知向量a,b满足a2b4,6,2ab3,8.

（1）求sina,b；

（2）若a∥cc0，求bc的最小值.

18.（本小题满分12分）

如图，底面边长为6的正三棱锥SABC的表面积为3693，点E,F,G分别满足

211

BEBC,AGAS,BFBS，平面EFG交AC于点M.

355

（1）判断点M的位置，并证明；

（2）求三棱锥EBGM的体积.

19.（本小题满分12分）

3

在①分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知SSSac；②

1324

234

；③bsinCcsinB0

ACCBCBSABC

33

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足__________.

（1）求角B；

b29

（2）已知a4，当取最小值时，求ABC内切圆的半径.

c

20.（本小题满分12分）

深州蜜桃，又称“贡桃”，是河北省深州市的特产，中国国家地理标志产品，因其个头硕大，果型秀美，色泽

鲜艳，皮薄肉细，汁甜如蜜，深受老百姓的喜欢.深州市某蜜桃种植村从该村某种植户的蜜桃树上随机摘下

了200个蜜桃进行测重，测得其质量（单位：克）均分布在区间[100,700]内，并绘制了如图所示的频率分

布直方图，利用样本估计总体的思想，同一组中的数据用该组区间中点值作代表.

（1）求出直方图中a的值，估计该种植户所种植的蜜桃的质量的平均数和第75百分位数（第75百分位数

精确到0.01）；

（2）已知该种植户的蜜桃树上大约还有10000个蜜桃待出售，现有甲､乙两个收购商要与该种植户签订合

同：

甲收购商：所有蜜桃均以40元/千克收购；

乙收购商：质量低于200克的蜜桃不收购，质量落在区间200,300内的以8元/个的价格收购，质量落在

区间300,400内的以14元/个的价格收购，质量落在区间400,500内的以24元/个的价格收购，质量落

在区间500,600内的以36元/个的价格收购，质量高于或等于600克的以50元/个的价格收购.请你通过计

算，帮助该种植户确定应与哪个收购商签订合同.

21.（本小题满分12分）

如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E､F分别是AB､BC上的点，BEBF2，将AED,DCF

分别沿DE,DF折起，使点A,C重合于点M.

（1）求证：平面MEF平面MBD；

（2）求二面角BDFM的正弦值.

22.（本小题满分12分）

已知函数，当时，

fx2sinx3cosxcosx3fx1fxfx2

666

xx的最小值为.

122

（1）求函数fx的对称轴；

（2）当0时，将函数的fx图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数gx的图象，

6

a1

1

若存在a1,1，使不等式gx3lg2k1对x,恒成立，求实数k的取值范围.

212

2022-2023学年高一下学期期末联考

数学参考答案及解析

1.D解析：由题意得z1i43i，

43i43i1i717171

所以zi,zi，对应的点为,.故选D.

1i1i1i222222

3

2.B解析：由题意得Atan,cos,sin，

344

221

sin3,,,,By∣ysinxy∣1y1，

6222

221

所以AB,,.故选B.

222

5

解析：因为，所以，所以sin3，

3.A,30sin1a21,blog2sin0,0csin1

2

所以acb.故选A.

15

4.D解析：因为AEABBEABAD,AFADDFADAB，

56

1113

所以AMAEAFABAD.故选D.

2125

5.C解析：由题意a3,b5,c6，

2

222

所以122cab故选

SABCca214.C.

42

6.C解析：设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，

外接球的半径为R，则其轴截面如图所示，则l2r，R2r，

22222

所以S12rl2r6r,S24r,S34R8r，

所以S1:S2:S33:2:4.故选C.

2

7.B解析：设甲组数据的平均数为x1，方差为s1，

222

乙组数据的平均数为x2，方差为s2，混合后的新数据的平均数为x，方差为s，则x18,s14，对于A，

6868

新的一组数据平均数x8，故A正确；对于B，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公

66

6262662

式s2xxs2xx4(8x)24xx，可知无法确定新的一

1211122212122

2

组数据方差，故B错误；对于C，因为乙组数据的平均数为8，方差为4，即x28,s24，所以

6868

x8，所以

66

626211

22222，故正确；对于，因为

ss1x1xs2x2x40404CD

121222

66

乙组数据的平均数为4，方差为8，即x4,s28，所以x846，

226666

626211

所以s2s2xxs2xx448410，故D正确.故选B.

1211122222

8.C解析：由题意得四边形ABCE为上底边长为2，

下底边长为4，高为3的梯形，CDE为两个直角边长分别为3和4的直角三角形，

2434

所以四边形ABCD的面积为315，四边形ABCD绕AD旋转一周所得几何体的体积

22

11

V34162431644，

133

22

设重心G到AD的距离为d1，则44152d1，解得d；

115

11

四边形ABCD绕AB旋转一周所得几何体的体积V4936369278，

233

设重心G到AB的距离为d2，则78152d2，

1322

所以，所以22132005故选

d2AG.C.

515515

二､多选题

9.AB解析：2015-2022年全国汽车保有量最多为2022年，超过3亿辆，最少为2015年，大约1.7亿辆，

极差大于一亿辆，故A正确；2016-2022年全国汽车保有量的中位数为2019年的汽车保有量，由图知大于

2.5亿辆，故B正确；2016-2022年全国汽车保有量的增长率前三个数据大于10.00%，两个大于或等于

8.00%，一个在7.00%,8.00%，一个在(5%,6%)，故平均数大于7.00%，故C错误；虽然2016-2022

年全国汽车保有量的增长率逐年降低，但汽车保有量是逐年增加的，另外还有每年报废一部分的汽车，所

以不一定能说明每年买汽车的人越来越少，故D错误.故选AB.

10.AC解析：对于A，因为ABC，所以

sinABsinCsinC，所以sinCsinA，根据正弦定理得ca，故A正确；

对于B，tanA2BCtanBtanB,tanACtanBtanB，故B错误；

1

1

对于C，设fxx，则216，得，所以4，故C正确；

4fxx

111

对于D，xx222x224，

x2x2x2

1

当且仅当x2时，即x3时等号成立，故D错误.故选AC.

x2

11.ACD解析：P1sin,cos,P2(cos,sin),P3cos,sin，

P4cos,sin,OP1(sin，cos),OP2cos,sin,OP3(cos，

sin),OP4cos,sin，因为

2222，所以，故正确；因为

OP1cossin1,OP2cos(sin)1O1OP2A

OP3OP4cos,sin.

cos,sincoscossinsincos2，故B错误；若

，则，

OP1∥OP3sinsincoscos

即coscossinsin0，所以cos0，

故正确；若，则，

COP2OP4coscossinsin0

即cos0，故D正确.故选ACD.

12.ABD解析：对于A，连接D1C,GE,A1B，由于点G,E分别是棱A1B1,BB1的中点，

1

故GE∥AB，在正方体中，AB∥DC，故GE∥DC，且GEDC，

111121

故四边形D1GEC为梯形，故直线D1G与直线CE交于一点，故A正确；

对于B，取棱AB的中点M，连结B1M，则B1M∥AG,B1MAG，

1

又取MB的中点N，连接EN,FN，则EN∥BM,ENBM，

121

所以NEF（或补角）为异面直线AG与EF所成的角，设正方体的棱长为6，

355

则ENBE2BN2,NFBN2BF2,EFBE2BF213，

22

665

由余弦定理得cosNEF，故B正确；

65

1

对于C，连接BC,AE,AD，则EF∥BC,EFBC，

111121

又A1D∥B1C，所以A1D∥EF，故平面DEF与平面A1DFE为同一个平面，

B1CBC1,BC1CD,CDB1CC,BC1平面A1B1CD，

若BC1平面A1DFE，则平面A1B1CD∥平面A1DFE，

这与平面A1DFE平面A1B1CDA1D矛盾，故C错误；

由选项C的证明知，BC1平面A1B1CD，设正方体的棱长为6，

1

则BC62，故点B到平面A1B1CD的距离为BC32，

121

所以点到平面的距离为，取的中点，连接，

FA1B1CD22ABQGQ,GF,QF

则GQ平面ABCD，所以GF6222327，

22

所以直线GF与A1B1CD所成的角的正弦值为，故D正确.故选ABD.

7

三､填空题

35000

13.50解析：8050，故为50名.

3500021000

故答案为50.

2

14.1解析：若复数zm22mi是纯虚数，

2

则m2，所以f2log331，

22

所以ff2f12sin21cos1.故答案为1

8422

15.326解析：如图，将此棱柱沿AA1剪开，其展开图为一个长为36m，宽为6m的矩形，侧面CDD1C1

的中心P在AF上的投影为M，所以若要最短，应沿着侧面ABB1A1,BCC1B1走直线到P处，

由图可知，AM15,PM3，所以AP15232326.故答案为326.

16.解析：不等式ae2ate对任意实数t都成立，

3

22

即(ae)4(ate)对任意实数t都成立，

22222

即a2aee4a4et8aet对任意实数t都成立，

2

因为a,e均是单位向量，所以上式可整理为2t4aet1ae0对任意实数t都成立，

22

所以16(ae)81ae0，即2(ae)ae10，

11

所以2ae1ae10，得1ae，所以1cosa,e，得a,e,a与e的夹角

223

的最小值为.故答案为.

33

四､解答题

17.解：由a2b4,6，得2a4b8,12，

同2ab3,8相减得，b1,4，

代入a2b4,6中，得a2,2.

ab6334

（1）所以cosa,b，

ab17834

534

所以sina,b.

34

（2）因为a∥c，所以c2,20，

22

所以bc21,24(21)(24)

2

2325

812178,

42

352

当时，bc取最小值.

42

2

18.解：（1）AMAC；

3

证明如下：

11

AGAS,BFBS,GF∥AB,

55

又AB平面ABC,GF平面ABC，

GF∥平面ABC，

又GF平面EFGM，平面EFGM平面ABCME，

22

GF∥ME,ME∥AB,BEBC,AMAC

33

（2）取BC的中点H，连结SH,AH，

3

则SHBC，令SHa，此三棱锥的表面积为

4

1

3636a3693，得a4，

2

因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以S在底面的

1

投影为ABC的中心O，连接SO，所以OH

3

3

63，所以SOSH2OH213，

2

111

VVV13

EBGMGBEM5SBEM53

132239

SS

BEM159ABC15

19.解：（1）选①依题意

131313

Sa2sin60a2,Sb2sin60b2,Sc2sin60c2,

124224324

3333

SSSaca2c2b2

1324444

a2c2b21

即aca2c2b2，由余弦定理cosB,

2ac2

B0,,B.

3

23

选②由题意，

ACCBCBSABC

3

2323

得AB.CBS，即BABCS，

3ABC3ABC

231sinB

accosBacsinB,tanB3,

32cosB

B0,,B.

3

4

选③bsinCcsinB0，

3

4

由正弦定理得sinBsinCsinCsinB0，

3

sinC0，

4

sinBsinB0，

3

13

sinBcosB0，可得tanB3，

22

因为B0,，所以B.

3

（2）因为a4,B，所以b2a2c22accosB

3

b292525

16c24c，所以c42c46，

ccc

25

当且仅当c，即c5时等号成立，

c

此时b216c24c21，所以b21，

113

SacsinBac53，

ABC222

1

设ABC内切圆的半径为r，则Sabcr，

ABC2

2S337

所以rABC

abc2

337

所以ABC内切圆的半径为.

2

20.解：（1）由100(0.00050.00250.004a0.0010.0005)1，

得a0.0015.

由题中频率分布直方图可知，蜜桃质量在区间

100,200的频率为1000.00050.05，

同理，蜜桃质量在区间200,300,300,400，

400,500,500,600,600,700的频率依次为0.25,0.4,0.15,0.1,0.05，

所以平均数为x1500.052500.253500.44500.155500.16500.05365

因为0.050.250.40.70.75,0.050.250.40.150.850.75

所以第75百分位数在第4组，设第75百分位数为n，

则0.050.250.40.0015n4000.75，

100

解得n400433.33，

3

所以该种植户所种植的蜜桃的质量的平均数为365，第75百分位数为433.33.

（2）若按甲收购商的方案收购：由（1）可知每个蜜桃的平均质量为365克，

所以这10000个蜜桃大约重3650千克，于是总收益为403650146000（元）.

若按乙收购商的方案收购：

由题意知各区间的蜜桃个数依次为500,2500,4000,1500,1000,500，

所以总收益为2500840001415002410003650050173000（元）.

因为173000146000，所以应与乙收购商签订合同.

21.解：（1）MDMF,MDME,MFMEM,MF，

ME平面MEF,MD平面MEF，

又MD平面MBD,平面MEF平面MBD.

（2）设BD与EF交于点O，连接MO，

在平面MDB内作MNBD于点N，

在平面MDF内作MGDF于点G，连结NG，

BEBF2,EFBD,MD平面MEF,EF平面MEF，

MDEF,MD,BD平面MBD,MDBDD,

EF平面MBD,MN平面MBD,EF

MN,EFBDO,EF,BD平面DEF,MN

平面DEF，又DF平面DEF,MNDF，

又DFMG,MGMNM,MG,MN平面

MNG,DF平面MNG，又NG平面MNG，

DFNG,MGN为二面角BDFM的平面角，

MDMF24

MD8,MF6,MDMF,DF10,MG，