方法4：整体代换诱导公式法求三角函数值

方法4整体代换诱导公式法求三角函数值

一、单选题

1.已知cos(75"+a)=g,且一180"vav-90°,则cos(15'-a)=()

112\/22j

A.-B.——C.—1—D.一一-

3333

【答案】D

【分析】

25/2

由已知求得sin（75°+a）,再由诱导公式可求得选项.

—

【解析】

因为cos(75+a)=g,且一180va<-90>,所以一105“<75°<-15»所以sin(75°+a)=

乂cos(15-a)=cos[90°-(75°+aj]=sin(75"+a)=一2f

故选：D.

【小结】

对于三角函数给值求值型问题，美键在于得出所求的角与已知角之间的特殊关系，求解时，注意尽可能缩

小角的范围，以便确定三角函数的值的符号.

2.计算COS)

D.B

A11c6

B.——

2222

【答案】B

【分析】

利用诱导公式进行化简求值.

【解析】

利用诱导公式cos（万+a）=-8sa进行化简求值,

r7i\

=cos乃+―=-cos—=——

I3j32

故选m：B.

3.已知cos（a—工）=',则sin（且一a）二（）

828

11、

A.——B.—C.--D.2

222

【答案】B

【分析】

利用诱导公式将题「•条件化简，即可得答案.

【解析】

由题意得:

故选：B.

【答案】A

【分析】

将0+a转化成在用诱导公式化简，代入求值即可.

4214J

【解析】

故选：A

(、]

7-6=—,则sin28=(

/—

1

D.2

22

【答案】A

【分析】

利用sin2。=cose-28｝结合二倍角公式可求得结果.

【解析】

=，得：sin2^=cos|--20=2cos2f--^1-1=-

2\4)2

故选:A.

E=(

6.已知sina--cosa=-,则cos)

3

828D.姮

A.一B.-c.-

9399

【答案】C

【分析】

利用同角二角函数平方关系和二倍角公式可求得sin2a,利用诱导公式可求得结果.

【解析】

由sina-cosa=一得：(sina-cosa)"=sin2a-2sinacosa+cos2a=1-sin2a二一，

3v79

.<■>8(7T8

sin2a=-,..cos——92a=sin92a=—.

912J9

故选：C.

7.已知cos(aq)=理，则sin与+a)=()

AN/3B6°瓜0网

3333

【答案】B

【分析】

设夕=a-?,则Q=/7+5,然后利用诱导公式求解即叱

66

【解析】

设£=a—,则a=£n—,

66

心.「4兀1.(4兀〃乃).(A3兀)々V3

故sin—+a=sin—+p+—=sin,+—=-cosp=------.

\/136)\/3

故选：B

8.已知sin(a-工)=■!■,则0何(二+义)+(：00(二+工)=(

)

3536

422

A.----B.-----C.0D.-

555

【答案】B

【分析】

依题意原式为sin（。-?）+乃+cos（。-9）+彳，再利用诱导公式化简计算可得:

【解析】

,I।2T

解：因为sin(a——)=一，所以sin(a+—)+cos(a+—)

3536

,江、

=sin(a--)+7T+cos(Za-

.（乃1•（乃1.（乃、2

=-sina-----sina------=-2soina------=—

I3；I3jI3）5

故选：B

9.设oeR,〃目0,2万）.若对任意实数x都有sin（2x-?）=sin（or+3,则满足条件的有序实数对（a,〃）

的对数为（）

A.1B.2C.9D.12

【答案】B

【分析】

根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得a、b即可.

【解析】

,/对于任意实数%都有sin2%-=sin（ax+b）,

则函数的周期相同，同二2,

若a=2,此时sin(2x-?)

=sin(2x+Z?),

此时〃二一工+2万=包，

33

若a=-2,则方程sin(2x-?)=sin(-2x+Z?)=-sin(2x-Z?)=sin(2x-b+不),

,,./T,„.,44

则=-b+7r,则h=——，

33

综上满足条件的有序实数组（。力）为（2,第

,共有2组.

故选：B

10.已知函数/（x）=sin（5+9）（〃）＞0,[a＜;r）的部分图象如图所示，若存在0"＜当〈乃，满足

则

/(A,)=/(X2)=1,cos(%-.q)=<)

A」33

B币C.-D.一

4444

【答案】C

【分析】

利用图象求得函数小）的解析式为『Osin,—?）由〃王）=〃9）=（结合正弦函数/J）的

对称性得出七=§2万--5，且有sin2%-g?，WA-2=y-A,代入8s（内一天）结合诱导公式可求得

3I6,

COS（X1一』）的值.

【解析】

1347万r6乃171.

由图象知函数/（工川勺最小正周期为T=2x=2x——=71,：.(O-——=2,

1212J12T

兀13乃

-7--1----

乂1212_5乃,

26

旦/(普卜/2,系+*/sin(存+夕)=-L

▼—不2乃5乃7万

•一乃<。<乃，/.—<—+0<—,

333

所以.—+(p=—.f(x)=s\n[2x-^-

326I6

当OWxK4时，一「W2x-gw当，

666

3

因为存在0«%<毛4万，满足/(xJ=J'(9)=w，

A7td汽/->―/\o

2X1+2x,12兀-r/曰27r口.04]J

即pn]6-y6_兀，则mN+毛=彳，可得七=7一司，且sin[2x_%J=1,

则COS(N-超)

故选：C.

【小结】

根据三角函数/(x)=Asin®x+0)+/;的部分图象求函数解析式的方法:

求小家人/('『/On,匕=/(X)皿+/(Mmin

(1)

22

求出函数的最小正周期T，进而得出。=学:

(2)

(3)取特殊点代入函数可求得(P的值.

sin(—+^)-cos(乃+9)

11.已知sin6=2cos。，则---------------------=()

sin(--0)-sin(万-0)

2

A.2B.-2C.0D.-

3

【答案】B

【分析】

sin(1+<9)-cos(;r+。)9。

利用诱导公式化简得一z----------------二二.八，再根据已知代入求解即可.

sine-0)-sing-0)cos6-sin。

【解析】

sin(—+0)-cos(^-+0)

解:由诱导公式得：一12-3---------------cos^+cos^_2cos6^

sin(--0)—sin(7r-0)cosO-sin。cosO-sin。

2

因为sin6=2cose,

2cos02cos6^八

所以--------------=—2

cos<9-sincos6-2cos。

故选：B.

冗47T

12.若cosa+工=-,则sina)

k6)553*>

343

A.-B.-C.D.--

5555

【答案】c

【分析】

利用诱导公式可求得sin(a-J的值.

【解析】

兀冗7T.冗71714

sina---=-sina+一=-sin—a—

3J622665

故选：C.

7117兀

13.已知sin则COSa+的值等于()

1212

2>/2

1R2V2

A.—D.------------C.一un.-------

3333

【答案】c

【分析】

17乃3万71

根据题意，化简得a+-----=—+a------，再利用诱柠公式对COSQ+-^-进行化简求值即可.

12212\'乙)

【解析】

.兀

解：由题可知,sina---

I123

\17l18万冗34冗

由于a+——=a+=——+a---

121212212

所以cos(a+四3兀71

一4-a---=sina」

I12)2I12)3

故选：C.

14.sin

A.sinaB.cosaC.—sinaD.-cosa

【答案】B

【分析】

直接利用诱导公式得答案.

【解析】

依题意sin=cosa.

故选：B

【小结】

本小题主要考查诱导公式，属于基础题.

15.己知,sin(7i+«)=-,则tan(3兀+a)=)

2

5/3

B6C._6D.

A.73~T

【答案】B

【分析】

由已知利用诱导公式可求出sina的值,结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosa,进而根

据诱导公式，同角三角函数基本关系式即可计算求解.

【解析】

由题意，sin（7t+a）=-sina=-,所以sina=-4，则cos2a=1—sin2a=1—，=之，

2244

因为ae'弓3兀，2兀'，所以cosa>0,即G

cosa=——，

I22

\

sina~2_

所以tan（3兀+a）=tana='

cosa^T-

T

故选：D.

【小结】

本题考查三角函数诱导公式、同角三角函数基本关系式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.

16.式子疝】20。J"cos叱的值为（）

cos50°

A.-B.—C.y/2D.2

22

【答案】B

【分析】

由正余弦的倍角公式、诱导公式即可化简求值.

【解析】

Fhcos40°=2cos220O-1，cos50。=cos（90。-40。）=sin40。,sin40’=2sin20°cos20°，

.sin20°>/l+cos40o_>/2sin20°cos20°_72sin40°_-jl

cos50°-sin40°-2sin40。~~T

故选：B

【小结】

本题考查了利用三角恒等变换化简求值，属于简单题.

【答案】C

【分析】

根据诱导公式计算得到lana=|,故=tan+解得答案.

【解析】

24万仔司—i痔+可

解：由诱导公式可知3sin~T+a=3sin3江十

24乃一3"千4—5c0s片

又3sin----+a=-5cos:—+a得:

7I7)

(3TT5

所以tan——+a

I73

故选:C.

【小结】

本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力，是中档题.

18.如果cos(2?r-a)=正，

且ae-y,0,那么lan(兀-a)=(

3

922旧n2石

A.-B.一一rU.----

3355

【答案】C

【分析】

利用先求得cosa,sina,tana的值，由此求得tan（兀一。）的值.

【解析】

依题意cos(2rt-a)costz

3，

山丁"丘（一/,0）,

所以sina=一Jl-cos?a=--

3

sina2二2.

明以tana=--------

cosa

……2

所以tan(兀一a)

5

故选：C

【小结】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式，属于基础题.

19.已知cos("/)=；，则sin(^-a=()

A11「2夜ci2V2

A.—BD.C.------D・+-------

333~3

【答案】A

【分析】

宜接利用诱导公式求解即可

【解析】

故选：A

【小结】

此题考查诱导公式的应用，属于基础题

20.已知＜9是第二象限角，且sin(夕+=则ian(0—()

I5I4J

334

A.——B.—C.——D.

443

【答案】D

【分析】

求出〃+4的范围,进而可求出cos8+工的值，再利用诱导公式可求出cos结

4I4J

*ZJ兀

sm8——

合叩-扑Y4，可求出答案.

cosf/?--

【解析】

因为。是第二象限角，所以2阮+]<。<2灼1+兀（攵wZ）,

„,_,371八7T_,571

则+——<0+—<2knH----.

444

因为$111（6+：兀）="|>0,所以2k1+

-<0+-<2lai+n,

444

i_m2

则cos1/9+；=-4

5

兀7C兀

贝22得T卜"唱=|，

4；24J

卜一兀八71）/八714

sincos—+8——=-cos9+一

124J4J5

sin0--4

I4

所以lan0-^-\==5,

-

I4）cosf^-―"J3

5

故选：D.

【小结】

本题考查三角函数诱导公式的运用，考查同角三角函数的基本关系的运用，考查学生的计算求解能力，属

于中档题.

二、多选题

gx+g]的图像或性质的说法中，正府的为(

21.下列关于函数/(x)=2sin）

26)

A.函数f(x)的图像关于直线x=?对称

/J'

B.籽函数/(x)的图像向右平移［个单位所得图像的函数为)，=2sinKx+g

3\乙3)

C.函数f*)在区间(一3，午)上单调递增

D.若/(幻=〃，则卜^

【答案】AD

【分析】

7T7T

令一天+一=一+4乃得到对称轴，即可判断A：根据平移变换知识可判断B：求出其单调增区间即可判断C；

262

利用配角法即可判断D.

【解析】

对丁-A,令■!■%+工=巳+攵万(AwZl,解得x=—+2kMeZ),当攵=1时，得％="，故A正

2623a

确：

对于B,将函数/")的图像向右平移g个单位，得y=2sin［：(x—W)+£］=2singx,故B错误：

32362

对于C,令一任+2&不<，工+'<生+2攵乃(kwZ)=—生+4左〃<汇<女+4攵)(攵wZ),故C错误：

226233

对于D,若2sin(1x+工)=。，则(：05(11-工)=5缶［2+(14-工)］=5访(,大+工)=2,故D正确.

2623223262

故选：AD

【小结】

函数)，=Asin(但+°)+8(4>0,0)的性质：

⑴“ax=A+8,Xnin"-反

(2)周期T=空.

(O

7C

(3)由公¥+0=3+及兀(攵£2)求对称轴

(4)由+2kl<cox+(p<^+2E(keZ)求增区间：由g+2EWaT+°4三+2kji(keZ)求减区间.

/\

22.函数〃x)=ACOS(/X+8)A>0,<y>0.|同的部分图象如图所示，则/(力=()

乙｝

cos

B-il2TTX+-6J

--sinf2G

D.

2I3J

【答案】BD

【分析】

根据最小值求得A,根据周期求得出,根据点求得。，由此求得了（力的解析式，结合诱导公式

确定正确选项.

【解析】

I3711131,

由图象可得/\=彳，-=—解得7=1，所以口=2万,所以/（x）=：cos（2乃X+。），又/（x）

2412642

的图象过点偿,与，则2臣口+°=2%乃（丘2）,解得*=2版■—业（丘Z）,又刨〈工，所以夕二二,

2J12626

“、1(八万71)1."71(c71

即/(x)=5(^05(2开工+k1=5$111--2TTX+—

6226

Lin(2G

=—sin一24工+

22I

故选BD

【小结】

本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题.

第匚卷（非选择题）

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三、双空题

23.（1）一个扇形的半径为夜cm，弧长是半径的g■倍，则扇形的面积等于.

（2）f（X）=t/tan-1-Z?sinx+4（a,6为常数，出?工0）,若/（3）=5,则/（20164-3）=

【答案】-3

3

【分析】

（1）首先利用扇形的弧长公式求出扇形的圆心珀，再利用扇形的面积公式即可求解.

(2)利用诱导公式即可求解.

【解析】

(1)根据题意可知，弧长/=工厂，

3

设扇形的圆心角为。，所以。〃二工解得。=工，

33

所以扇形的面积5='。，=-x—x2=—；

2233

x

(2)由f(x)=ntan——/?sinr+4,

所以/(3)=a【an'!-Z?sin3+4=5,

3

所以atan——力sin3=1

2

乂)16乃一2

所以/(2016;r-3)=alan1:sin(2016/r-3)+4

=a【an(1008万sin(-3)+4=iztan+/?sin3+4=-«tan-1+/?sin3+4

=-1+4=3.

故答案为：—,：3

3

24.已知函数/（幻=《11（2”一千），若方程/（幻=］的解为＜乃），则$+工2=，

sin（R-x,）=.

【答案】子）汽--4

【分析】

由已知求出2x-J的范围，根据方程J'（x）==的解的对称性可求得力+々；再利用占表示占，即可表示

为sin(x-X,)=-cos^2x1

，再根据已知条件结合三角函数求值即可得到答案.

【解析】

c兀'乃1'

,/()<x<7T,G

6

..3/x2x--+2x--

又方程/(x)=W的解为％,王(0<X[<乃)，.i626=兀,

5"2~

2

解得玉+占=至

3

.,.sin(x1-x)=sinx-二、2*J

2y=sin2xt

由0＜X]＜与＜乃，可得0＜玉＜工，,2*717tn

3

713兀4

又sin-,可得cos

6)6,5

2%寻4

：.sin(X1-x2)=

5

2乃4

故答案为：—;——

【小结】

本题考查了三角函数的对称性，及利用诱导公式化简三角函数并求值，解题的关键是要注意到内,七是

3

/卜）二三的两个根，由三角函数图象的对称性得到两个根的对称性，从而得解，考查了学生的分析解题能

力与转化能力，属于中档题.

25.已知sin—+a->则cossin+Q

(4oI4

【答案】|±3g

O一8

【分析】

利用诱导公式可求得cos[?-a）的值，利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得sin

+a的

）

值.

【解析】

故答案为：±3且.

88

【小结】

本题考查利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求值，考杳计算能力，属于基础题.

四、填空题

26.若一1800vav-90°,则cos(15°-«)=

【答案】-£匕

3

【分析】

利用诱导公式进行整体代换，并利用同角三角函数关系式进行求值.

【解析】

由诱导公式得ccs（lS°-a）=ccq[90°-（75°+a）]=sin（7S0+a）,

V-180°<a<-90°,

.•.-]05°<75o+a<-l5°,

/.sin(750+a)<0,

X.cos(75°+6r)=-

/.ccs(15°<z)=sin(75°Ia)=*cos2(75°a)272

3

故答案为：一述.

3

【答案】一走

3

【分析】

由x-f=g—-再结合诱导公式可得结果.

6213)

【解析】

【小结】

利用诱导公式求值或化简时，常用拼凑角,，常见的互余关系有：：与£-仪，与二+a,--a

36364

.7T__力士4।247T.3TTE

与二+a等；吊见的互补关系有：二十7与一;一一a,a+:与一:--a等；

43344

/\

28.设a,bsR,CG[0,2万)，若对任意实数%都有3sin=asin(bx+c),则满足条件的c的

I6)

所有取值的和为.

【答案】4乃

【分析】

结合同=二例=2进行分类讨论，由此求得c的所有可能取值，进而求得满足条件的c的所有取值的和.

【解析】

(江、

因为对任意实数工都有3sin2x~—=asin(bx+c),所以同=3.

I6)

当。=3时，方程等价于呵21一看尸in(法+c),则两函数的周期相同，叫耳=2.当人=2时,

・C"・/C\.4-11/4

sin2x——=sin(2x+c),此时c=——+2万=---当力=一2时,

6766

74

=sin(-2x+c),此时

=+若)~6

当。=一3时，方程等价于sin(2x-2卜一sin(Z?x+c)=sin(-bx-c).当〃=一2时，此时＜?=[■：当b=2

=sin(-2x-c),此时c=一.综上,c的所

‘6,«.、,11乃7万兀5乃.5、,

有取值为一^,—.-»—»和为4万.

6666

故答案为：4乃

29.关于函数/a)=4sin(2x+?J(xeR)有如下命题，其中正确的有

>=/(%)的表达式可改写为/("=4cos2X-^\(XGR)

y=/(A-)是以2期为最小正周期的周期函数:

□.¥=/(x)的图象关于直线x=?对称.

【答案】□口

【分析】

7T

①利用诱导公式变形，判断选项：②利用周期公式，判断选项；③^二-二代入函数判断是否为0,判断选

6

项；④X=。代入选项，是否取得最值，判断选项.

【解析】

②)'=/(X)的最小正周期7二手=〃，故②不正确:

③当户一看时，2xcfj+?=0,此时函数值为°，所以函数的图象关于点(一票(“对称，故③正确;

④当工=:时，2乂[+；=乃，此时函数值是0,不是函数的对称轴，故④不正确.

333

故答案为：O@

【小结】

思路小结：本题考杳)，=Asin(5+o)的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：

(1)对于函数y=Asin(cM+»),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函

数的零点，因此判断直线1或点(飞,0)是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证/(%)的值进

行判断：(2)判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求④v的范围，验证次区间是否是函数

y=sinx的增或减区间.

30.已知3sin(a+%=&,则sin(2a-器)=.

【答案】二

3

【分析】

由2a——1=2(。+二)一1,利用诱导公式、二倍角余弦可得sin2。一二=2sin2(a+3)-l即可求

10102I10J10

值.

【解析】

由题意知：sin(a+—)=—.而sin(2a_^]=sin[2(a+3)_g]=_cos2(a+W),

103I10；10210

.<3万)令.2/冗、.

sin2a----=2sin"(tz4—)—1=—,

I10；103

故答案为：

3

【小结】

首先由整体代换法得到(2。-磊｝+的关系，结合诱导公式、二倍角公式得到含有已知三角函数值

的函数式求值.

■.(77九、

1.sin(一--:-------

【答案】—

2

【分析】

利用诱导公式化简求值

【解析】

.（77兀、.（.5）.（TI\.兀1

解：sm--------=-sin12乃+——=-sin——=-sinn-------=-sin—=—,

V6）（6）6I6）62

故答案为：

2

32.已知8§（。一看）=理，则sin与+a卜.

【答案】一走

3

【分析】

)

根据工与现+。的关系，结合诱导公式求解出sin47r+a,

~T的值.

63J/

【解析】

设#=a-二，则a=,+2,

66

出.（4兀）.（4兀〃兀）.3cQ6

故sm—+a=sin—+/>+—=smp+—=-cosp=------.

（3）\36/\2y3

故答案为：一立.

3

33.若点（4-1）在函数）的黑象上，则tan个的值为.

【答案】6

【分析】

由已知可得，T=log』a,解得。=3,代入tan"=tan网，利用诱导公式化简求值.

3a3

【解析】

由点（〃,一1）在函数>'=陛广的图像上，得一1=唯/，解得〃=3

LL」4至4%乃行

所以tan——=tan——=tan—=73

a33

故答案为：G

34.在平面直角坐标系xOy中，角。和角夕均以3为始边，它们的终边关于x轴对称.若sina=g,则

【答案】

3

【分析】

由题意可得sin/?=sin（—a）,由此能求出结果.

【解析】

:在平面直角坐标示只刀中，角。与ffj夕均以Or为始边，它们的终边关于x轴对称，

sinP=sin（-a）=-sina=--,

故答案为：—；

【小结】

本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.

35.已知cos（%+a）=—（，则sin（当一e）的值为.

【答案】一

【分析】

先利用诱导公式化简cos（乃+a）=-?,得cosa=；，再利用诱导公式化简sin（当一a）,从而可得结果

【解析】

解：由cos（乃+。）=一］，得cosa='，

33

门乃）1

所以sin------a=-cosa=一一，

I2）3

故答案为：-§

【小结】

此题考查诱导公式的应用，属于基础题

(3彳)兀

cos(a-^-)-sin+a-cos+ct-sin(-a)

22

36.化简〃。）=

sin(24+a)•cos(a+乃（2笈-。）

【答案】-1

【分析】

直接由诱导公式化简即可.

【解析】

，3万+a-cosfy+sin(-a

cos(a-4>sin

“0=12

sin(2;r+a)・cos(a+;r)cos------acos(2乃一a)

-cosa•(-cosa)•(-sina)•(-sina)

sina•(-cosa)sinacosa

故答案为：T

【小结】

本题考查利用诱导公式化简求值，属于基础题.

TC

37.若aw(0,7t),且sin—+a

(24

【答案】巫

4

【分析】