新教材高中数学第4章概率与统计章末复习新人教B版选择性必修第二册

第4章概率与统计

章末复习

B知识系统整合

概

率

与

统

计

B规律方法收藏

1.条件概率及事件的相互独立性

DA/2

(1)条件概率：一般地，设力，8为两个事件，且〃(4)>0,称，(8|4)=/」］为在事件

力发生的条件下，事件8发生的条件概率.以冽与读作月发生的条件下8发生的概率.

(2)条件概率的性质

①0WP(5|J)C1；

②尸―；

③如果8和。是两个互斥事件，则P(BUC\A)=P(B4+”(。|力.

p34

(3)乘法公式：由条件概率的计算公式以例月)=丁下一可知，以例)=/\用火冽⑷.

rn

(4)全概率公式：一般地，如果样本空间为Q,而48为事件，则加与是互斥的，

且仁〃0=6(力+彳)=的+67，P(//)=P(J)P{B\A)+PQ)P{BA),这称为全概率公式.

(5)贝叶斯公式:一般地，当1＞尸(4)＞0且尸(式＞0时,有

P(A)P(BIA)_P(A)P(B|A)

P(B)--P(A)P(3jA)+P(而P(B|由'

巩,

这称为贝叶斯公式.

(6)事件的相互独立性:设凡8为两个事件,如果0(/事=/(相尸(功,则称事件4与事

件〃相互独立.如果事件.4与8相互独立，那么力与力，7与8,7与力也都相互独立.

2.离散型随机变量的分布列

(1)分布列

一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{汨，照，…，黑)时，如果对任意攵£{1,2,…,

〃}，概率/(T=M)=R都是已知的，则称乃的概率分布是已知的.离散型随机变量/的概率

分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为I的概左分布或分布列.

••••••

XXiX2XkXn

♦・♦•♦•

P出PkA

离散型随机变量的分布列必须满足：

n

①必NO,a=1,2,…，〃：②g]"=L

(2)两点分布

两点分布也称0—1分布，它只有两个试验结果0和1,其分布列为

W10

PP1一2

(3)二项分布

一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为“记g=l—“且〃次犯立重

复试验中出现“成功”的次数为无则*的取值范围是{0,1,…，X…,〃},而且代¥=*)

=Cy(l-p)n"\衣=0,1,…，〃.这时称X服从参数为〃，夕的二项分布，记为才〜6(〃，p).

3.离散型随机变最的均值与方差

(1)均值与方差

一般地,如果曲散型随机变量Y的分布列如下表所示：

XX}Xi•••Xk•♦•Xn

••••••

PP\PlAPn

则称以»=汨0+题.+…+筋口=2>0为离散型随机变量1的均值或数学期望（简称为

/=1

期望）；〃（川=［汨一/（%］%+以一£（川］出+…+以一用第］“，为离散型随机变量才的方差.

（2）均值与方差的性质

若1与y都是离散型随机变量，且勺9‘+o（awo）,则①以打=&汉加+力；②以力=

aM.

（3）两点分布与二项分布的均值与方差

①若才服从两点分布，则£'（a=。/M=p（l-p）;

②若乃〜6（〃，p）,则£（/。=〃0，D（X）=np［\—p）.

4.正态分布

（1）正态分布：一般地，如果随机变量X落在区间［a,川内的概率，总是等于。

对应的正态曲线与x轴在区间［a,b］内围成的面积，则称X服从参数为〃与。的正态分布,

记作hM〃，</2）.

（2）正态分布的3。原则：如果hA'（〃，*，那么

P〈XW〃）=?（冷〃）=50乐

P（|X-〃|W。）=〃（〃一。近朕〃+。）=68.3%,

夕（|1一〃|W2。）=。（〃-2oW启〃+2。）295.4乐

尸（I>一〃I<3。）=网〃-3。《启〃+3。）处99.7机

在实际应用中，通常认为服从于正态分布*（〃，的随机变量才只取（〃一3。，〃+

3。）之间的值，并简称之为3。原则.

5.一元线性回归模型

（1）回归分析

①概念：回归分析是对具有相关关系的两个变显进行统计分析的一种常用方法.

②回归分析的基本步骤：

a.画出两个变量的散点图；

b.求回归方程；

c.用回归方程进行预报.

（2）一元线性回归模型

在线性回归方程旷=々+"中，

S(3一G)(”—y)Xx^i—iijcy

.i=1i=1

2

•S(JrI；一下产I—nx--

1=11=1——

b=,a=y—bx.

})称为样本的中心.

注意理解以下几点：

①确定线性相关关系

线性相关关系有两层含义：一是具有相关关系，如广告费用与销售量的关系等在一定条

件下具有相关关系，而气球的体积与半径的关系是函数关系，而不是相关关系；二是具有线

性相关关系.

判断是否线性相关的依据是样本点的散点图.

②回归方程的应用

利用回归方程可以对总体进行预测，虽然得到的结昊不是准确值，但我们是根据统计规

律得到的，因而所得结果的正确率是最大的，所以可以大胆地利用回归方程进行预测.

③借助散点图可以直观地看出两个变量之间是否有相关关系.用最小二乘法思想建立的

线性回归方程，能定量地描述两个变量的关系.

6.独立性检验

(1)独立性检验是对两种事件之间是否有关系进行检验.利用随机变量小来确定在多大

程度上可以认为“两个随机事件有关系”的方法称为两人随机事件的独立性检验.

(2)使用/统计量作2X2列联表的独立性检验的一般步骤：

①采集数据，列2X2列联表，并检查2X2列联表中的数据是否符合要求；

n(ad-bc)^

②根据公式/=(a+〃)(c+d)(a+c)(6+d)计算出炉的值；

③比较上述小的值与相关的临界值，作出相应的判断.

B学科思想培优

一、条件概率

在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，

从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算.其中特别注意事件AB

的概率的求法，它是指事件/I和8同时发生的概率，应结合题H的条件进行计算.如果给出

的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解.在计算时，

在事件/I发生的前提下缩减基本事件总数，求出其包含的基本事件数，再在这些基本事件中，

找出事件月发生的条件下，事件8包含的基本事件数，然后利用古典概型公式求得条件概率.

［典例1］有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽

取2件，求：

(1)第一次抽到次品的概率；

(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；

(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.

［解］记第一次抽到次品为事件从第二次抽到次品为事件氏

弓1

(1)第一次抽到次品的概率为网冷=77=7

乙UA

⑵第一次和第二次都抽到次品的概率为小仍=P(冷尸⑶=白

JL7

1

(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为外例4)=学=2

JLJL7

4

二、相互独立事件与独立重复试验

若4,〃为相互独立的事件，则工与8A与了,彳与力分别相互独立，则有〃(彳应=

P(7)P⑺,P(AB)=P(A)PCB)tP(A~B)=PCA)P(B)X若4,4,4,…，4相互独立,

则2(444…4)=P(4)Pa)....PIA).独立重复试验是相互独立事件的特例.

［典例2］甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直

到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为:，乙每次投篮投中

O

的概率为且各次投篮互不影响.求：

(1)乙获胜的概率：

(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

［解］设4，氏分别表示甲、乙在第〃次投篮投中，则夕⑷=今尸(㈤=/=】，2,3).

O乙

(1)记“乙获胜”为事件a由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概

率计算公式知

P9=尸(7⑻+?(力。右出)+2(才乱了2瓦了心)

=尸(彳)必册+〃(%)〃(豆)■五”(展)+/(1)尸(R)尸(72)2(瓦)尸(力3)尸(由

（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件〃，则由互斥事件有一个发生的概率与相互

独立事件同时发生的概率计算公式知

P⑦=产（7瓦万2氏）+2（％豆五瓦4）

=尸（左）P（左）P（Z）P（民）+P（不）P（豆）网―）・久瓦）尸（㈤

«xQ）+（t）x©xi=F

［典例3］某电视台举办闯关活动，甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成

功的概率为1乙成功的概率为

（1）甲参加了3次闯关，求至少有2次闯关成功的概率；

（2）若甲、乙两人各进行2次闯关，记两人闯关成功的总次数为X求才的分布列.

［解］（D甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成功的概率为:，乙成功的概

O

率就

所以甲参加了3次闯关，至少有2次闯关成功的概挖

片图+cM{l'x（l卜城

（2）甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成功的概率为1乙成功的概率为）

•»/a

甲、乙两人各进行2次闯关，记两人闯关成功的总次数为尤则1的可能取值为0,1,2：3,4,

­=眇做=*

/X^1121,2.1

^(T=1)=C2X-X-X--2+-2XC2X-X

MJ/2=36=3*

/x11.21,1,12,1113

尸(x=2)=n2x-2+--0x-2+c!x-x-xcJx-x-=—,

oZoZ33ZZ00

尸(X=3)=Cjx|x^x12+12XCjx|x1=^=^,

/V=4)=[x]=l，

oZob

所以X的分布列为

01234

111311

p

9336636

三、离散型随机变量的分布列及均值、方差

均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上的，它表明

了随机变最所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中

应用广泛.

离散型随机变量的均值与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有

着重要意义，因此在高考中是一个热点问题.求离散型随机变量I的均值与方差的步骤：

(1)理解1的意义，写出才可能的全部取值；

(2)求/取每个值的概率或求出函数m=A)；

(3)写出X的分布列：

(4)由分布列和均值的定义求出£(»；

(5)由方差的定义,求。(乃.

［典例4］一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡

片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)1表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.

注：若三个数a,b,。满足aWbWc,则称。为这三个数的中位数.

［解］(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为0=与'=涮.

(2)X的所有可能取值为1,2,3,且

_C；C；+C；_17

m=i)=-d-=五'

CaClci+dd+d43

P(*=2)=d=84*

de；i

W=3)=-cT-^

故才的分布列为

X123

17431

P

428412

1743i47

^WM=lX-4-2X-+3X-=-

［典例5］甲、乙两人掷一枚质地均匀的硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次

数为乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为

(1)分别求f与〃的期望与方差；

(2)规定：若;>〃，则甲获胜；若4<〃，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率.

13

〃(^)=3X-Xl--=-,

2(〃)=2X；=l,

〃,(/?)、=2X-1X1—-1=-1

乙乙乙

⑵氏<=O)=C$X

P(f=1)=c；x

P(f=2)=Cx

xgjf

〃=o)=C2x

P(H=1)=C；X

〃=2)扑图4

P(

甲获胜的情况有f=l,〃=0；f=2,〃=0,1；f=3,〃=0,1,2,

所以甲获胜的概率为。尸，［+，；+)+9已1+；1+；1)=!1

o4o4^Zo4N2V4q9・

乙获胜的情况有〃=1,f=0；〃=2,4=0,1,

所以乙获胜的概率为

c11,11.33

^=2X8+4X8+8=W-

四、有关正态分布的问题

对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求了解正态分布中的最基础

的知识.

正态变量在(-8,+8)内的取值的概率为J,正态总体几乎总取值于区间［〃-3。，

〃+3。］之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几

乎不可能发生.

［典例6］某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布*(500,5(f),请

您判断考生成绩在550〜600分的人数.

［解］,/考生成绩1〜M500,502),

/.ju=500,o=50,

・・・P(550〈朕600)=#P(500—2X50<XW500+2X50)—/?(500—5(KXW500+50)］

(0.9544-0.6826)

=0.1359.

工考生成绩在550〜600分的人数为2500X0.1359^340.

五、数形结合思想在正态分布中的应用

［典例7］在一次测量中，测量结果X服从正态分布M2,。2)(。〉0),若才在(0：)内

取值的概率为0.2,求：

(1)乃在(0,4)内取值的概率；

⑵〃(冷4).

［解］(1)由于hA『(2,吟,对称轴x=2,画出示意图，

•••一(0<北2)=尸(2<#4),

・・・P(0</4)=2P((K/2)=2X0.2=0.4.

(2)尸(冷4)=；［1一/(CK/K4)］=；X(1-0.4)=0.3.

六、分类讨论思想在分布列求解中的应用

［典例8］某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第•关需要回答三个问题，其中前

两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正

确得一10分.如果一个挑战者问答前两个问题正确的概率都是0.8,I可答第三个问题正确的

概率为0.6,且各题回答正确与否相互之间没有影响.

（1）求这位挑战者回答这三个问题的总得分f的分布列和数学期望；

（2）求这位挑战者总得分不为负分（即f20）的概率.

［解］（1）三个问题均答错，得0+0+（—10）=—10（分）.

三个问题均答对，得10+10+20=40（分）.

三个问题一对两错，包括两种情况：

①前两个问题一对一错，第三个问题错，得10+0+（—10）=0（分）;

②前两个问题错•，第三个问题对，得0+0+20=20：分）.

三个问题两对一错，也包括两种情况：

①前两个问题对，第三个问题错，得10+10+（-10）=10（分）；

②第三个问题对，前两个问题一对一错，得20+10+0=30（分）.

故f的可能取值为-10,0,10,20,30,40.

Pi<=-10）=0.2X0.2X0.4=0.016；

尸（=0）=c!xo.2X0.8X0.4=0.128；

"（f=10）=0.8X0.8X0.4=0.256；

<=20）=0.2X0.2X0.6=0.024；

〃（<=30）=01X0.8X0.2X0.6=0.192；

P（f=40）=0.8X0.8X0.6=0.384.

所以f的分布列为

-10010203040

P0.0160.1280.2560.0240.1920.384

E（f）=-10X0.016+0X0.128+10X0.256+20X0.024+30X0.192+40X0.384=

24.

（2）这位挑战者总得分不为负分的概率为

尸（f》0）=1一户（<0）=1-0.016=0.984.

七、一元线性回归模型

1分析两个变量间的相关关系时，可以利用样本数据画散点图.利用散点图，如果这些

点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，

这条直线称为回归直线，直线方程称为回归直线方程.

2回归方程的应用：利用回归方程可以对总体进行预测.

［典例9］一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10

次试验，测得的数据如下表:

零件数X/个102030405060708090ICO

加工时间y/min627275818595103108112127

⑴画出散点图，并初步判断是否线性相关;

⑵若线性相关，求回归直线方程.

［解］(1)散点图，圻图所示.

y/inin

130・

120

110

100

90

80

70

0102030405060708090100%/个

由图可知，X、y线性相关.

(2)x与y的关系可以用线性回归模型来拟合，不妨设回归模型为y=a+bx.

将数据代入相应公式可得数据表：

序号零件个数*,(个)加T.时间y,(min)XiyiXi

11062620100

220721440400

330752250900

4408132401600

5508542502500

6609557003600

77010372104900

88010886406400

990112100808100

101001271270010000

E5509205613038500

:.丫=55,p=92,

)0

Z%%—10xy

J=i56130—10X55X92_553

:.b38500-10X552=825

Ex/—10x2

/-I

Q0.670,

--553827

a=y~bx=92—TT7X55==55.133,

bZo15

，回归直线方程为y=0.670x+55.133.

八、独立性检验

独立性检验的基本思想：要研究48两个随机事件彼此是否相关，通过2X2列联表构

造随机变量.如果Y的观测值较大，那么在一定程度上说明两个随机事件有较大把握相

关.

［典例10］某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投

票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也

收集了50份，所得统计结果如下表：

支持不支持总计

北京暴雨后Xy50

北京暴雨前203050

总计AB100

2

已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为m

□

(1)求列联表中的数据X,儿片的值；

(2)绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设

施的投入的态度？

y匚二)支持率

匚二I不支持率

1.0

0.9

().8

().7

0.6

().5

0.4

().3

0.2

0.1

0

暴雨前暴雨后

(3)能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入

有关?

nCac/—be)2

(a+〃)(c+d)(a+c)(A+d)

P(X2^k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

［解］(i)设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件儿

由已知得一(冷=哥《

1UU□