2026年四川省自贡市中考数学真题（原卷版+解析版）

自贡市2026年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如果无人机上升记作，那么下降记作（）A. B. C. D.2.2026年春节期间，自贡市江姐故里、玉章故里等红色旅游景区接待游客约95700人次．将95700用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（）A. B. C. D.4.自贡灯会素有“天下第一灯”的美誉．下面四幅灯组图案中，属于轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（）A.了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查B.“经过两点有且只有一条直线”是必然事件C.任意一组数据的众数都只有一个D.甲、乙两人跳高成绩的方差分别为，，说明甲的跳高成绩比乙的跳高成绩更稳定6.科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据：（单位：）1248（单位：）80402010则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（）A. B. C. D.7.如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（）A. B. C. D.8.我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（）A. B. C. D.9.如图，在中，，，，与的角平分线分别交于点，，与相交于点，连接，则的值为（）A. B. C. D.10.如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（）A.8 B.9 C.10 D.11第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）11.分解因式：_____．12.正五边形与等腰按如图摆放，则_____．13.每天适量饮水有利于身体健康．生活老师想了解全班学生饮水情况，随机抽取该班5名学生进行调查，他们每天的饮水量分别为：1，1.5，1.2，2.2，2（单位：）．这组数据的中位数为_____．14.“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____．15.如图，正方形中，点为的中点，作，交于点．点，分别在等腰的直角边和斜边上，且，与交于点．连接，若，则的最小值为_____．三、解答题（共9个题，共90分）16.计算：．17.解不等式组：．18.如图，在矩形中，点，分别为边，上的点，且，连接，．求证：．19.为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛．从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目．投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题：（1）本次投票共_____人参与，其中“乒乓球”所占百分比为_____，并补全条形统计图；（2）某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4名同学（两男两女），从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率．20.在七年级校园足球赛中，每班球队要进行场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜场积分，平场积分，负场积分．（1）班负了场，总积分为分，求班胜了多少场？（2）班总积分为分，请直接写出班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）．21.如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为．（1）求反比例函数的解析式及的值；（2）请直接写出当时的取值范围；（3）点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标．22.如图1，等边内接于，为中点，连接并延长交于点，作．（1）求证：是的切线．（2）如图2，点为射线上的动点，连接并延长与的优弧交于点（与点，不重合），连接，．①在点运动过程中，请探究线段，，的数量关系并说明理由：②连接，若，当点到的距离最大时，请直接写出的值．23.在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度）和笔直的竹竿（长度）进行测量．（1）小刚建议这样测量：如图1，线段表示所要测量的大树，在操场上点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿（长度）顶部恰好看到树顶端，此时竖直竹竿与小刚的水平距离．小刚将观测点后移到处，采用同样方法，测得．小刚眼睛距离地面的高度，点，，，与树的底部在同一水平线上．据此可知点到的距离为_____，图中两组相似三角形是_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到）．（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点处安置测角仪（高度）测得树顶端的仰角，前行到点处测得树顶端的仰角，点，与树的底部在同一水平线上，量得．请按此方案求树的高度（结果精确到）．（参考数据，，）（3）两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．24.平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．（1）求，的值．（2）如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）．①求线段长度的最小值；②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

自贡市2026年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如果无人机上升记作，那么下降记作（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知的上升的记法，即可推出下降的记法．【详解】无人机上升记作，那么下降记作．2.2026年春节期间，自贡市江姐故里、玉章故里等红色旅游景区接待游客约95700人次．将95700用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数．【详解】解：∵将原数变形为符合要求的时，小数点向左移动了位，得到，满足，∴，因此用科学记数法表示为．3.下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据主视图，左视图，俯视图的定义找出从正面，左面，上面看到的几何体的形状图都一样的几何体即可．【详解】对于选项A（正方体）：从正面、左面、上面看都是正方形，图形都相同，符合题意；

对于选项B（三棱柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是三角形，图形不同，不符合题意；

对于选项C（圆锥）：从正面和左面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），图形不同，不符合题意；

对于选项D（圆柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，图形不同，不符合题意．4.自贡灯会素有“天下第一灯”的美誉．下面四幅灯组图案中，属于轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，对各选项进行判断即可．【详解】A.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C.该图形能找到一条竖直的对称轴，沿对称轴折叠后左右两部分能完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；D.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．5.下列说法正确的是（）A.了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查B.“经过两点有且只有一条直线”是必然事件C.任意一组数据的众数都只有一个D.甲、乙两人跳高成绩的方差分别为，，说明甲的跳高成绩比乙的跳高成绩更稳定【答案】B【解析】【分析】根据全面调查的、事件发生的可能性大小、众数的概念以及方差的意义进行分析判断．【详解】A、全国中学生数量庞大，全面调查难度大，应采用抽样调查，故A错误；B、“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，该事件一定发生，属于必然事件，故B正确；C、一组数据的众数可以有多个，例如数据的众数为和，故C错误；D、方差越小，成绩越稳定，，故乙的跳高成绩比甲更稳定，D错误．6.科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据：（单位：）1248（单位：）80402010则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式．【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，，∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设，∴，∴．7.如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出与轴的位置关系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出的长度，确定点的坐标．【详解】解：在中，，，，由旋转的性质得，，，，，轴，，，中，，在轴的负半轴，的坐标为．8.我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取点，，容易证明，则，由勾股定理可得，从而得到．【详解】解：如图，取点，，根据题意可知，，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∵，，，∴．9.如图，在中，，，，与的角平分线分别交于点，，与相交于点，连接，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由平行四边形性质及角平分线定义得出相关角度，进而由等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，确定，再结合含直角三角形性质得出，由等边对等角及外角性质求出，最后根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：在中，，，则，，平分，，在中，，则，，在中，，则是等边三角形，，则，平分，，在中，，，则，在中，，，则，，，则，是的一个外角，且，，．10.如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】过作于，可证得四边形为矩形，，根据相似三角形的性质得到比例式，再表示出关于的式子，代入到中，得到关系式，再结合函数图象求出，，的长，结合沿运动时候的函数图像求出的长，进而可求出的长．【详解】解：过作于，如图所示，∵，∴，∵，∴∵∴∴四边形为矩形，∴，当在上运动时，∵，∴，∴，∴，由题设，则，∴，∴，由函数图象可知，当时，​，∴，即，当到达点后，在上运动时，恒等于高，此时，由函数图象可知，当时，∴，即，∴，把代入中得，解得；∴在中，，当点开始沿运动，此时，∴，代入时，得，∴，∴．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）11.分解因式：_____．【答案】【解析】【分析】利用平方差公式分解因式．【详解】解：．12.正五边形与等腰按如图摆放，则_____．【答案】【解析】【分析】先根据正多边形的性质求出，再根据等腰直角三角形的性质结合三角形内角和定理得到，由即可得出结果．【详解】解：∵五边形为正五边形，∴，∵是等腰直角三角形且，∴，，∴，∴．13.每天适量饮水有利于身体健康．生活老师想了解全班学生饮水情况，随机抽取该班5名学生进行调查，他们每天的饮水量分别为：1，1.5，1.2，2.2，2（单位：）．这组数据的中位数为_____．【答案】【解析】【分析】先将数据从小到大排序，根据数据个数为奇数，取中间位置的数即可得到中位数．【详解】将这组数据从小到大排序为：，，，，，本组数据共有个，个数为奇数，中位数为排序后第个数，即．14.“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____．【答案】##【解析】【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解．【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为，如图所示，根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E，∴，则，∴，，，4个空白半圆的面积为，∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：，∴在中，弓形的面积为，同理，大圆内4个花瓣的面积和为，∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为

．15.如图，正方形中，点为的中点，作，交于点．点，分别在等腰的直角边和斜边上，且，与交于点．连接，若，则的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，四边形是正方形，设边长为，如图所示，将

绕点

顺时针旋转

得到

，点

在

的延长线上，则，有勾股定理列式求解得到，再证明，结合角度的计算得到点

在以

为弦，含

圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为

，半径为，得到，如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，结合图形，两点之间距离的计算即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，设边长为，∴，∵点为的中点，∴，∵，且是等腰直角三角形，∴，∵，∴，如图所示，将

绕点

顺时针旋转

得到

，点

在

的延长线上，∴，∴，则，且，∴，∴，在中，，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，且，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴点

在以

为弦，含

圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为

，半径为，∵圆周角，，∴

是等腰直角三角形

，∴，

如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，∴，∵在直线上，且在正方形内部（），∴

圆心在的上方，且到的距离为，∵

的中点坐标为

，∴

圆心的坐标为，连接，交圆弧于点，此时取得最小值

，∴

．三、解答题（共9个题，共90分）16.计算：．【答案】【解析】【分析】先分别计算绝对值、零指数幂、算术平方根，再算加减法．任意非零数的零指数幂等于1．【详解】解：．17.解不等式组：．【答案】【解析】【详解】解：，解不等式得，解不等式，，，，解得，不等式组的解集为．18.如图，在矩形中，点，分别为边，上的点，且，连接，．求证：．【答案】证明：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴∴∵，点，分别为边，上的点，∴∴四边形是平行四边形，∴．【解析】【分析】根据矩形的性质可得，，结合已知可得，进而得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证．【详解】略19.为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛．从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目．投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题：（1）本次投票共_____人参与，其中“乒乓球”所占百分比为_____，并补全条形统计图；（2）某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4名同学（两男两女），从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率．【答案】（1）500，，（2）【解析】【分析】（1）根据占比求人数，由此得到“乒乓球”的人数和占比，即可补全图形；（2）运用列表法或画树状图法表示所有等可能结果，再根据概率求解即可．【小问1详解】解：羽毛球有150人，占比为，∴，∴本次投票共有500人，∴“乒乓球”有（人），∴“乒乓球”所占百分比为，补全图形：略；【小问2详解】解：用列表法或画树状图法表示所有等可能结果如下，分别用男1，男2，女1，女2表示，∴共有12种等可能结果，其中“一男一女”的结果有8种，∴所抽取的两人为“一男一女”的概率．20.在七年级校园足球赛中，每班球队要进行场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜场积分，平场积分，负场积分．（1）班负了场，总积分为分，求班胜了多少场？（2）班总积分为分，请直接写出班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）．【答案】（1）场（2）①胜平负；②胜平负；③胜平负；④胜平负；⑤胜平负；⑥胜平负．（任意两种正确结果即可）【解析】【分析】（1）设班胜了场，用总场次、负场数表示的平场数，再根据总积分列一元一次方程，求解得到胜场数；（2）设班胜场，平场，根据总积分列二元一次方程，结合场次限制，列举出所有非负整数解对应的胜、平、负场次组合．【小问1详解】解：设班胜了场，∵一共场比赛，负了场，∴平的场数为场，根据总积分为分列方程：，化简得，解得，答：班胜了场；【小问2详解】解：设班胜场，平场（为非负整数，且），∵总积分为分，∴，即取非负整数解即可：①，则；即负场，即胜平负；②，则负场，即胜平负；③，则负场，即胜平负；④，则负场，即胜平负；⑤，则负场，即胜平负；⑥，则负场，即胜平负（任选两种写出即可）．21.如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为．（1）求反比例函数的解析式及的值；（2）请直接写出当时的取值范围；（3）点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标．【答案】（1），；（2）或；（3）点的坐标为．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）联立求得点的坐标为，根据函数图象即可求解；（3）先求得直线与坐标轴的交点坐标，证明是等腰直角三角形，得到点是的中点，据此求解即可．【小问1详解】解：∵反比例函数经过点，∴，∴反比例函数的解析式为，∵一次函数的图象经过点，∴，解得；【小问2详解】解：由（1）知一次函数的解析式为，联立得，解得或，∴点的坐标为，∴当时的取值范围为或；【小问3详解】解：设直线与坐标轴的交点分别为和，令，则，令，则，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴点是的中点，∴点的坐标为．22.如图1，等边内接于，为中点，连接并延长交于点，作．（1）求证：是的切线．（2）如图2，点为射线上的动点，连接并延长与的优弧交于点（与点，不重合），连接，．①在点运动过程中，请探究线段，，的数量关系并说明理由：②连接，若，当点到的距离最大时，请直接写出的值．【答案】（1）证明：∵为中点，在的延长线上，∴，∵，∴，∵是的切线；（2）或，理由如下：当点在上时，如图，在上取点使得，∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；即，当点在上时，如图所示，在的延长线上取，同理可得，∵四边形是的内接四边形，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，又∵，，∴，∴，即；【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，根据得出，即可得证；（2）分情况讨论，当点在上时，在上取点使得，，证明，得出，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；当点在上时，如图所示，在的延长线上取，证明，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；②根据题意得出当点到的距离最大时，，设的交点为，连接，，解直角三角形，分别求得，，的长，再求比值，即可求解．【小问1详解】略【小问2详解】①略②∵点在优弧上，∴当点到的距离最大时，，如图所示，设的交点为，连接，，∵是等边三角形，，∴，，∴，∵，∴，，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，，∴，则，，∵，∴，∴，∴，在中，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，，由（1）可得在上，，∴，如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．23.在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度）和笔直的竹竿（长度）进行测量．（1）小刚建议这样测量：如图1，线段表示所要测量的大树，在操场上点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿（长度）顶部恰好看到树顶端，此时竖直竹竿与小刚的水平距离．小刚将观测点后移到处，采用同样方法，测得．小刚眼睛距离地面的高度，点，，，与树的底部在同一水平线上．据此可知点到的距离为_____，