教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷1

教师公开招聘考试中学数学（向量）模

拟试卷1（共8套）

（共200题）

教师公开招聘考试中学数学（向量）模

拟试卷第1套

一、选择题（本题共9题，每题，.0分，共9分。）

1、已知向量a=（xi，yi）,b=（X2»ya）»则下列说法错误的是（）.

A、aJLb的充要条件是x]X2+yiy2=0

a-=xj+yj

C、a.0=0

D、a//b的充要条件是xiy2—X2yi=0

标准答案：c

知识点解析：两个向量的数量积应为一个数而不是向量，任意非零向量与零向量的

数量积均为0而不是零向量，故C项错误.

为yizi

2、有向量a=（xi，yi，zi）,b=（X2，y2,Z2）»则行列式”Zi表示的是（）.

A、a+b

B、a—b

C、a.b

D^axb

标准答案：D

ziyiz\

知识点解析：由题XlWZt=(yiZ2-ziy2)i+(ziX2一xjZ2)j+(xiy2—yiX2)k,即等

于向量的向量积axb.

3、已知非零向量a=(xi，yi),b=(X2,y2)，两向量的夹角为0,则下列说法错误的

是().

a*b

A、IbIcos0=|a1GR,称为向量a在b方向上的投影，投影的绝对值称为射影

B、(a+b).(a—b)=(xi2—X22)+(yi2—yi2)

C、cos8=&+乂,T豆

D、(Xa).b=X(a.b)=a.(Xb)(lGR)

标准答案：A

a,b

知识点解析：IbIcos6=lflIGR,称为向量b在向量a方向上的投影，故A项错

误；(a+b).(a—b)=a~—b~=IaI—Ib广=(xF—X2~)+(y广—y2?),B项正确;C^D

项分别是向量的夹角公式和向量与实数相乘的结合律公式，均正确，因此本题选

A.

4、向量a=(m,2,1),b=(2,一1,n),已知a和b不平行,则

A.m=­4B.mK-4且〃K一了

/、C.w=~yD.mX-4或〃羊-方

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

m_2_11

知识点解析：若allb,则5=解得m=T,n=~T.因此，当a和b不

2

平行时，只需满足m¥-4或时一»即可.

2_已知a=—2i+mj+3k,b=ni—2j—k是空间中的两个向量，则“a||b”是"m=6,n=

~3

”的().

A、充分不必要条件

B、充要条件

C、必要不充分条件

D、既不充分也不必要条件

标准答案：B

,一2m32

知识点解析:当allb时,有〃一2-1,解得m=6,n=3,所以“a||b”是

2_22.

“m=6,n=3”的充分条怜;当m=6,n=3时,=—2i+6j+3k,b=3—2j-k,则

2a

a=—3b,gpallb,所以“a||b”是"m=6,n=3”的必要条件，因此本题选B.

6、已知a=(l,—1,1),b=(2,2,1),则a在b上的投影为

().

A.3B.-3C.D.——

oJ

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：IaIcos即为a在b上的投影，将题干中的数代入，则有IaIcos=

a•b(1,-bl)•(2,2,1)1

—T-----L=......................=一

\b\33.

H-1_Y+3_Z+2

7、已知空间内两直线h：~^一一一5一一~二丁和12：

▲8f3

A.m=一~1或zi=——

J4

八8口383

C.m=-T-Kn=——D・m=可且n=-

川112，则(),32M4

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：由题意知直线h，12的方向向量分别为si=(m,2,—1),S2=(4,3,

-183

—m=_2——---/»>=-11=—

-n),因为川112,所以43—〃，解得32.

8、在平行四边形ABCD中,顶点A(3,2,0),B(5,3,1),C(0,—1,3),则平

行四边形ABCD的面积为().

A、3

C、3714

D、6

标准答案：C__

知识点解析：由题干可知,AB«(2JJ),AC=(-3.-3,3),所以

I入Bi=/TF+l?=而.|AC|=5/(—3产+(3)2+3?=3旧,coszBAC=

AB•AC-642

I・，u・i・■・!■■

|AB||希|76X3733,又因为/BAC是平行四边形的内角，所以

zBAC6(0,兀)，sinz.BAC=

Ji-cosZBAC=g,SOA^D=\AB\IAC|sin/BAC=V6X3V3X^--3714

J3

x-1_y-3_z+1J-2y-1_3-z

9、已知空间内两直线h：-1-==­二二7和I2：F—~~^一—下一，则

力］112”是“01=—产一2''的().

A、充分不必要条件

B、充要条件

C、必要不充分条件

D、既不充分也不必要条件

标准答案：C

知识点解析:由题意可知直线h，12的方向向量分别为si=(2,m,—1),S2=(n,

3,—2).若1山2，则有SI.S2=(2,m,—l).(n,3,—2)=2n+3m+2=0,无法推出

m=­n=-2；若m=-n=-2,贝ijsi=(2,—2,—1),S2=(2,3,—2),即si.S2=0,

所以11112.综上所述“112"是“m=—n=—2”的必要不充分条件.

二、填空题(本题共8题，每题上0分，共8分。)

10、已知点P1=(xi，yi),P2=(X2,y2)»O为坐标原点，若点P(x,y)分有向线段

:西1所成的比例为入，即1=入际,则法=(用际、曲表示)，

x=,y=.

标准答案：白"+方沌工1+人工2)|+人？

14-A1+A

知识点解析：根据线段定比分点的向量公式可知即

1(119川=13+2彳2、|+久y2

(X,y)=l+入1+A1+人

11、若x,yER,i,j是平面直角坐标系内x,y轴正方向上的单位向量，若向量

a=(x+l)i+yj,b=(x—1)i+yj,且IaI+IbI=4,贝U点N(x,y)的轨迹方程是

二十之

标准答案:了T

知识点解析：依题意可知点N(x,y)到F](—l,0),F2(l,0)距离之和为4,根据椭

圆的定义可知N的轨迹是以Fi，F2为焦点的椭圆，且c=l,2a=4,所以b2=3,因

x2/

此N的轨迹方程为牙+5二1.

12、已知向量a=2i+2j—k,则与其方向相同的单位向量球=

2.,2.1

标准答案:

(2,2,-1)2

2n2.,211

*5

知识点解析:4-22+(-1)2

13、在平面直角坐标系中，已知两点A(l,2),B(3,—1),O为坐标原点，若点

一，・»

C(x,y)满足3c=十〃,其中入+产1,则点c的轨迹方程是________.

标准答案：3x+2y—7=0

知识点解析：由题，根据三点共线定理可知，A,B,C三点共线.因此点C的轨

一1一2

迹是A,B所在的直线，故点C的轨迹方程是y—即3x+2y—

7=0.

14^已知空间内两个平面a：x—my+2z=4,。：一x+y—2z=l,若a与0的二面角

县

的正切值为7,则0!=.

标准答案：3或一行

知识点解析：依题意可知，a,。的一个法向量分别是ni=(l,—m,2),n2=(—h

75

1,—2).设a,。的二面角为0,因为0曰0,n],tan0=4,所以cos0=_cos<

4叫,-2_~~1_m_4_4

ni，即cos<ni，n2>=IWt।।w2Iy/S-hm2•>/6,解得m=3

或m=5.

15、已知IaI=1.IbI=2»Ia—bI=V3,则a与b的夹角为.

标准答案：彳

知识点解析：la—bIz=(a-b)2=a2-2a.b+b2=l-2a.b+4=3,所以a.b=—1,故cos

a•b_1n

<a,b>=6方=5,所以a与b的夹角为彳.

16、若向量m,n的夹角为60。，ImI=2,InI=点，则(m+2n)(m一

n)=.

标准答案：6一2

知识点解析:(m+2n)(m一n)=m2+m.n—2n2=ImI2+ImIInicos60°—2InI

2=4+2x^XT—2x3=^3~2..

17、已知向量a=2i+3j—k,b=—i+2j—2k,c=2ma—3nb,若clx轴，则

m=.(用n表示)

3

——n

标准答案：4

知识点解析：依题意有c=2m(2i+3j—k)—3n(—i+2j—2k)=(4m+3n)i+(6m—6n)j

(2m-6n)k,取x轴单位方向向量e=(l,0,0),因为cJLx轴，所以c_Le,即

3

——tl

c.e=(4m+3n,6m―6n,—2m+6n).(l,0,0)=4m+3n=0,所以m=4.

三、解答题（本题共5题，每题分，共5分。）

18、已知函数y=7,如图过点M(0,—1)作斜率为k的直线1交该函数图像于

A,B两点.若该函数曲线的焦点F与A,B,C三点按图中顺序连接成平行四边

形，求点C的轨迹方程.

标准答案：由题干可知，抛物线焦点坐标为F(0,1),设A,B,C三点坐标分别为

G用，"芝),(“，,)

.因为F(0,1),M(0,—1),所以

(川,苧+1)标=位=\/-1).前=

MA=

工4+)4

.又因为M、A、B三点共线，所以加〃加.所以

俘+以2俘+】)

\4)\4)，即X]X2(X1—X2)=4(X1—X2).因为XyX2，所以

X1X2=4.又因为四边形ACBF为平行四边形，所以记不=衣，所以

"T=JT),所以.

K+—,S+12)2-2/5,S+彳2)20

444.又因为X]=x—X2，即

(x?-Fx\)2XJX2

x=x]+x2，所以x?=4y+12.又因为y=4~1二1.所以点c的

轨迹方程是y=4—3(y>l).

知识点解析：暂无解析

在正方体ABCD—ABCD中，IAA'I』.

19、证明：ABLLCD，.

标准答案;如图所示,建立空间直角坐标

系.由图知A(a,0,0),B'(a,a,a),C(0,a,0),D'(0,0,a),所以AB'=(o,

—111.

a,a),.CD*=(0,—a,a),因为AI3'XCD'=0x0+ax(—a)+axa=0,所以

-----♦I/

AB'_LCD',即AB,1CD,.

知识点解析：暂无解析

20、求二面角D—A，C—B的正切值.

标准答案：设面DA，C的法向量为,m=(xi，yi，zi),面BA，C的法向量为

n2=(x2,y2，Z2),二面角D—AC'—B的平面角为(x.由图知A'C'=(—a,a,0),

A'D=(_a,0,—a),因为nil面DA，C,所以

n\•=,2|)•(一a,a.0)=0aj.^ayi=。

―>•即

fl]・A'D=(Z|，之1)・(一a,0,—a)=0(a/i+az)=0令7产],则

xi=yi=—1,所以面DA，C的一个法向量为，ni=(—1,—1,1).同理可得面

BAX7的一个法向量为n2=(l,1,1).所以cosl,n2>=

Hi・-】Xl+(-lXl)+lXlI1(

而X"3所以刖=可且。气°.”所以

tana=29.

知识点解析：暂无解析

请用向量证明下列推论：

21、直径所对应的圆周角是直角.

标准答案：、J/如图所示，BC为。0的直径，A为圆上不同于B、C

如图可知•而=而一万一次.

因为而=一衣，|万？|二|OB|=|OCh

所以俞.AC=(OB-OA)•(OC-OA)

=OB-OC-OB-OA-OC-CM+OA2

=|OB||OC|cosl800+|OA|2-(M•(OB+OC)

=-|0A|24-|OA|z-0A•(-OC4-OC)

的一点.：所以

病_1_启，即乙BAO90。.

知识点解析：暂无解析

22、平面上对角线互相平分的四边形是平行四边形.

标准答案:如图所示，ABCD为四边形，O分别为

AC、BD的中点.由图可知，戏=同+6人比=而+。4因为对角线相互平

所以而•而=而・

分，所以彳宜=反.即|施।二|反I且AB〃DC所以该四边形是平行四边形.

知识点解析：暂无解析

教师公开招聘考试中学数学（向量）模

拟试卷第2套

一、选择题（本题共9题，每题1.。分，共9分。）

1、向量a=(—2,2,1),b=(2,—1,—3),则I2a+3bI

A.6+3/IKB.376

=().C.3>/3OD.>/29

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：2a+3b=2x(—2,2,l)+3x(2,—1,—3)=(2,1,—7),所以I

2a+3bI=，22+l，+(-7)z=3痣.

2、已知空间内两个平面a：x—2y+2z=4,p：—x+y—2z=l,则a与。的夹角的余

A76730

B.IT

C_迹D厚

弦值为().18'18

A、

B、

C>

D、

标准答案：A

知识点解析：依题意知平面a与。的一个法向量分别为2=(1,—2,2),n2=(h

—1,2),两平面夹角的范围为I'2」，又|niI-(-2.+22=3,In2I=

1)2+2?=而,所以两平面夹角的余弦值为cosVni，n2>=

n\•_1+2+4_7而

1»1I\n213X5/618.

A・4

7_

B.io

士学

C.

13

D.

3^已知IaI=3,IbI=5,若(ma+2b)l(ma—2b),mWR,则m=().T

A、

B、

c、

D、

标准答案：C

知识点解析：依题意有(ma+2b).(ma—2b)=m2a2—4b2=9m2—4x25=0,解得m二

4、下列说法正确的有().Qa.(b.c)=(a.b).c；②Xa与a同向；@a.(b+c)=a.b+a.c；

④a+b=b+a；⑤(入+N)a=Xa+|ia.(入、p均为实数)

A、①②③

B、②④⑤

C、®@®

D、③④⑤

标准答案：D

知识点解析：向量的数量积不满足结合律，故①错误；当入<0时，Xa与a异向，

故②错误；③④⑤分别是向量数量积的分配律运算、向量加法中的交换律运算和

向量数乘中的分配律运算，均正确.因此本题选D.

5、已知点C在线段AB上，且AC=2BC,若O是线段所在直线外的一点，贝U

A.OC^^OA-^OBB.OC=^OA-^OB

ov015

C.OC=^OA-^^OBD.=

().JJ0o

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：依题意可知

—».♦2.—>—►|"»,1»■■—♦・・"♦2.—>2-

|AC=2CB,所以AC=可AB,又因为AB=OB—。A,则OC=OA+AC=OA+可AB=OA+彳(C

6、已知向量a=i+2j—k,b=一2i―j+k,则axb=().

A、—i—j

B、3i—j+3k

C、—5

D、i+j+3k

标准答案：D

知识点解析:axb=(l,2,—1)x(—2,—1,l)=[2xl—(―1)x(—l)]i+[(—1)x(—2)-

lxl]j+(|x(—1)—2x(—2)]k=i+j+3k.

7、已知n=(l,2),m=(一2,1)，若向量ON=。，OM=m.则MN三（）•

A、(3,1)

B、(—3,—1)

C、(―1,3)

D、(―1,1)

标准答案：A

知识点解析：iVfN=ON-OM=n—m=(1,2)—(—2,1)=(3,1).

8、已知a=i+2j+3k,b=2i+mj+4k,c=ni+2j+k是空间中的三个向量，则“m=0且

n=0”是“a,b,c三向量共面”的（）.

A、充分不必要条件

B、充要条件

C、必要不充分条件

D、既不充分也不必要条件

标准答案：A

123

2m4

知识点解析：三向量共面的充要条件是（axb）.c=0,即"21二o,所以m+8n—

3mn=0.当m=0且n=0时，等式成立，可推出三向量共面；当三向量共面时，无

法推出m=0且n=0.因此选A.

9、在四面体OABC中，OB=OC=1,4AOB=zAOC=k'则。刊*BC

A囱・

A2BT

C.~D.0

=().

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

OA•BC=OA•(OC-OB)=OA-OC-OA-OB=|OA||OC|cosZAOC-

|加||律Icos/AOB,因为O8=OC=1，NAO3=NAOC=1所以5X-BC=0.

二、填空题（本题共7题，每题1.0分，共7分。）

10、在^ABC中，已知;AB=(4,3),BC=(—3,4),zC=60°,则面积

S△ABC=•

标准答案：彳“一一

知识点解析：依题意知IAB|=|BC|=5,则乙A二乙C,又因为々C=60。，所以aABC

是边长为5的等边三角形，故SAABC^X5X5Xsin600=小

11、已知a=—2i+2j,b=—mi+j,c=4i+nj是平面内的三个向量，若此三向量共线，

则m+n=.

标准答案：一3

知识点解析：根据题意知a=(—2,2),b=(—m,1),c=(4,n),因为三向量共线，

-2__m_4

所以21n,解得m=l,n=—4,所以m+n二一3.

12^已知向量a=(l,y,—1),b=(x,4,3),且x,yGN*,若a.b=0,则xy的最大

值是.

9

标准答案：16______

知识点解析：因为a.b=x+4y—3=0,所以3=x+4y.2，r・4了=47^7,g|JXy<

99

正，当且仅当x=4y时取等号，此时(xy)max二诏

13、一物体(可视为质点)在力F=2i+3j—k的作用下由点A(—3.1,2)运动到点

B(2,3,4),则力做功为焦耳.

标准答案：14

知识点解析：由题意可知位移谶=(5,2,2),所以力做的功W=F•航=(2,3,

一1).(5,2,2)=14.

14、已知i,j,k分别是空间直角坐标系x,y,z三个轴的单位向量，若s=i+j+k,

则IsI=.

标准答案：W

知识点解析：依题意知i,j,k之间相互垂直，所以i.j=0,j.k=0,i.k=0.又因为

s2=(i+j+k)2=i2+j2+k2+2i.j+2j.k+2i.k=3,所以IsI二伍“

15、已知向量a=(3,4,5),则与a平行的单位向量，n=

(342242直］或2V2—坦)

标准答案：(_行'_亍'一5)

।0一I,,4：5)二十:4272我、

知识点解析：『一⑺一々+42+'一(而‘一T'2人所以与向量a平

(342142遮］或｛_42V2

行的单位向量为I而，飞1一"6’一""r,"yj.

3=工=2=如山=,_］=3

16、已知空间两直线h：23一1和12：一32,则直

线h，12的夹角的余弦值是.

U

标准答案：14

知识点解析：依题意可知直线h，12的方向向量分别是S|=(2,—3,—1),S2=(—

3,I,2),IsiI=IsI=>/H,所以直线1］,12的夹角的余弦值cosl,s2>=

$i•$?_(2,-3,-1)•(-3.1,2)__11

ETRTT-jRxjri一诃，又因为两直线的夹角范围为

o-111

L2J,所以直线1］与12夹角的余弦值为14.

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

如图，平面ABCD、平面AFEB、平面FAD为三个互相垂直的平面，AB、AD、

BC^yAD.BE=^-AF

AF分别为两两平面的交线,H、G分别为线段FA、

FD的中点.

17、证明：四边形BCGH是平行四边形:

BC=^-AD-AD

标准答案：因为2,所以BCIIAD且BC=2.又因为H、G分另L为

2-AD

线段FA、FD的中点，所以HG是4ADF的中位线，即HGIIAD且HG=2,所

以BCMHG,因此四边形BCGH是平行四边形.

知识点解析：暂无解析

18、判断C、D、E、F四点是否共面?为什么？

标准答案：同上小题可证得四边形RFFH也是平行四边形，所以EFIIRH.由⑴知

CGHBH,所以EFIICG,则EF与CG共面.又因为DEDF,DFU平面EFGC,所

以C、D、E、F四点共面.

知识点解析：暂无解析

-z-1=0

已知空间直线L的一般方程为L"一，+3=+3=0,求:

19、直线L与平面a：x—2y+z—2=0所成角的正弦值.

标准答案：依题意知平面a的一个法向量为2=(1,—2,1),直线L的方向向量

iJ*

12一1

3

s=(l,2,—1)x(2,—1?3)=2=(5,—5,—5),因为直线L与平面a

-0匚s-zij_5+10_5_42

的夹角0G-2.,所以sin0=IcosVs,ni>I=IsI\niT573X价3

知识点解析：暂无解析

20、过点A(3,2,一1)且垂直于直线L的平面p.

标准答案：因为平面。与直线1垂直，所以可令平面。的法向量，n2=s=(S,-5,

-5).又因为平面。过点A(3,2,—1),所以平面。的方程为5(x—3)—5(y—2)—

5(z+l)=0,即x一y一z-2=0.

知识点解析：暂无解析

已知空间向量a=(3,0,I),b=(2,—3,1),求：

21、a.b,axb.

标准答案：a.b=(3,0,—4).(2,—3,l)=3x2+0x(_3)+(—)xl=2：axb=

iJk

30—4

2-31=—12i—llj—9k.

知识点解析：暂无解析

22、(2a).(—b),(—a)x(2b).

标准答案：(2a).(—b)=—2(a.b)=—2x2=—4；(―a)x(2b)=—2(axb)=—2(—12i—1Ij-

9k)=24i+22j+18k.

知识点解析：暂无解析

23、向量a,b所成角的正弦值.

a・b2

标准答案：因为IaI二5,IbI所以5X/TT35a与

b的夹角在［0,兀］的范隹内，所以O^sinWL所以sin=35.

知识点解析：暂无解析

己知a,b,c是平面上三个单位向量，且a+b+c=O.

24、证明：(a—b)lc.

标准答案：因为a、b、c为单位向量，所以|aI二IbI=IcI=1.设a与b之间

的夹角为0,由题干得a+b=-c,W(a+b)2=c2.化简为Ia产+21alIbI

12n

cosO+IbI2=IcI2.代入得cosO=~2.因为0G［O,呼所以8=3.同理可求

2n

得a与c、b与c的夹角均为3.所以(a—b).c=a.c—b.c=lxlxcosl20°

lx|xcosl20°=0.即(a—b)lc.

知识点解析：暂无解析

25、若Ia—b+kcI>2(k6R),求k的取值范围.

标准答案:因为Ia一b+kcI>2,所以Ia—b+kcI2>4,即a2+b2+k2c2一

2

2a.b+2ka.c—2kb.C>4,因为a.c=b.c=a.b=.所以l?+l+l—2x

(一万)+2"(一E)—2AX(一即卜2T>o,解得kv—i或k>l.故k

的取值范围是(一oo,—l)U(l,+oo).

知识点解析：暂无解析

教师公开招聘考试中学数学(向量)模

拟试卷第3套

一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

1、已知空间内两直线h：m一104H'若h〃12，则

B.m=可或n=w

C.m=彳且n

().

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：由题意知直线h，12的方向向量分别为si=(m,2,-1),S2=(4,3,

—n),因为I//I2，所以

B.m=行或n=K

C.m=彳且n

2、已知n=(l,2),m=(-2,1).若向量而=%曲=朋，则就=().

A、(3,1)

B、(-3,—1)

C、(-1,3)

D、(-1,1)

标准答案：A

知识点解析,MN=ON—OM=n—ni=(1,2)一(—2.1)=(3,1)・

3^向量a=(x,2,1),b=(2,—1,y),alb,则y关于x的函数图像不经过().

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

标准答案：C

知识点解析：因为a_Lb,所以a.b=2x—2+y=0,即y=-2x+2,如图所示，该函数

图像不过第三象限.1'

4、在平行四边形ABCD中，顶点A(3,2,0),B(5,3,1),C(0,一1,3),则平

行四边形ABCD的面积为().

A、3

C、3714

D、6

标准答案：C

知识点解析：

也题干可知，荏=(2,1.1),衣=(一3,—3,3),所以：MIMJFTFFF=s/6,|AC|-3)?+(-3)*+3‘■地,

AB•AC-642

cos/BAC=—»=--------=——.

|AB|\AC\76X3733

又因为NBAC是平行四边形的内角，所以(0.7t).sinZBAC=71-cos*/BAC=

J

S..ABCD=«|AB||AC|sinZBAC-s/6X373X5^--33.

w

5^已知a=i+2j+3k,b=2i+mj+4k,c=ni+2j+k是空间中的三个向量,则“m=0且

n=0”是“a,b,c三向量共面”的().

A、充分不必要条件

B、充要条件

C、必要不充分条件

D、既不充分也不必要条件

标准答案：A

知识点解析：三向量共面的充要条件是(axb)?c=0,即〃21所以m+8n-

3mn=0.当m=0且n=0时，等式成立，可推出三向量共面：当三向量共面时，无

法推出m=0且n=0.因此选A.

市=一前，求示­(PB-I-PC)=().点P在AM上，且满足

A、-2

J_

B、2

4

C、§

D、2

标准答案：B

知识点解析：因为AM=1,点P在AM上且PA=-PM，因此

|PM|=行|AM|="5■・又尸B+PC=2PM,则PA•(PB+PC)=2PA-PM=-2PM?=2PMJ=--.

答案为B

7、已知空间内两直线和乙！丁===丁'则"hl，'是

"17|=-11二一2''的().

A、充分不必要条件

B、充要条件

C、必要不充分条件

D、既不充分也不必要条件

标准答案：C

知识点解析：由题意可知直线h，12的方向向量分别为si=(2,m,-1),s2=(n,

3,—2).若I1II2,则有si.S2=(2,m,—1).(n,3,—2)=2n+3m+2=0,无法推

出m=­n=-2；若m=-n=-2,则S[=(2,—2,—1),S2=(2,3,—2),即

si.s2=0,所以hll2.综上所述“I1L2”是"m=-n=-2”的必要不充分条件.

8、在四面体OABC中，OB=OC=1,0A•"(〕=().

2

C、乙

D、0

标准答案：D

知识点解析：

04・BC=OA•(OC-OB)=OA-OC-OA-()8=\()A\\()C\cos^AOC-

|初Icos/AOB,因为OB-OC=1./A3B=NAOC=；,所以凉•BC-O.

二、填空题（本题共8题，每题分，共8分。）

9、已知数列｛an）为ai=l且公差不为0的等差数列,向量p=（ai，a2，a3）,q=（aj,

a6»aio）.若p〃q,则an的通项公式是.

标准答案：an=3n—2

知识点解析：根据题意可设数列值力的通项公式为an=l+（n—l）d.因为p〃q,所以

uia411+dl+2d

—=一2=,W---=--i=-----,

%小。11d1+94解得d=3或0（舍去）.因此an=3n—2.

10、已知|a|二l,|b|=2,|a—6|=A/3，则a与b的夹角为.

标准答案：行

知识点解析：|a—b|2=(a—b)2=a2—2a.b+b2=l—2a.b+4=3,所以a.b=l,故

a•b」z_

COS'*-丁|尸-万，所以a与b的夹角为？

II、已知向量a=(3,4,5),则与a平行的单位向量产.

/3&2a3a2虑42\

标准答案：(而干,万我、产，「廿一,一,

a(3,4.5)—上(3&242咨.

知识点解析："n"1al一々+4-5?’10•5'2〃所以与向量&平行的

/3V22>/2回或/_递_递一也)

单位向量为可「而‘可‘2r

12、已知空间中三个向量a=(2,1,-1),b=(-l,3,2),c=(2,一2,1),则

(axb).C=.

标准答案：23

知识点解析:(axb)c=(lx2-(-l)x3,(一1)x(—1)-2x2,2x3-1x(-1)).(2,一

2,1)=(5,-3,7)-(2,-2,1)=23.

13、若向量m,n的夹角为60°,|m|=2,|n|二乃则(m+2n)(m-n)=.

标准答案：痣一2

知识点解析：

(m+2n)(mn)=mf+m,n-2n2=m|24-!mIin\cos60°-2|n|，=4+2X&Xy_2X3=V3—2.

/z_]__y_2_z+]和2工+2「Z-3

14、已知空间两直线"23~"二彳一"一一一二'则直线h，

12的夹角的余弦值是________.

11

标准答案：通

知识点解析：依题意可知直线11，12的方向向量分别是S]=(2,-3,-1),S2=(-

3,i,2),•所以直线以12的夹角的余弦值

/、—$1,门⑵-3.-D•(-3,1,2)__1_1

COS'""?'SlGl4IX/IT14'又因为两直线的夹角范

[oA111.

围为L2」所以直线h与12夹角的余弦值为14・

15、已知aJLb,|a|二2,|b|=4,则|a+b|■一b|.(填或“=”)

标准答案：=

知识点解析：

依题意知a•b=0,所以|a+b|=，a+b：?=，=+斯+2。・b=，4，16=2丫1,

|a—b|=>/\a—b|2=>/a24-^'—2a•b=y44-16=2V5，所以a4-b|=|a—b|.

16、已知向量a=2i+3j・k,b=-i+j—2k,c=2ma—3ab,若cJLx轴,则

m=.(用n袤示)

3_

标准答案：一彳”

知识点解析：依题意有c=2m(2i+31—k)—3n(—i+2j—2k)=(4m+3n)i+(6m—6n)j—

(2m-6n)k,取x轴单位方向向量e=(l,0,0),因为clx轴，所以cle,即

3

m=——n.

c.e=(4m+3n,6m—6n,—2m+6n).(1,0,0)=4m+3n=0,所以4

三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

已知空间向量a=(3,0,-4),b=(2,一3,1),求：

17、ab,axb；

标准答案：ab=(3,0,-4)-(2,—3,l)=3x2+0x(—3)+(—4)xl=2；

ijA；

aXb=30-4=一12—11，-9A.

2-31

知识点解析：暂无解析

18、(2a)-(-b),(~a)x(2b)；

标准答案：(2a)-(—b)=—2(a-b)=-2x2=—4；(—a)x(2b)=-2(axb)=—2(—12i—1Ij

—9k)=24i+22i+18k.

知识点解析：暂无解析

19、向量a,b所成角的正弦值.

._a.b_2

标准答案：因为H=5,W=M，所以5X/1435

sin<fl.h>=Z^L.

与b的夹角在［0,兀］的范围内，所以gsin(a,b)<l.所以3J

知识点解析：暂无解析

已知A(-l,1,-2),B(-5,6,2),C(-l,-3,1),求：

20、过点M(—2,3,1)且与A,B,C三点所在平面平行的平面供

标准答案：设A,B,C三点所在的平面a的法向量为n(x\y\

依题意知南=(-4.5,1),充=(0,—4.3).

所以AB」_〃・AC・

AB•n=(-4,5*4),(工’，z')=—4]'+5y'+4N'=0

।AC,〃=(0・一4,3)•-4.y'+3z=0

31

合z=4.代入上述方程组•解得上'=}2'=3,

所以平面a的一个法向量为〃=(?.3.4).E、，.

z)14I因为a//0,所

以n也是平面p的法向量，即(Un,又因为平面0过点(-2,3,1),所以平面。

3］

--(.r4-2)4-3(y—3)+4(z—1)=0・

的方程为4整理可得平面P的方程为31X+1

2y+16z+10=0.

知识点解析：暂无解析

21、向量2比+彳5一公的模；

2BCH-ABAC=BC-F(BC-bABAC)

=BC-F(AC-AC)

=BC.

因为/疝=(4•一9・-l)・

标准答案.所以12BC+AB-AC|=|BC|=7氏

知识点睛析：暂无解析

22、点A到BC的距离.9占果用根号表示即可)

标准答案：依题意可设质为其所在直线1的方向向量，且直线过C(—1,—3,

x+l_y+3_zT

1),所以I的直线方程为：F二5一丁「'所以A到BC的距离

|公Xs|_|_/136T

d=-|7-=|(4,-9.-1)|=1*

知识点解析：暂无解析

请用向量证明下列推论：

23、直径所对应的圆周角是直角；

标准答案：如图所示，BC为的直径，A为圆上不同于B、C的一点.如图可

如图可知，入后=不后一万•宿=斤为一示.

因为笳=一戈・|(演i=|初|=•

所以1克•AC=(OB-OA)•(OC-OA)

-OB・OC-OB-OA-OC-OA^-OA2

=|OB|lOC^coslSO^lOA;2-OA•(OB-HOC)

=-|OA|:+|OA|2-OA•(-OC4-OC)

=0.

t所以南_1_/•即/BAC=90°.

知，

知识点解析：暂无解析

24、平面上对角线互相平分的四边形是平行四边形.

标准答案：如图所示，ABCD为四边形，0分别为AC、BD的中

由四可如，戏=而+。荫优=函+3.

因为对角线,相互平分.

所以印5=元•丽=加.

点.所以AB=DC'"|A*|DC।且AB〃DC所以该四边形是平行四边形

知识点解析：暂