2025~2026学年河南南阳市六校高一下册阶段性素养评价（二）数学试题 含答案

/2026年春期阶段性素养评价（二）高一数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数，则（）A.2 B. C.1 D.4【正确答案】C【分析】利用复数商的模等于模的商、共轭复数与原复数模相等的性质求解，即对任意非零复数，有，且互为共轭的两个复数模相等，即.【详解】已知，根据复数模的计算公式，得，因此，代入得.2.在△ABC中，“”是“△ABC为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】先根据得到∠A为锐角，但∠B，∠C不确定是否是锐角，故选出正确答案.【详解】，所以，即∠A为锐角，但∠B，∠C不确定，故“＞0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.故选：B3.若角θ的终边经过点，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】由三角函数坐标定义知，角θ的终边经过点，所以，，，当时，，，则；当时，，，则；综上.4.已知向量、满足，，且，则在方向上的投影向量为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据在方向上的投影向量公式计算可得.【详解】由，，化简：，即，，又在方向上的投影向量为，代入数据得，故D选项正确.5.在中，已知于，则的长为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用直角三角形的正切定义由表示出和，结合列方程求解即可.【详解】由可知均为直角三角形.在中，，根据正切的定义，可得；在中，，同理可得.将代入，得，解得.6.为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【正确答案】D【分析】先得到，再利用平移变换求解.【详解】解：因为，将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象.A，B，C都不满足.故选：D7.已知，则sinα=（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】通过角的配凑将α表示为(α−β)+β，结合两角和的正弦公式，根据角的取值范围求解对应三角函数值后代入计算即可.【详解】由，可得：，因为，，所以，因为，，所以，.8.蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】建立平面直角坐标系,将向量点积转化为点P横坐标的线性表达式，结合正六边形内部点的坐标范围求解取值范围.【详解】如图，以正六边形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所以直线为轴，建立平面直角坐标系：则，，设，则，则，所以.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.若为复数，则下列选项一定正确的有（）A.B.C.若，则D.【正确答案】AD【详解】选项A：设，则，则，该选项正确；选项B：举反例，取，则，显然，即，该选项错误；选项C：举反例，取，满足，但均不为0，该选项错误；选项D：设，则，，所以，该选项正确.10.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则B.与向量夹角相等的单位向量C.若要使最小，则D.若与的夹角为锐角，则【正确答案】AC【分析】由两向量平行，求出的值，从而判断A；求出满足条件的向量，即可判断B；求出取最小值时的值，即可判断C；求出与的夹角为锐角时的范围，即可判断D.【详解】对于A，因为，，当时，则有，解得，故A正确；对于B，与向量夹角相等的单位向量，则且，即且，所以，解得或，所以或，故B错误；对于C，因为，所以当时，取最小值，即取最小值，故C正确；对于D，当与的夹角为锐角时，则有，解得且，故D错误.11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（）的很相似，故形象地称其为“奔驰定理.”奔驰定理：已知O是内一点，的面积分别为则.设O是内的一点，则以下命题正确的有（）A.若，则B.若，则O为的重心C.若，且，则D.若为的内心，，则【正确答案】BCD【分析】根据奔驰定理求出，即可判断A；先求出，再由面积公式推出为三条边中点的交点，即可判断B；先求出，再求出，然后根据比例关系求出，即可判断C；先求出，然后利用内切圆半径及面积公式将其转化为三边的比，再由勾股定理得到，即可判断D.【详解】由奔驰定理可知，若，则，故A错误；若，则，即.因为和有相同的公共边，且面积相等，所以可得两点到直线的距离相等，所以的延长线一定过中点，同理，的延长线一定过中点，的延长线一定过中点，所以为三条边中点的交点，即O为的重心，故B正确；由，可得.若，则，所以，即，所以故C正确；由，可得.设内切圆半径为，则，，，即，因为，所以，故D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________.【正确答案】【分析】利用大边对大角确定最大角，再用余弦定理计算最大角即可.【详解】不妨设，则c边对的角C最大，令，得，而，故，所以此三角形的最大角为.故答案为.本题考查了余弦定理的应用，属于基础题.13.在中，为上一点且满足．若P为线段上一点，且为正实数），则的最小值为_______．【正确答案】【分析】先根据向量线性运算及三点共线的充要条件推导与的等量关系，再利用基本不等式的“1的代换”求目标式的最小值．【详解】由得，即，则，因为三点共线，所以，则，当且仅当，即时等号成立．14.已知函数，给出下列三个命题：①该函数的值域为；②当且仅当时，；③若，且方程有两个实根，则实数的取值范围为其中正确的命题为_______【正确答案】①③【分析】去掉绝对值分段化简，得到函数的解析式，利用三角函数的性质，作出函数图象，数形结合即可判断各项的正误.【详解】去掉绝对值分段化简函数，可得，即.因为当时，；当时，，所以，函数为周期函数，最小正周期为.如下图所示，作出函数的图象（图中实线）：由图象可知，函数的值域为，故①正确；当时，，故②错误；当，且方程有两个实根，则实数的取值范围为，故③正确.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知m为实数，i为虚数单位，复数．（1）若复数z的实部与虚部相等，求m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）先对复数进行化简，利用复数z的实部与虚部相等构造方程求解；（2）利用复数在复平面内对应的点位于第二象限构造不等式组，解不等式组求出的取值范围．【小问1详解】，已知复数的实部与虚部相等，则，故，解得．【小问2详解】复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，即．16.求值：（1）已知，求的值；（2）已知，用表示的值．【正确答案】（1）（2）【分析】利用正切差角公式、二倍角公式、同角三角函数关系，通过齐次化变形、代数化简求解目标式．【小问1详解】由正切差角公式：，，又，所以．【小问2详解】，因为，所以，则，所以，由同角三角函数的平方关系得，，又，所以，则．17.已知，函数（1）若当时，函数的值域为，求实数的值；（2）在（1）条件下，求函数图象的对称中心和在上的单调递减区间．【正确答案】（1）（2）对称中心为；单调递减区间为【分析】（1）将函数化成正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解；（2）根据正弦函数的对称中心和单调区间求解.【小问1详解】，当时，，所以，因为，所以，所以，解得；【小问2详解】由（1）可知，令，解得，所以函数图象的对称中心为，令，解得，当时，，所以函数在上的单调递减区间为18.已知的内角所对边分别为，，．（1）求的外接圆的周长．（2）若为锐角三角形，求ΔABC周长的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）先利用三角形内角关系化简已知等式，结合正弦定理求角，再利用正弦定理求外接圆周长；（2）利用正弦定理列出周长表达式，利用三角形是锐角三角形求出的取值范围，进而求出周长的取值范围．【小问1详解】由，得，，故，，可化为，由正弦定理，则，在中，，则，由二倍角公式得，，则，，，则，．由正弦定理，故，外接圆周长．【小问2详解】的周长，由，结合正弦定理得，，,则，是锐角三角形，则三个内角均小于，，解得，，，故，．19.若函数满足且，则称函数为“函数”.（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由；（2）已知函数是“函数”，且当时，，求函数在上的解析式，并求出在上的单调递减区间；（3）在（2）的条件下，当时，关于的方程(为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的取值集合.【正确答案】（1）不是“函数”，理由见解析；（2）解析式为，单调递减区间为和；（3）的取值集合为.【分析】（1）逐一验证“函数”的两个定义条件，判断是否同时满足周期为、对称轴为即可；（2）利用函数对称性将未知区间的自变量转化到已知解析式区间，求解分段解析式，再结合复合函数“同增异减”规则判断单调递减区间；（3）结合函数周期性与对称性，分类讨论参数的取值范围，根据根的对称性计算所有解的和即可.【小问1详解】∵的最小正周期，满足；又∵，.取，得，，显然，即不能恒成立.故不是“函数”.【小问2详解】先求函数解析式：∵是“函数”，∴，即对任意恒成立，且的周期为.当时，，由已知得.∴.因此的解析式为；再求单调递减区间：①当时，，令是的减函数，根据复合函数“同增异减”规则，的减区间对应的增区间.当时，的增区间为，即，解得.∴该区间内的减区间为.②当时，的减区间为.综上，在上的单调递减区间为和.【小问3详解】∵是“函数”，∴周期为，且图像关于直线对称.区间的中点为，因此该区间关于直线对称：若是方程的解，则其对称点也为方程的解，每对对称解的和恒为.由（2）可知的值域为，分类讨论如下：分类讨论如下：①当或时，方程无解，不符合题意；②当时，的解为，∴