2025~2026学年江西七校高二下册6月测试数学试题 含答案

/江西省七校2027届高二6月测试数学试卷考试范围：高考范围本试卷总分值为150分考试时长为120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则集合的元素个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】B【详解】集合，共有4个元素，故选B.2.已知复数z满足，则（）A.i B. C. D.【正确答案】C【分析】由题意可得，设，，根据共轭复数结合复数运算可得，列式求解即可.【详解】因为，即，设，，则，可得，，则，可得，解得，所以.3.已知向量，，且，则（）A. B.4 C. D.5【正确答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量的线性运算及向量的模计算即可.【详解】由，得，即，解得，此时.所以，则.4.已知函数的图象与函数的图象交于两点，则（为坐标原点）的面积为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据已知条件作出图象，利用平关关系及特殊值对应特殊角，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】画出函数与的图象如图所示，由，可得，得，得或（舍去），又，所以或．所以，．根据函数图象的对称性可得的中点，所以，故选：D．5.已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（）A. B.0 C.1 D.2【正确答案】B【分析】分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，结合是钝角三角形，则需为钝角，从而得到不等式，求出答案【详解】的圆心为，半径为2，当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，圆心到直线的距离为，故直线与圆无交点，不合要求，舍去；设直线，要使得是钝角三角形，则需为钝角，则圆心到直线的距离，其中，即，故，解得，其中，解得，只有B满足要求.6.如图，在三棱锥中，，，E，F，G分别为，，上靠近点P的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥的四个面均相切，且小球同时还与平切，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】取中点，利用等腰三角形性质证明平面，作，，利用相似比得，结合求解可得.【详解】如图，取中点，连接，.因为，所以，.∵，平面，平面，∴平面.作，垂足为H.∵平面，∴.又，平面，平面，∴平面.过点H作，垂足为，连接，因为平面，所以，又是平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以.易知平面平面，设小球半径为，∴，∴.根据题意，，∵，，∴，∴.由，得，∴，∴.∴.故选：B方法点睛：关于几何体的内切球问题，通常根据体积公式列方程进行求解.7.已知，，，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】作差，构造函数，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、的大小关系；再比较出、的大小关系，即可得出结论.【详解】作差得，设，，则，设，，则，令，得，所以函数在上单调递减，又，所以当时，，则，此时函数在上单调递增，又，所以，则，即；又，从而，即，则，所以.故选：D.8.一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（）A.32 B.48 C.64 D.82【正确答案】D【分析】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可.【详解】如图所示：当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色；当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色；同理其他区域也一样，所以：①②③④四边同色，此时共有种；当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时，此时共有种；当①②③④每两个同色时，此时共有种；综上，共有种.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，，则【正确答案】AC【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，根据线面垂直的性质定理知A正确；对于B，，无法推出，B错误；对于C，因为，过作平面，则，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，由面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则两个平面平行.题中条件未指明直线相交，当时，结论不一定成立，故D错误．故选：AC10.抛物线：的焦点为F，以为圆心，为半径得到圆D，圆D上有一点.过点F的直线与E交于P，Q两点，与圆D另交于点M，则（）A. B.当时，P的横坐标为3C.当时， D.【正确答案】AC【分析】结合抛物线与圆的方程，通过向量关系、韦达定理、点到直线距离和弦长公式，逐项验证选项的正确性.【详解】对于A，圆：，代入得，，故A正确；对于B，记，，，显然，而，，可得，，则，而，所以，解得，，故B错误；对于C，由B得，此时直线的斜率，所以：，即，点到的距离，故，故C正确；对于D，设直线方程为，由，得，，，，圆的弦，因此不一定小于0，D错误.11.芯片是信息时代的微观基石.国内某企业通过自主创新，其使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，其改进过程如下：部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.智能检测系统运行后，某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（）（参考数据：，）A. B.C. D.若，则M最有可能的取值为【正确答案】ACD【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D.【详解】A，由某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率，即，故A正确；B，由，则，又，于是，即，因此，即，则，故B错误；C，，故C正确；D，，设，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数在处的切线方程为，则的值为______．【正确答案】【分析】先求出函数的导数，再根据导数的几何意义以及切点同时在函数和切线上这两个条件，列出关于的方程，进而求解的值，最后计算.【详解】根据题意，，则，又函数在处的切线方程为，所以切线斜率为，即，解得，又切点在切线上，所以当时，，即切点坐标为，又切点在函数上，所以，解得，所以.13.已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________．【正确答案】##【分析】借助点差法及三角形重心性质计算即可得.【详解】由题意可得，设、，满足，作差得，即，整理得，由的重心坐标为，则，，即，，则，即，故直线的斜率为.14.已知等比数列中，，，又数列满足，，若为数列的前项和，那么______．【正确答案】【分析】根据等比数列的性质以及，即可求出；通过变形，可得到数列是一个周期数列，然后通过计算每一个周期内的和，从而求出数列的前项的和.【详解】已知数列是等比数列，设数列的首项为，公比为，由，得，解得，所以；由于数列满足，，则有，因此，，，所以数列是一个以3为周期的数列，且一个周期内的项为，2，，设数列，则，由于数列是一个以3为周期的数列，将数列按每3项为一组进行分组求和，对于第组，即，，，有，，，对应的的值为，，，则第组的和为，因此.四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15.为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.年龄次数每周0∼2次33222223每周3∼4次12172522每周5次及以上33126（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；（2）从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；参考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正确答案】（1）认为体育锻炼频率的高低与年龄有关；（2）分布列为：012P【小问1详解】零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关.由题得列联表如下：

青年中年合计体育锻炼频率低5545100体育锻炼频率高3565100合计90110200，根据小概率值的独立性检验推断不成立，即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．【小问2详解】由表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2，依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，所以，，，所以的分布列：012P所以的数学期望为.16.如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）．（1）若，求AD的长度；（2）求的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解；（2）由正弦定理、三角形的面积公式及三角恒等变换求解.【小问1详解】在中，，，由正弦定理可得，，∴.【小问2详解】不妨设，则，，，在中，由正弦定理得，则，由于，得，∴，∴，∴.17.已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点（点在点的右侧）．（1）若点，且，求点的坐标；（2）若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值．【正确答案】（1）（2）.【分析】（1）由点及可得，从而利用三角形外角关系可得直线的斜率，与双曲线方程联立求解即可.（2）设直线，，，，与双曲线方程联立得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，结合基本不等式求解即可.【小问1详解】双曲线的右焦点，又，所以，则，因为，所以，则直线，即，所以，整理得，解得，，即，则，所以点的坐标为.【小问2详解】设直线，，，，联立，整理得，依题意，，，则，，因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以，又因为的重心在轴上，所以，由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以，而，因点在轴上方，则可得，因点为的重心，易得，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.18.如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．（1）求证：平面平面；（2）当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为．（i）求的长度；（ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由．【正确答案】（1）证明：平面平面，∴平面平面，又∵平面平面，且，平面，又平面，故．在中，，E为线段的中点，则．因为平面，平面，，平面．平面，∴平面平面．（2）（i）；（ii）如图，取中点，作于．由，所以满足．则为三棱锥的球心，其中，2，…，n．因为，则，则平面，则为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，为半径由，则，所以圆的面积，假设存在m，n，且使得，，成等差数列，则．即化简可得因为，，所以为偶数，即（*）式不成立，所以数列中不存在3项成等差数列．【分析】（1）由平面可以得到平面平面，再由线线垂直得到平面，再由线面垂直得到，由三角形的性质得到，再由线面垂直的判定定理证明平面，由面面垂直的判定定理即可证明.（2）（i）建立空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，代入求解即可.（ii）取中点，作于，证明平面，得到为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，求解圆的面积，假设存在m，n，且使得，，成等差数列，由等差数列的性质求解即可.【小问1详解】略【小问2详解】（i）易知，，两两垂直，以A为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，，，设为平面的一个法向量．故即取，取为平面的一个法向量．，解得，故．（ii）略19.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，求的最大值；（3）若函数有零点，证明：．【正确答案】（1）答案见解析（2）．（3）证明见解析【分析】（1）通过对求导，分和两种情况，根据导数的符号判断函数的单调性；（2）法1，先由得到，再验证当时恒成立，从而确定的最大值为；法2，分、、三种情况讨论，利用函数最小值非负得到，构造函数，通过求导求其最大值，得到的最大值为的最大值为；（3）由存在零点，将问题转化为点到直线的距离不大于，再利用对不等式放缩，最终得证；通过三角换元，将问题转化为三角函数有界性问题，再利用对不等式放缩，最终得证.【小问1详解】因为，所以，①若，则，所以在上单调递增；②若，则由，得，由，得，所以在上单调递减，在