2025~2026学年山东德州市夏津第一中学高二下册5月月考数学试题 含答案

/2025-2026学年度高二5月月考数学试题一、单选题1.已知数列满足，，则（）A. B. C.2 D.0【正确答案】A【详解】由已知，，，，，，.2.已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用回归直线过样本中心点求出的值，再利用残差的概念可得结果.【详解】由表格中的数据可得，，由于回归直线过样本中心点，所以，解得，当时，，故当时的残差为.3.若数列{}的通项公式是则（）A.15 B.12 C.-12 D.-15【正确答案】A【详解】由题意可得，奇数项为负数，偶数项为正数且相邻项数的绝对值之差的绝对值为3，故4.某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（）A. B.C. D.【正确答案】A【详解】依题意，，消去，得.5.已知函数在处的切线方程为，则的值为（）A. B.3C.4 D.5【正确答案】A【详解】，，又函数在处的切线方程为，，解得，则，，将点代入切线方程得，即，．6.设函数的导数为，且函数，则（）A.3 B.2 C.1 D.【正确答案】A【详解】由，得，取，得，则，所以.7.已知函数，与的零点分别为，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解.【详解】因为，所以在上单调递增，因为，，由零点存在定理，的零点，因为，所以在上单调递增，因为，，由零点存在定理，的零点，因为，令，得，当时，，函数在内单调递增，当时，，函数在内单调递减，当时，，函数在内单调递增，因为，，因此，时，函数没有零点，又因为，由零点存在定理，的零点，因为，所以.8.已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围.【详解】由及，得，令函数，有，，则函数在上为增函数，，，当时，，当且仅当时取等号，则，所以实数的取值范围是.故选：A二、多选题9.下列说法正确的是（）A.残差是预测值减去观测值B.由列联表计算得到卡方值越大，则判断两个变量有关的把握就越大C.残差的带状区域越窄，拟合效果越好D.相关系数r越大，两个变量的相关性越强【正确答案】BC【详解】A，残差=，不是预测值减观测值，A错误.B，（卡方）数值越大，偏离独立假设程度越高，两个变量有关联的置信度、把握程度越大，B正确.C，残差带状区域越窄，残差波动越小，模型对原始数据的拟合效果越好，C正确.D，相关系数越接近，相关性越强；仅数值大（如是很大的负数），代表强负相关，只说越大越强表述错误，D错误.10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）A. B. C. D.【正确答案】ACD【分析】由已知题意，探索递推规律，由规律得通项，由此判断选项.【详解】由题意得，第层有个球，.即，，，，因为，所以，A正确；由，当时，，故B错误，C正确；由，D正确；故选：ACD.11.已知函数，，则（）A.当时，存在极值点B.若有三个不同零点，，，则C.过点且与曲线相切的直线有且仅有1条D.若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则【正确答案】BCD【分析】对于A，可得，由判别式可判断极值点个数；对于B，将函数表达式写成，与原式比较常数项即可判断；对于C，设切点为，写出切线方程，根据切线过点建立等式，整理得到关于的方程，根据解的个数即可判断；对于D，将函数表达式写成，根据导数的运算法则求导，代入得到对应点的导数也即切线斜率，最后通分计算.【详解】对于A，可得，当时，有，此时恒成立，不存在极值点，故A错误；对于B，若有三个不同零点，，，则，取，得，即，B正确；对于C，设切点为，则切线方程为，因为切线过点，可得，即，整理得，解得，则过点且与曲线相切的直线有且仅有1条，C正确；对于D，若有三个不同零点，，，则，求导得，所以，，从而，D正确.三、填空题12.已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________．【正确答案】【分析】由，，成等差数列，根据等差中项的定义结合等比数列的通项列出方程，求出q即可.【详解】∵，，成等差数列，∴，即，∴，∴，∴或(舍)．∴.故答案为.13.如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数的极值点至少有__________个.【正确答案】【分析】根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧两函数与的距离变化，即可得出结论.【详解】如图，设是题设直线与曲线的切点横坐标，存在，使得，则处作的切线与平行，由图象知，此时有，此时取得最小值；由图象知，当时在的上方，逐渐减小，在时逐渐增大，在时逐渐减小，在时逐渐增大，综上，为函数的极小值点，处取得极大值.14.已知函数，当时函数的极值点的个数是______；若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是______．【正确答案】①.2②.【分析】(1)先求，再作出与的图象，通过图象可判定的零点个数，及零点左右区间的正负性，再由极值点的定义确定结果；(2)由函数在上是增函数，得，对恒成立，根据，得，再证明当时，有，对恒成立即可.【详解】由题知，，.当时，，作出与的图象，由图可知，使得的根即为两图象交点的横坐标，记为，，且.当时，，有；当时，，有；当时，，有.所以为函数极大值点，为函数的极小值点，所以当时函数的极值点的个数是2.(2)若函数在上是增函数，则，对恒成立.由，得.当时，，令，当时，；当时，由得，，因为，所以，所以，又，所以当时，，又为偶函数，由对称性知，当时，有，所以对任意的，都有，即.综上可知，实数的取值范围为.故2；.思路点睛：解决函数的极值个数与函数的单调性问题，可从以下方面考虑：(1)导函数是熟悉的函数，可利用该函数的相关性质求解；若导函数不是熟悉的函数，即不容易判定该函数的性质的函数，可继续求导或考虑将该函数分解成两个熟悉的函数，通过图象求解；(2)函数在某区间上单调递增(递减)通常转化为导函数在该区间上大于或等于零(小于或等于零)，再转化为函数恒成立问题，进一步可转化为求函数的最值或通过取值找出参数的范围，再证明该范围符合题意即可.四、解答题15.已知数列中，是与的等差中项，数列中，，点在直线上.（1）求数列，的通项和；（2）设，求数列的前n项和，.【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）利用等差中项的定义可求，由已知可得，利用等差数列的定义可求；（2）利用错位相减法可求得.【小问1详解】因为是与的等差中项，所以，所以，因为在直线上，所以，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以；【小问2详解】由（1）知，，所以，所以，所以，两式相减，，所以，所以.16.已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【正确答案】（1），（2）【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意求得，，进而求得数列的通项公式为，再根据又，得，即数列为等比数列，最后根据等比数列通项公式求解即可；（2）分类讨论当为奇数和偶数时的各项，分别求和再求解即可.【小问1详解】设等差数列公差为，则，由得，由得，所以，所以，所以数列的通项公式为；又，由数列的各项均为正数得，即，又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列，所以.【小问2详解】当为奇数时，记，则有当为偶数时，．所以，记，则有所以.17.已知函数（a为常数）．（1）讨论函数的单调性；（2）不等式在上恒成立，求实数a的最小整数值．【正确答案】（1）答案见解析；（2）2【分析】（1）求函数的定义域和导函数，分，结合导函数的零点及取值的正负区间研究函数的单调性.（2）变量分离得，再构造函数并利用导数求其最值即可.【小问1详解】函数的定义域为，求导得当时，，函数在上单调递增，当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，.【小问2详解】当时，不等式，令，依题意，，恒成立，求导得，当时，；当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，所以实数的最小整数值是.18.已知函数，（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若在上存在零点，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）单调递减区间为单调递增区间为（3）【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程；（2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间.（3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果.【小问1详解】当时，，，切点为，，∴，∴切线方程为：【小问2详解】当时，，令，，令，得到，∴时，，∴在单调递增，即在单调递增；∴时，，∴在单调递减，即在单调递减；∵，且时，恒成立，∴变化时，的变化情况如下表：0极小值∴的单调递减区间是，单调递增区间为，【小问3详解】，∵时，，，∴，若，则恒成立，∵在上存在零点，∴；，由（2）可知在单调递增，在单调递减.∴，∵，∴，①若，即，时，，，，，∴，，∴在单调递增，∴，∴无零点.②若，即，时，∵，使得，当时，，∴变化时，的变化情况如下表：0极小值∴在上单调递减，∴，∴在无零点.，，，单调递增，∴，∴，，∴，∴∴，∴在上存在零点.综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为.方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题.19.已知，．（1）求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的极值点个数；（3）若对于任意总有，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）答案见解析（3）【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可；（2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可；（3）参变分离得对于恒成立，设，然后利用导数法求得的最