2025~2026学年山东省泰安市新泰中学高二下册第二次阶段性测试数学试题 含答案

/数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】，，当，，则，，此时；当，，则，，此时；充分性不成立.由，得，即；，，由基本不等式得（当且仅当时等号成立）；；.必要性成立.综上，“”是“”的必要不充分条件.3.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先确定函数的定义域，再求导函数，最后解出导数小于0的不等式并与定义域取交集即可得出单调递减区间.【详解】由题意得，令，则，解得,因为，最终有.4.新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（）A.在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人B.在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人C.依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于D.依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于【正确答案】C【分析】由等高堆积条形图，可以分别求出高一、高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比，从而根据分层抽样求出人数，即可判断选项和；根据，对照临界指表，即可判断选项和.【详解】由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为，所以按比例分层随机抽样抽取人，则参加科技类的学生有人，错误；由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为，所以参加科技类活动人数为人，参加文艺类活动人数为人，所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多人，错误；已知，根据临界值表可得，依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于，所以正确；因为，不满足，因此不能依据的独立性检验得出结论，所以错误.5.甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和.【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况：甲中-乙中-甲没中-甲，概率为；甲没中-甲没中-甲中-乙：；甲没中-甲中-乙中-甲：，所以.6.若从的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】使用二项式展开求得有理项的个数，结合超几何分布的分布列与均值公式即可求解.【详解】由可得，当为整数时，该项为有理项，因为且，所以当时，分别为2，0，是整数，即有理项有3项，的取值为，，，则的分布列为0123P则7.我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（）A.15个 B.27个 C.28个 D.36个【正确答案】C【分析】用隔板法即可求解【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到右分成三份，其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球，首先把第1个隔板放入从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7个空中的一个，再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空，共有个安康数.法二：等价于从左到右三份分别对应且，若，则，即求出方程非负整数解的个数，由隔板法有个安康数.∴选C8.已知正实数满足和，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可.【详解】由，两边取对数，，即，又由，两边取对数，，即，令，因为且，则，则，由，可得在上单调递增，则，故；又由可得，则，故.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知，且，则（）A.B.C.D.当取最大值时，或2【正确答案】ABD【详解】，，选项A正确.，选项B正确.，，选项C错误.，，或时，取得最大值，D选项正确.10.甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（）A.B.第5次传球后球在乙手中有11种传法C.数列为等比数列D.【正确答案】ABD【分析】通过建立相邻两次传球概率的递推关系，构造等比数列从而求出概率的通项公式进行求解【详解】由题意，若第次传球后球在乙手中，则第次必不在乙手中，此时概率为，第n次传球给乙的概率为，，所以为等比数列，C错误；为首项是，公比是的等比数列，，故A正确；前5次传球共有种传球方法，传到乙手中的概率，∴传到乙手中共有11种传法，B正确；，显然，，D正确.11.已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（）（注：若，则）A.B.在上是增函数C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称【正确答案】ACD【分析】对于A，利用正态分布的对称性，将区间概率转化为标准差范围内的已知数值，对于B，由正态分布曲线的性质即可判断，对于C，将替换为结合条件即可求解，对于D，由正态分布曲线的对称性结合条件即可求解.【详解】对于A，，所以A正确；对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小，在上是减函数，B错误；对于，根据对称性，将替换为，即，图象关于直线对称，所以C正确；对于D，，根据对称性得，因此，即。关于（）对称，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对于事件，则__________.【正确答案】【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据两个事件并集的概率公式和的值即可求出，【详解】已知，由条件概率公式，得，又因为，根据两个事件并集的概率公式，得.13.若，则的最小值为____________．【正确答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为.14.若函数的定义域为，满足，，都有，则关于x的不等式的解集为______．【正确答案】【分析】根据已知条件结构特征可知该部分是某个函数的导函数变形所得，由问题中的不等式提示可得构造函数，再结合函数的单调性情况即可进一步求解出答案.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以构造函数，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以不等式，即，所以，因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）若，求.【正确答案】（1）8（2）0【分析】（1）利用排列数和组合数的展开公式将原等式化简为一元二次方程，结合定义域即可求解；（2）用赋值法，分别令求出所有项的系数之和，令求出常数项，两者相减即可求解.【小问1详解】由题意得,,且，且，所以有，整理得，解得或（舍），【小问2详解】令，得；令，得.16.某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示：月份2025年10月2025年11月2025年12月2026年1月2026年2月月份代码x12345月销量y（单位：千台）810132024（1）求出y与x的相关系数r（保留三位小数），并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般）（2）求出y关于x的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量；参考公式：相关系数，．参考数据：，，，【正确答案】（1）0.979，y与x有较强的相关关系（2），万台【分析】（1）根据公式算出线性相关系数，并根据判断标准作出判断即可；（2）利用最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，按规律得到2026年7月对应的值，代入可得2026年7月该款迎宾机器人的销量；【小问1详解】，，，则故y与x有较强的相关关系；【小问2详解】b=又，，所以，故经验回归方程为，2026年7月对应的x值为10，当时，，故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为万台17.已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）通过对原函数求导得出切点处的斜率，结合切点坐标，利用点斜式直接写出切线方程；（2）法一（构造函数法）：构造两函数之差的新函数，通过求导并分类讨论找出该新函数在给定区间上的最小值，令其最小值大于等于零来求解参数的取值范围；法二（分离参数法）：排除端点值后，将参数单独分离到不等式一侧，从而将“恒成立”问题转化为求不含参新函数在指定区间上的最小值问题。【小问1详解】的定义域为，所以，所以切线方程为，即.【小问2详解】法一：令，则，设，则在上恒正，所以在上单调递增，.①当时，，所以在上单调递增，即恒成立，所以此情况满足题意；②当时，，，当时，，故，因此，且在上单调递增，所以使得，即，有.所以在上单调递减，在上单调递增，，解得，因为，所以，，则，所以在单调递增，所以，综上所述，的取值范围为.法二：①当时，，对任意实数恒成立；②当时，.不妨令，则令，解得或.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.综上，的取值范围为.18.某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响.（1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？（2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.【正确答案】（1）方案一（2）【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可；（2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解.【小问1详解】若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则；则，，，所以，若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则；则，，，所以因为，故选择方案一比较合适【小问2详解】设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，，则，，，所以，故，所以所求概率为.19.已知函数有两个零点．（1）求a的取值范围；（2）已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，；（3）设，是的两个零点，证明：．【正确答案】（1）（2）因为函数的图象与的图象关于直线对称，所以，构造函数，所以，所以在上单调递减，则，所以，即当时，（3）不妨设，由，则．构造函