五数上册 第三单元 平行四边形、梯形和三角形奥数题

几何世界总是充满了奇妙与挑战，而平行四边形、梯形和三角形作为平面几何中的基本图形，更是构建这奇妙世界的基石。在五年级上册的第三单元，我们已经学习了这些图形的基本性质与面积计算方法。但仅仅掌握课本知识，如同在海边拾贝，若想探索更深邃的数学海洋，适当的奥数拓展训练必不可少。它不仅能帮助我们更深刻地理解图形间的内在联系，更能锻炼我们的空间想象能力与逻辑推理能力。下面，我们就一同走进这些图形的奥数题，感受它们的魅力。一、平行四边形的奥数题拓展平行四边形的核心在于“两组对边分别平行且相等”以及“对角线互相平分”，其面积计算公式“底×高”更是解决许多问题的关键。在奥数题中，常常需要我们灵活运用这些性质，甚至进行一些巧妙的转化。（一）等积变形与底高关系例题1：一个平行四边形的周长是某个固定值，已知其中一条边的长度，以及这条边上的高。若将这条边对应的高增加一定长度，要使平行四边形的面积不变，那么这条边的长度应如何调整？分析与解答：这道题看似抽象，实则考察对平行四边形面积公式的深刻理解。面积S=底a×高h。当高h增加时，要保持S不变，底a必须相应减小。我们可以设原来的底为a1，高为h1，变化后的底为a2，高为h2。根据面积不变，有a1×h1=a2×h2。题目中会给出具体的数值，比如周长、原底、原高、高的增加量，我们就可以通过周长求出邻边，再结合上述等式求出新的底长，进而判断其调整方式。关键在于抓住“面积不变”这个核心等量关系。思路点睛：在平行四边形中，面积一定时，底和高成反比例关系。灵活运用这一比例关系，是解决此类等积变形问题的钥匙。（二）平行四边形与三角形的组合例题2：在一个大的平行四边形内部，连接一组对边上的点，形成了两个小的平行四边形和一个三角形。已知这两个小平行四边形的面积分别是某数值和另一数值，求中间三角形的面积。分析与解答：解决这类问题，画图是首要步骤。画出图形后，我们可以观察到，这两个小平行四边形可能是共高的，或者它们的底之和等于大平行四边形的底。中间的三角形，它的底和高往往与这两个小平行四边形的底或高存在某种关联。例如，若两个小平行四边形并排，它们的高相同，那么它们的底之和乘以高就是它们面积之和。而中间三角形的底可能恰好是这两个小平行四边形底的差或和的一半，再乘以相同的高除以2，即可得到面积。有时，也可以通过连接大平行四边形的对角线，利用对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形这一性质，进行面积的加减运算。思路点睛：当图形较为复杂时，添加辅助线（如连接顶点、作高、平移等）是常用的手段，它能帮助我们将未知图形的面积转化为已知图形面积的和或差。二、三角形的奥数题拓展三角形是最基本的多边形，其面积公式“底×高÷2”简洁而重要。在奥数题中，三角形的等底等高、等高模型、以及与其他图形的组合是常见的考察点。（一）等底等高与面积倍数关系例题3：在一个三角形ABC中，点D是AB边的中点，点E是AC边上的三等分点（靠近A点）。连接CD和BE，相交于点O。已知三角形ABC的面积是某个数值，求图中某个小三角形（如三角形DOE）的面积。分析与解答：这类题目需要我们熟练运用“等底等高的三角形面积相等”以及“高相等时，面积比等于底之比；底相等时，面积比等于高之比”的性质。首先，由于D是AB中点，那么CD将三角形ABC分成了面积相等的两部分。E是AC的三等分点，则AE:EC是1:2。接下来，我们可以通过设未知数，或者利用“燕尾模型”、“鸟头模型”等（这些模型是上述基本性质的延伸和总结）来求解。例如，先求出三角形ABE或三角形CBE的面积，再看它们与所求小三角形的关系。关键在于逐步分解，找到各个小三角形之间的面积比例关系。思路点睛：面对复杂的三角形面积分割问题，耐心地分析各部分之间的底、高关系，灵活运用比例性质，是化繁为简的关键。可以从已知条件最充分的部分入手，逐步向未知部分推进。（二）已知面积反求底或高例题4：一个三角形的面积是某个数值，它的一条边比这条边上的高大某个数值。求这条边的长度和这条边上的高。分析与解答：这是一道典型的利用方程思想解决几何问题的题目。我们可以设这条边上的高为h，那么这条边的长度就是h加上题目所给的差值。根据三角形面积公式：(h+差值)×h÷2=面积。这样就得到了一个关于h的一元二次方程（对于五年级学生，题目给出的数值通常会使得方程的解是整数，或者可以通过分解因数来求解）。解出h后，即可得到底的长度。思路点睛：代数方法是解决几何问题的有力工具。当题目中涉及到未知量之间的关系，并且可以找到明确的等量关系时，设未知数、列方程是一个非常有效的途径。三、梯形的奥数题拓展梯形的特点是“只有一组对边平行”，这组平行的对边称为上底和下底，两底之间的距离为高。梯形的面积公式“（上底+下底）×高÷2”是解决梯形问题的基础。奥数题中，梯形常与三角形、平行四边形结合，或者通过添加辅助线转化为我们熟悉的图形。（一）梯形中的蝴蝶模型初步例题5：在一个梯形中，两条对角线相交，将梯形分成了四个小三角形。已知其中两个相邻小三角形的面积分别是某数值和另一数值，求梯形的总面积。分析与解答：这是梯形中非常经典的“蝴蝶模型”问题。两条对角线将梯形分成四个三角形，我们记上底为a，下底为b，上下两个三角形的面积分别为S1和S2。根据蝴蝶模型的性质，S1:S2=a²:b²，并且左右两个三角形的面积相等，都等于√(S1×S2)（对于小学生，我们可以表述为：左右两个三角形面积相等，且S1×S2=左三角形面积×右三角形面积，因为左=右，所以左²=S1×S2）。因此，已知S1和S2，我们可以先求出它们的比例，进而得到左右两个三角形的面积，最后将四个三角形面积相加即为梯形总面积。思路点睛：记住梯形蝴蝶模型的基本结论，可以快速解决这类面积比例问题。其核心思想还是基于三角形的相似（虽然小学不正式学习相似，但可以通过等高三角形面积比等于底之比来逐步推导）。（二）梯形与平行四边形的转化例题6：一个直角梯形，上底和下底长度已知，其中一个腰（非直角腰）的长度也已知。如果将这个直角梯形的上底延长，使延长部分等于下底与上底的差，然后连接某点，形成一个平行四边形。求这个平行四边形的周长或面积，或者原梯形的高。分析与解答：直角梯形有两个直角，延长上底使其与下底相等，连接后形成的图形通常是矩形或平行四边形。若延长的长度是下底减上底，那么新的上底长度就等于下底，此时若原梯形的直角腰为高，那么形成的就是一个矩形，这个矩形的一边长为下底，另一边长为梯形的高，而这个高恰好就是原直角梯形的那条直角腰。如果延长后连接非直角腰的顶端，那么形成的平行四边形的一组对边是梯形的下底，另一组对边是梯形的非直角腰。通过这样的转化，可以将梯形问题转化为更简单的平行四边形或矩形问题来解决。思路点睛：“转化”是数学中最重要的思想方法之一。将不熟悉的图形转化为熟悉的图形，将复杂的问题转化为简单的问题，这种能力的培养对于学好数学至关重要。总结与思考平行四边形、梯形和三角形的奥数题目，千变万化，但万变不离其宗，最终都要回归到基本的定义、性质和面积计算公式上。在解决这些问题时，我们要善于观察图形特点，灵活运用所学知识，必要时通过