北师大版初中数学七年级上册《有理数的乘法》教案

北师大版初中数学七年级上册《有理数的乘法》教案

一、设计理念与课标分析

（一）设计理念

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养为导向，秉承“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的认知发展规律，将有理数的乘法教学置于完整的数系扩张与运算律承继的宏大脉络中。设计强调运算能力、推理意识和模型观念的综合培养，通过创设现实与数学相融合的问题情境，引导学生在自主探究、合作交流中主动建构有理数乘法的法则，深刻理解其算理，特别是“负负得正”这一核心规则的合理性。本设计打破单一知识传授的局限，融入数学史、跨学科应用（如物理、经济）及信息技术工具（如动态几何软件、计算器模拟），旨在呈现一堂既有数学思维深度，又具时代气息与人文温度的示范课。

（二）课标关联分析

本节课对应“数与代数”领域中的“数与运算”主题。课标要求：（1）理解有理数乘法的意义，掌握有理数的乘法法则，能熟练进行有理数乘法运算；（2）理解乘法的运算律在有理数范围内仍然成立，能运用运算律简化运算；（3）发展数感和运算能力，感悟“通过法则规定，保持运算的一致性”这一数系扩充的基本思想。本设计将以上要求具体化为可操作、可评价的教学活动，并着重突出对“运算一致性”思想的体悟。

二、教材与学情分析

（一）教材分析

本课是北师大版七年级上册第二章“有理数及其运算”的第7节。在此之前，学生已学习了有理数的概念、数轴、绝对值、有理数的加法与减法。有理数的乘法是有理数基本运算的又一次重要扩充，它不仅是后续学习有理数的除法、乘方以及整式、方程、函数的基础，更是对运算意义和运算律的一次深化与巩固。教材通过“水位变化”、“温度变化”等情境引入，借助“观察—归纳”的路径得出法则，并安排了运用运算律简化运算的内容。本设计将在教材基础上，对情境的丰富性、探究的层次性、算理的理解深度以及跨学科联系上进行优化与拓展。

（二）学情分析

七年级学生正处于从具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期。

1.认知基础：已熟练掌握非负有理数（小学算术数）的乘法运算，理解乘法的意义（“相同加数的和”）；初步掌握了有理数的概念，能用数轴表示有理数，理解了相反数、绝对值；具备有理数加法的运算经验，特别是异号两数相加的规则。

2.认知障碍与生长点：

1.3.从“相同加数求和”到“广义乘法”的跨越：对于“负数乘以正数”尚可用“欠债”模型理解，但“负数乘以负数”的现实意义对学生而言非常抽象，是认知的核心难点。

2.4.对“规定”的质疑与接纳：学生容易对“负负得正”产生“为何如此规定”的困惑，单纯记忆法则会导致理解不深、容易混淆。

3.5.运算律的迁移信心：学生可能不确定在有理数范围中，小学学过的乘法运算律是否依然成立。

6.教学对策：通过多元化的现实模型（温度、行程、经济等）、数轴的动态演示、算式结构的类比推理以及运算一致性的逻辑论证，多角度、多层次地化解难点，让学生不仅“知其然”，更“知其所以然”，实现认知的顺应与同化。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.经历有理数乘法法则的探索过程，归纳并理解有理数的乘法法则，能准确表述法则（特别是积的符号确定法则）。

2.能熟练运用有理数乘法法则进行两个有理数相乘的运算，并能进行多个有理数（包含分数、小数）连乘的运算。

3.知道有理数乘法仍满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，并能运用这些运算律简化运算。

（二）过程与方法

1.通过分析实际问题中的数量关系，抽象出乘法算式，经历从特殊到一般、从具体到抽象的归纳过程，发展抽象能力和模型观念。

2.在探究“负负得正”合理性时，尝试运用“保持运算律不变”、“延续模式”等数学推理方法，发展逻辑推理能力和数学论证意识。

3.在运用运算律简化复杂运算的过程中，体会化归与优化的数学思想方法。

（三）情感态度与价值观

1.在探究活动中感受数学规定背后的合理性、简洁性与和谐美，体会数学理性精神。

2.通过跨学科应用案例，认识数学作为基础工具的价值，增强学习数学的兴趣和应用意识。

3.在小组合作与交流中，养成积极参与、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

四、教学重点与难点

1.教学重点：有理数乘法法则的理解与熟练运用。

2.教学难点：理解“负数乘以负数得正数”的算理；感悟数系扩充中“保持运算律一致性”的思想。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含动态数轴演示、生活情境动画、数学史资料）、学习任务单、实物投影仪。

2.学生准备：复习有理数的加法法则、运算律，预习课本相关内容；直尺。

3.环境准备：教室布置便于小组合作讨论。

六、教学过程实施（详细展开）

第一环节：创设情境，孕伏问题——从“加法”到“乘法”的必然延伸(约12分钟)

师生活动1：温故知新，激活经验

教师：同学们，我们已经掌握了有理数的加减法。现在，请思考一个简单的问题：在数轴上，一个点从原点出发，每次向右移动3个单位长度，移动2次后，它的位置对应的数是多少？

学生：（齐答）6。

教师：列成加法算式是？

学生：3+3=6。

教师：能用更简洁的算式表示吗？

学生：3×2=6。

教师：非常好！这说明，在正数范围内，乘法是加法的简便运算。那么，如果这个点每次向左移动3个单位长度（规定向右为正，向左为负），移动2次，结果如何？

学生：（思考后）应该到了-6的位置。

教师：如何列式？

学生：(-3)+(-3)=-6。

教师：同样，这个连续的加法，我们可以尝试用乘法来表示：(-3)×2=-6。

（板书：(-3)×2=(-3)+(-3)=-6）

教师：看，我们把“乘以正数2”的意义，自然地推广到了“一个负数乘以一个正数”的情形，它仍然可以理解为“相同加数的和”。这是我们今天探索的起点。

师生活动2：情境驱动，引发认知冲突

情境一：气象站的温度记录

课件展示：某气象站观测到，某地区的气温以平均每小时0.5℃的速度下降。如果我们把气温上升记为正，下降记为负。

教师提问：

1.若已知3小时后的气温变化，如何列式？（学生：(-0.5)×3)

2.那如果我们要“预测”3小时前的气温情况呢？时间以现在为0点，未来为正，过去为负。

引导学生得出：要计算3小时前的气温变化，相当于知道速度是-0.5℃/时，时间是-3小时，列式为：(-0.5)×(-3)。

教师：这个算式的结果应该是多少？它意味着温度上升了还是下降了？这还能用“相同加数的和”来解释吗？

（学生陷入困惑，认知冲突产生。教师板书核心疑问：(-0.5)×(-3)=?）

情境二：简易财务流水

课件展示：小明的妈妈经营一个小店，每天记录盈亏。盈利记为正，亏损记为负。

教师提问：

1.如果每天亏损50元（记作-50元），那么“未来3天”后的预计总亏损是多少？列式：（-50）×3=-150（元）。

2.那么，从账本上看，“过去3天”的总体经营情况呢？（引导学生理解，“过去3天”相对于现在是时间回溯，可记作-3天）列式：（-50）×(-3)。这个结果应该表示盈利还是亏损？数值是多少？

（再次强化对(-a)×(-b)这类算式的疑问）

设计意图：从熟悉的加法与正数乘法入手，平滑过渡到负数乘正数，这是学生利用旧知可以理解的。然后，通过两个精心设计的、具有相反维度（时间的前后、盈亏的累计）的现实情境，自然引出了“负数乘以负数”的算式。这两个情境赋予了算式现实意义，但结果未知，从而制造了强烈的认知冲突和探究欲望，为法则的主动探究做好了心理与问题铺垫。

第二环节：合作探究，建构法则——多路径破解“负负得正”(约25分钟)

这是本节课的核心环节，将引导学生通过三种相互印证的路径来发现并理解法则。

探究路径一：基于“相反数”与“运算意义”的推理

教师：让我们回到第一个算式(-3)×2=-6。根据乘法交换律，2×(-3)也应该等于-6。（板书：2×(-3)=-6）

现在，观察下面这组算式，请思考括号内应该填什么？

3×2=6

2×2=4

1×2=2

0×2=0

(-1)×2=?

(-2)×2=?

(-3)×2=-6（已知）

学生观察前面算式的规律：一个因数逐次减1，积逐次减2。因此可以推出：(-1)×2=-2；(-2)×2=-4。规律成立。

教师：非常棒的归纳！现在我们固定第一个因数为-3，让第二个因数变化，再观察：

(-3)×3=-9（可理解为三个-3相加）

(-3)×2=-6

(-3)×1=-3

(-3)×0=0

(-3)×(-1)=?

(-3)×(-2)=?

(-3)×(-3)=?

学生观察：第二个因数逐次减1，积却逐次加3。所以：(-3)×(-1)=3；(-3)×(-2)=6；(-3)×(-3)=9。

教师：请同学们分组，用不同的具体数字（如-4，-2.5等）重复上述“模式延续”的过程，验证规律。

（学生小组活动，教师巡视指导。完成后请小组代表汇报）

师生共同归纳：当因数改变符号时，积也改变符号。具体来说：正数乘正数得正；正数乘负数得负；负数乘正数得负；负数乘负数得正。积的绝对值等于各因数绝对值的积。

探究路径二：利用“数轴”直观模型

教师：我们还可以请老朋友“数轴”来帮忙。在数轴上，乘以一个正数，可以看作沿原方向进行伸缩。那么乘以一个负数呢？我们赋予它新的几何意义：乘以一个负数，可以看作“绕原点旋转180度”后再进行伸缩。

课件动态演示：

1.数轴上点A表示3。计算3×(-2)。过程：点A先旋转180°到-3的位置，再伸缩2倍（即到原点的距离变为3的2倍），得到点-6。

2.计算(-3)×(-2)。过程：点-3先旋转180°到3的位置，再伸缩2倍，得到点6。

通过动态演示，学生直观地看到“负号”对应着“反向”，“负负”就是两次反向，最终回到正向。

教师：请同学们在任务单上的数轴图中，动手画一画(2)×(-1.5)和(-2)×(-1.5)的过程。

（学生动手操作，深化几何直观理解）

探究路径三：基于“运算律一致性”的逻辑说理（面向学有余力学生或作为提升）

教师：数学家在扩充数系时，有一个崇高的追求：希望新的运算规则能与原有的运算律（交换律、结合律、分配律）和谐共处，不产生矛盾。让我们用这个思想来审视“负负得正”。

假设我们不知道(-a)×(-b)的结果，但我们希望分配律仍然成立。

考虑算式：a+(-a)=0。（一个数加上它的相反数是0）

两边同时乘以一个数b：[a+(-a)]×b=0×b。

如果分配律成立，左边=a×b+(-a)×b=0。

我们已经知道a×b是正数（假设a,b为正），那么为了使得和为0，(-a)×b必须等于-(a×b)，即负数。这解释了“正负得负”。

再考虑：(-a)×[b+(-b)]=(-a)×0=0。

运用分配律：(-a)×b+(-a)×(-b)=0。

我们刚得到(-a)×b=-(a×b)，代入上式：-(a×b)+(-a)×(-b)=0。

要使得这个等式成立，(-a)×(-b)必须等于a×b，即正数。这就是“负负得正”！

教师：这个过程不是“证明”，而是“说明”。它告诉我们，“负负得正”这个规定，是为了维护我们喜爱的分配律在有理数范围内继续有效而做出的最自然、最合理的选择。

（此部分讲解需放慢节奏，配合板书推导，让学-生跟隨逻辑链条）

设计意图：通过“模式归纳”、“几何直观”、“逻辑自洽”三条探究路径，全方位、多角度地攻克难点。第一条路径符合学生从特殊到一般的认知习惯；第二条路径提供了生动的形象支撑；第三条路径则触及数学的本质思想，展现了数学的理性之美。三条路径相互支撑，使学生对法则的理解从记忆层面深入到算理和思想层面。

第三环节：归纳法则，明晰要点(约5分钟)

教师：经历了以上探索，请同学们用自己的语言，完整地总结有理数的乘法法则。

学生发言，教师引导、补充、精炼。

多媒体清晰呈现法则：

1.符号法则：

1.2.同号两数相乘，结果为正，积的绝对值等于两数绝对值之积。

2.3.异号两数相乘，结果为负，积的绝对值等于两数绝对值之积。

3.4.任何数与0相乘，积仍为0。

5.运算步骤：

1.6.一定符号：先确定积的符号。

2.7.二算绝对值：再计算各因数绝对值的乘积。

（口诀：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。）

教师强调：“先定符号”是准确、快速运算的关键。对于多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正。

第四环节：范例解析，巩固应用(约20分钟)

例1：基础巩固（直接运用法则）

计算：

(1)(-9)×6

(2)3/4×(-8/15)

(3)(-2.5)×(-4)

(4)(-7)×0

（学生口答或板演，教师强调解题规范：先写符号判定过程或思路，再写结果。特别关注分数、小数的运算，强调先化假分数、确定符号后再约分。）

例2：符号法则深化（多个因数相乘）

计算：

(1)(-2)×3×(-4)

(2)(-1)×(-0.5)×2/3×(-6)

(3)(-1)×(-1)×…×(-1)（共2023个-1相乘）

（引导学生先确定积的符号：第(1)题有2个负因数，积为正；第(2)题有3个负因数，积为负；第(3)题有奇数个负因数，积为-1。再计算绝对值的积。渗透从“两个”到“多个”的推广思想。）

例3：运算律的应用（优化运算）

计算：

(1)(-8)×(-15)×(-0.125)（引导：-8与-0.125结合）

(2)(5/6-3/4+1/12)×(-24)（运用乘法分配律，注意符号）

(3)(-100)×(1/10-1/5+1/2-0.01)（多种方法：先算括号或直接分配）

（师生共同分析：哪道题适用交换律、结合律？哪道题适用分配律？目的是什么？（凑整、约分、简化计算）。通过比较不同解法，体会运算律带来的简便。特别强调分配律逆向使用的意识，如将4.98×(-5)转化为(5-0.02)×(-5)。）

例4：简单实际应用与跨学科联系

1.（物理）一个物体在东西方向的直线上运动。我们规定向东为正。如果它的速度是-5米/秒（表示向西每秒5米），那么：

a.3秒后它的位置变化是多少？列式并计算。

b.-2秒后呢？（解释：“-2秒后”即2秒前）它的位置变化是多少？这个结果的正负说明什么？

（引导学生理解速度与时间的“方向”意义，并用乘法求解，解释结果符号的现实含义。）

2.（经济）某股票每天的开盘价是20元。接下来三天的涨跌情况（与前一天比）分别是：-1元，+0.5元，-2元。求第三天收盘时的股价。

（引导学生建立模型：股价=20+(-1)+0.5+(-2)，也可以从乘法与加法的关系角度思考。）

设计意图：例题设计层次分明，从法则的直接应用到灵活运用，从纯数学计算到实际建模。通过例1夯实基础；例2深化对符号法则本质（负因数个数）的理解；例3突出运算律在有理数范围的普适性和价值，培养优化意识；例4则体现数学的应用性和跨学科特点，让学生感受数学的活力。

第五环节：课堂小结，升华思想(约5分钟)

教师：请同学们围绕以下问题，进行本节课的总结：

1.我们今天学习了什么运算？它的法则是什么？核心难点是什么？

2.我们是通过哪些方法来理解和攻克“负负得正”这个难点的？（引导学生回顾情境、模式、数轴、运算律等多种路径）

3.在探索法则的过程中，你体会到了哪些重要的数学思想？（从特殊到一般、数形结合、保持运算的一致性等）

4.有理数的乘法运算与小学的乘法运算相比，有什么联系与发展？（联系：意义、运算律；发展：数系扩充、符号规则）

学生自由发言，教师进行系统梳理和提升。最终落脚点：有理数乘法法则不是凭空捏造，而是现实需要与数学内在逻辑（运算一致性）共同作用的必然结果，是数系扩充中漂亮的一步。

第六环节：分层作业，拓展延伸

必做题（巩固基础）：

1.课本对应练习题。

2.计算下列各式：

(1)(-12)×5(2)(-0.25)×(-8)(3)(-2/3)×9/4(4)(-1)×(-2)×(-3)×4

(5)(-36)×(5/9-5/6-7/12)（用两种方法）

选做题（提升能力）：

1.探究题：已知|a|=5，|b|=2，且ab<0。求a+b的值。

（考察乘法符号法则与绝对值的综合运用，渗透分类讨论思想。）

2.阅读与思考：查阅资料（或阅读教师下发的材料），了解“负数”和“负数乘法”在数学史上的发展历程，特别是中国古代数学家刘徽、印度及阿拉伯数学家的贡献，写一份200字左右的简介。

3.应用建模：设计一个可以用“(-4)×(-3)=12”来解释的现实生活或跨学科情境，并简要说明。

实践作业（小组合作，一周完成）：

1.主题：“有理数乘法在生活中的导航”。

2.任务：假设一个机器人在方格地图上运动，规定向东、向北为正方向。机器人每执行一次指令如“(2,-3)”，表示向东走2格，向北走-3格（即向南3格）。如果机器人连续执行指令，其最终位置可以用坐标的“加法”和“乘法”（如速度×时间）来建模。

3.要求：设计一个包含至少3条指令的序列，其中需用到正负坐标，并计算最终位置。尝试用图形表示运动轨迹。思考：如果引入“标量乘法”（即数乘指令），会带来什么变化？

（此作业融合了坐标、向量初步思想，为后续学习埋下伏笔，并锻炼数学建模与表达能力。）

七、板书设计（构思）

主板：

课题：有理数的乘法

一、法则探究

1.情境引问：(-0.5)×(-3)=