2026年中考数学二轮复习07一元二次方程及其应用考点专题学案

一元二次方程及其应用考点精讲构建知识体系考点梳理1.一元二次方程的相关概念(1)概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①的整式方程(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a②0)2.一元二次方程的解法解法适用情况或步骤直接开平方法(1)当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；(2)形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程因式分解法(1)常数项为0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；(2)一元二次方程的一边为0，而另一边是易于分解成两个一次因式的乘积注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式公式法适用于所有一元二次方程，求根公式为③(b2－4ac≥0)步骤：(1)使用求根公式时要先把原一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0；(2)判断b2－4ac的正负：若b2－4ac④0，则原方程无实数解；若b2－4ac⑤0，则原方程有实数解注：将a，b，c代入公式时应注意其符号配方法适用于：(1)二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；(2)各项的系数比较小且便于配方的情况步骤：以2x2－8x＋4＝0为例(1)变形：将二次项系数化为1，得x2－4x＋2＝0；(2)移项：将常数项移到方程的右边，得x2－4x＝－2；(3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2－4x＋4＝－2＋4，即(x－2)2＝2；(4)求解：用直接开平方法求解，得x1＝2＋2，x2＝2－23.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(1)根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式(2)一元二次方程根的情况与判别式的关系：①b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根；③b2－4ac＜0⇔方程没有实数根(3)根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1·x2＝c4.一元二次方程的实际应用平均变化率问题(1)变化率＝变化量基础量×100(2)设a为原来量，当m为平均增长率，增长次数为2，b为增长后的量时，则⑥＝b；(3)设a为原来量，当m为平均下降率，下降次数为2，b为下降后的量时，则⑦＝b利润问题(1)利润＝售价－成本；(2)利润率＝利润成本×100(3)每每问题：单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为ba·y面积问题S阴影＝(a－2x)(b－2x)S阴影＝(a－x)(b－x)S阴影＝(a－x)(b－x)练考点1.若关于x的方程(k－3)x2－8x－10＝0是一元二次方程，则k的取值范围是.2.解方程：x2－3x＋2＝0.3.一元二次方程x2－x＋4＝0的根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.关于x的一元二次方程x2－mx＋3＝0的一个根是1，则该方程的另一个根为.5.为了满足师生的阅读需求，某校园图书馆的藏书从2022年至2024年两年内由5万册增加到7.2万册，则这两年藏书的年平均增长率为.6.某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台.调查发现，若销售价每降低50元，则平均每天能多售出4台.(1)若销售价降低1元，则平均每天能多售出台；(2)已知商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱降价x元，可列方程为.高频考点考点1一元二次方程及其解法例1(人教九上习题改编)用适当的方法解下列方程：(1)5(x－3)2＝45；(2)x2＋4x＝12；x2－4x＋3＝0；(4)x2＋3x＋1＝0.变式1用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为()A.103 B.73 C.2考点2一元二次方程根的判别式例2已知关于x的一元二次方程(k－2)x2＋4x－1＝0，请回答下列问题：(1)若原方程有实数根，则k的取值范围是；(2)若原方程有两个相等的实数根，则k的取值范围是；(3)若原方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是；(4)若原方程没有实数根，则k的取值范围是.易错警示本题容易出现的错误是忽略“一元二次方程中二次项的系数不等于0”这个条件.变式2若方程(x－1)2＝m＋2无实数根，则m的取值范围为()A.m＜－2 B.m≤－2 C.m＞－2 D.m＞－2且m≠0变式3(2023广州)已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，则(k－1)2－(2－A.－1 B.1 C.－1－2k D.2k－3考点3一元二次方程的根与系数的关系例3(人教九上习题改编)设x1，x2是方程x2－6x＋2＝0的两个实数根，则：(1)1x1＋1x(2)x12＋x2(3)x12x2＋x1x2变式4若一个关于x的一元二次方程的两根互为相反数，请你写出一个满足条件的方程：.考点4一元二次方程的实际应用例4根据市场需求，某公司的业务规模快速扩大，如图是该公司用来生产一种无盖长方体容器的矩形原料，该矩形原料的长为20cm，宽为16cm.(1)随着技术逐年更新，该矩形原料的成本不断下降，前年一张矩形原料的成本是50元，今年一张矩形原料的成本是32元，求这种矩形原料成本的年平均下降率；例4题图将该矩形原料的四角剪去四个相同的小正方形，然后把剩余部分(阴影部分)沿虚线折起可做成一个无盖长方体容器.若该无盖长方体容器的底面积为140cm2，求剪去的小正方形的边长；若该无盖长方体容器的成本是50元/个，如果以100元/个销售，每天可以售出200个，为尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，公司决定降低售价，市场调查发现销售单价每降低1元，销售数量就增加20个，则当该公司将销售单价定为多少元时，每天的销售利润为16000元？真题及变式命题点1一元二次方程及其解法1.若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝.2.若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c为常数)的两根x1，x2满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为.命题点2一元二次方程根的判别式3.若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝.命题点3一元二次方程根与系数的关系4.已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是()A.x1≠x2 B.x12－2x1＝0 C.x1＋x2＝2 D.x1·x24.1变思维——结合两根关系求系数若关于x的一元二次方程x2－2x＋p＝0两根为x1，x2，且1x1＋1x2＝3，则P－23B.23C.－6D.6新考法5.[数学文化]我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑.内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了.如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是.第5题图6.[综合与实践]【主题】探究日历中的奥秘.【素材】2024年10月1日是我国成立75周年纪念日，本月日历如图所示.步骤一：在本月的日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)；步骤二：设这四个数从小到大依次为a，b，c，【观察】小方框中的4个数a，b，c，d，总存在着某种数量关系.【猜想与应用】(1)请用含a的式子表示b，c，d；(2)若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为128，求这个最大数.第6题图

考点精讲①2②≠③x＝－b±b2－4ac⑥a(1＋m)2⑦a(1－m)2练考点1.k≠32.解：Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1，∴x＝3+12或x＝∴x＝2或x＝1；一题多解法(x－1)(x－2)＝0，x－1＝0或x－2＝0，解得x＝1或x＝2.3.D【解析】∵a＝1，b＝－1，c＝4，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×4＝－15＜0，∴方程没有实数根.4.3【解析】∵a＝1，c＝3，且x1·x2＝ca，由题可知，x1＝1，∴x2＝3，即另一个根为5.20％6.(1)225；(2)(2900－x－2500)(8＋2x25)高频考点例1解：(1)等式两边同除以5，得(x－3)2＝9，开平方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝0；(2)等式两边同加上4，得x2＋4x＋4＝16，即(x＋2)2＝16，∴x＋2＝±4，∴x1＝2，x2＝－6；(3)原方程可变形为(x－3)(x－1)＝0，∴x－3＝0或x－1＝0，∴x1＝3，x2＝1；(4)∵a＝1，b＝3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5，∴x＝－b±b2∴x1＝－3+52，x2变式1B【解析】∵3x2＋6x－1＝0，∴3x2＋6x＝1，x2＋2x＝13，则x2＋2x＋1＝13＋1，即(x＋1)2＝43，∴a＝1，b＝43，∴a＋例2(1)k≥－2且k≠2【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)≥0，且k－2≠0，解得k≥－2且k≠2.(2)k＝－2【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＝0，且k－2≠0，解得k＝－2.(3)k＞－2且k≠2【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＞0，且k－2≠0，解得k＞－2且k≠2.(4)k＜－2【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＜0，且k－2≠0，解得k＜－2.变式2A【解析】∵方程(x－1)2＝m＋2无实数根，∴m＋2＜0，∴m＜－2.变式3A【解析】∵关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，∴Δ＝[－(2k－2)]2－4×1×(k2－1)≥0，整理得－8k＋8≥0，∴k≤1，∴k－1≤0，2－k＞0，∴(k－1)2－(2－k)2＝－(k－1)例3(1)3【解析】∵x2－6x＋2＝0，∴x1＋x2＝－ba＝6，x1x2＝ca＝2，∴1x1＋1(2)32【解析】由(1)得x1＋x2＝6，x1x2＝2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝36(3)12【解析】由(1)得x1＋x2＝6，x1x2＝2，∴x12x2＋x1x22＝x2x1(x1＋x2)变式4x2－4＝0(答案不唯一)【解析】设所求方程式x2＋bx＋c＝0，∵方程的两根互为相反数，∴－ba＝－b＝x1＋x2＝0，ca＝c＝x1·x2＜0，∴所求方程为x2＋c＝0(c＜0)，∴满足条件的方程可以为x2－4＝0(例4解：(1)设这种矩形原料成本的年平均下降率为x，由题意得50(1－x)2＝32，解得x1＝1.8(舍去)，x2＝0.2＝20％.答：这种矩形原料成本的年平均下降率为20％；(2)设剪去的小正方形的边长是xcm，则长方体容器底面的长为(20－2x)cm，宽为(16－2x)cm，由题意得(20－2x)(16－2x)＝140，解得x1＝3，x2＝15，∵当x＝15时，16－2x＜0，∴x＝15不符合题意，舍去，答：剪去的小正方形的边长为3cm；(3)设该公司将销售单价定为x元，由题意得(x－50)[200＋20(100－x)]＝16000，整理，得x2－160x＋6300＝0，解得x1＝70，x2＝90.∵要尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，∴x＝70.答：当该公司将销售单价定为70元时，每天的销售利润为16000元.真题及变式1.1【解析】将x＝1代入方程x2－2x＋a＝0中，得1－2＋a＝0，解得a＝1.2.x2－4＝0(答案不唯一)【解析】设x1＝－2，x2＝2，∴(x＋2)(x－2)＝0，即x2－4＝0.3.1【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22－4c＝0，解得c＝1.4.D【解析】由x2－2x＝0得x1＝0，x2＝2，则x1≠x2；无论x1为0或2时，均满足x12－2x1＝0；x1＋x2＝0＋2＝2；x1·x2＝