2026年中考数学二轮复习18等腰三角形与直角三角形考点专题学案

等腰三角形与直角三角形考点精讲构建知识体系考点梳理1.等腰三角形与直角三角形的性质图形名称等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形图形性质边两腰①三边相等勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有⑪两直角边相等角两底角②三角相等，且每一个角都等于⑧两锐角之和等于⑫两锐角相等且都等于45°特殊性质等腰三角形顶角的③、④、⑤相互重合(简记为“三线合一”)满足“三线合一”(1)斜边上的中线等于⑬(2)30°角所对的直角边等于⑭1.满足“三线合一”2.斜边上的中线等于⑮对称性等腰三角形是轴对称图形，有⑥条对称轴，对称轴是⑦ 等边三角形是轴对称图形，有⑨条对称轴，对称轴是⑩ —等腰直角三角形是轴对称图形，有⑯条对称轴，对称轴是⑰面积计算公式S＝⑱ S＝12ah＝⑲S＝12ch＝⑳S＝12ch＝㉑2.等腰三角形与直角三角形的判定练考点1.在△ABC中，AB＝AC.(1)若△ABC的周长为12，一边长为5，则BC＝；(2)若△ABC的一个内角为80°，则∠B＝°；(3)如图，延长BC至点D，使得CD＝AC，CE平分∠ACD交AD于点E，若AB＝5，AD＝8，则CE＝.第1题图2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线.第2题图(1)若∠B＝2∠C，则∠B＝；(2)在(1)的条件下，若AB＝4，则AD＝，∠ADB＝°；(3)若△ABC中两边长分别为3，4，则△ABC的周长为.3.如果△ABC的三边长a，b，c满足a∶b∶c＝1∶1∶2，那么△ABC是()A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形高频考点考点1等腰三角形的相关证明及计算例1如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，交AB于点E.(1)求证：AD∥FG；(2)试判断△AEF的形状，并说明理由；(3)如图②，连接CE，若CE⊥AB，AB＝13，BC＝10，求CE的长；(4)若∠B＝60°，BC＝8，E为AB的中点，求BG的长.图①图②例1题图考点2直角三角形的相关证明及计算例2如图①，已知在△ABC中，CD是边AB上的高，∠A＝∠BCD.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)若∠A＝30°，BD＝3，求AC的长；(3)若AC＝5，BD＝4，求AD的长；(4)如图②，AE平分∠CAB交CD于点F，交CB于点E，求证：CE＝CF.图①图②例2题图真题及变式命题点1特殊三角形的判定1.(人教七上习题改编)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.第1题图若a＝－43，b＝12，一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解.试判断该三角形的形状，并说明理由.2.1变条件——将已知条件变为与非负性结合已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋2a－b－3＋｜c－32｜＝0，则△ABCA.等边三角形B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等腰直角三角形命题点2与特殊三角形有关的计算3.(北师八下习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°.作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.(1)若AE＝1，求△ABD的周长；(2)若AD＝13BD，求tan∠ABC的值第3题图新考法4.[综合与实践]数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动.【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是5－1【动手操作】如图①是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个角都是36°，并制作了相同五角星如图②所示，∠A的度数为36°，且AD＝AB＝1，于是猜测△ABD是黄金三角形.【解决问题】(1)∠CBD＝°；(2)求证：△ABD是黄金三角形；(3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝18°，BC＝1，求AB的长.第4题图

考点精讲①相等②相等③平分线④底边上的高⑤底边上的中线⑥1⑦底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线⑧60°⑨3⑩每条边上的高(或中线或内角平分线)所在的直线⑪a2＋b2＝c2⑫90°⑬斜边的一半⑭斜边的一半⑮斜边的一半⑯一⑰斜边上的高(或中线或顶角的平分线)所在的直线⑱12ah⑲34a2⑳12ab㉑12a2㉓60°㉔相等练考点1.(1)2或5；(2)50或80；(3)32.(1)60°；(2)4，60；(3)12或7＋73.D高频考点例1(1)证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵FG⊥BC，∴AD∥FG；(2)解：△AEF等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，由(1)知AD∥FG，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE，即△AEF是等腰三角形；(3)解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴BD＝CD＝5，AD⊥BC，∴在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD＝AB2－BD∵CE⊥AB，∴S△ABC＝12BC·AD＝12AB·即12×10×12＝12×13×CE，解得CE＝(4)解：∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝8，∵FG⊥BC，∴∠BEG＝90°－∠B＝30°，∵E是AB的中点，∴BE＝12AB＝4∵在Rt△BEG中，∠BEG＝30°，∴BG＝12BE＝例2(1)解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝90°，即∠A＋∠ACD＝90°.∵∠A＝∠BCD，∴∠ACD＋∠BCD＝90°＝∠ACB，∴△ABC是直角三角形；(2)解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠B＝60°，∵CD是斜边AB上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°－∠B＝30°，∴BC＝2BD，∴AB＝4BD；∴AB＝43，BC＝23，∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝AB2－(3)解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，且∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB＝AD∵AB＝BD＋AD，∴ACBD＋AD∵AC＝5，BD＝4，∴54+AD＝解得AD＝－5(舍去)或AD＝1，∴AD＝1；(4)证明：在Rt△AEC中，∠CEA＝90°－∠1，在Rt△AFD中，∠AFD＝90°－∠2，∵AE平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∴∠AFD＝∠CEF，又∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF.真题及变式1.证明：在△BDF和△CEF中，∠BFD＝∴△BDF≌△CEF(AAS)，∴BF＝CF，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＋∠FBC＝∠ECF＋∠FCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.2.解：该三角形是等腰直角三角形，理由如下：∵a＝－43，b＝12，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0即为x2－43x＋12＝0，解得x1＝x2＝23，∴该三角形是等腰三角形，∵(23)2＋(23)2＝(26)2，∴该三角形是等腰直角三角形.变式2.1D【解析】由题意得a－b=02a－b－3=0c－32=0，解得a=3b=3c=32，∵a23.解：(1)如解图，设DF交BC于点F，由题意得AB＝CE，DF垂直平分BC，连接BD，∴BD＝DC，∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝CE＋AC＝AE＝1；(2)设AD＝x，由AD＝13BD，得BD＝3x，在Rt△ABD中，∠A＝90°∴AB＝BD2－AD由(1)得CD＝BD＝3x，∴AC＝AD＋CD＝4x，∴tan∠ABC＝ACAB＝4x22第3题解图4.(1)解：36；【解法提示】∵∠A＝36°，AB＝AD，∴∠ADB＝12(180°－∠A)＝72°，又∵∠ADB＝∠C＋∠CBD，∠C＝36°，∴∠CBD＝∠ADB－∠C＝(2)证明：∵∠A＝∠C＝∠CBD＝36°，∴AB＝BC＝1，∴△BDC∽△ABC，∴BDAB＝BC设BD＝x，则AC＝1＋x，∴x1＝1整理得x2＋x－1＝0，解得x1＝5－12，x2＝－5∴BDAB＝x1＝5－∴△ABD是黄金三角形；(3)解：如解图①，延长BC至点D，使得BC＝CD，连接AD，则BD＝2BC＝2.∵∠ACB＝90°，∴AC是线段BD的垂直平分线，∴AB＝AD，∴∠BA