§1 回归分析说课稿2025学年高中数学北师大版2011选修2-3-北师大版2006

§1回归分析说课稿2025学年高中数学北师大版2011选修2-3-北师大版2006主备人Xx备课成员魏老师教学内容一、教学内容本节课选自北师大版高中数学选修2-3第二章《回归分析》§1，主要内容包括回归分析的基本思想与初步应用，具体涵盖线性回归方程的求法（最小二乘法）、相关系数的意义及计算、利用回归方程进行预测和解释，并结合实际问题体会回归分析的统计思想。核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过实际问题背景体会数据收集与整理，运用最小二乘法建立线性回归模型，培养数据分析能力；在推导回归方程系数及理解相关系数意义过程中，发展逻辑推理与数学运算素养；结合预测应用提升数学建模意识，体会统计思想在解决实际问题中的应用。学习者分析三、学习者分析1.学生已掌握必修中数据的收集、整理与表示，理解随机变量及概率分布，具备初步的统计意识和数据处理能力；选修2-3前序章节学习了统计案例的基本思想，能运用图表描述数据，为回归分析的学习奠定基础。2.学生对用数学解决实际问题兴趣浓厚，尤其关注生活中的预测与相关性分析；具备一定的代数运算和逻辑推理能力，但更依赖直观感知和具体实例，偏好通过小组合作、动手操作学习；抽象思维正在发展，对统计思想的深度理解尚需引导。3.可能面临最小二乘法原理的推导困难，难以理解“最小二乘”的统计意义；相关系数与相关性强弱的对应关系易混淆；回归方程的应用条件（如线性假设）及预测的误差分析可能成为认知难点，计算过程中的繁琐运算易导致注意力分散。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略四、教学方法与策略采用讲授法讲解回归分析基本概念，案例研究法分析课本中的实际问题，讨论法促进互动。设计小组数据收集实验，如预测身高与体重关系游戏，增强参与感。使用计算器进行回归计算，多媒体展示案例数据，辅助理解。Xx教学过程**环节一：情境导入，感知问题（5分钟）**

同学们，今天我们先来思考一个生活中的问题：如果我们想知道一个人的身高大概多重，或者某地的气温与用电量有什么关系，该如何用数学方法描述呢？（停顿，观察学生反应）没错，我们可以收集数据，画出散点图观察趋势。但散点图中的点并不都在一条直线上，怎样找到一条最能代表这些点变化趋势的直线呢？这就是我们今天要学习的回归分析——一种研究变量间相关关系的统计方法。请大家翻开课本第35页，看看章头图中的案例，思考：为什么能用直线描述身高与体重的关系？

**环节二：探究新知，建立模型（25分钟）**

**1.回归直线的基本思想**

（展示课前收集的10名同学的身高体重数据表）同学们，这是咱们班部分同学的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）数据，我们先在坐标系中描出这些点（板书坐标系，学生上台描点）。大家观察这些点，大致分布在什么区域？（引导学生回答“一条直线附近”）这条直线就称为回归直线，它反映了变量间的线性相关关系。那么，如何确定这条直线的方程呢？

**2.最小二乘法的推导**

假设回归直线方程为$\hat{y}=bx+a$，其中$a$是截距，$b$是斜率。对于每个数据点$(x_i,y_i)$，直线上的对应点是$(x_i,\hat{y}_i)$，它们的偏差是$y_i-\hat{y}_i$（称为残差）。我们希望这条直线“最好”，就是要让所有残差的平方和最小，即$Q=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2=\sum_{i=1}^n(y_i-bx_i-a)^2$最小。这就是最小二乘法的核心思想——最小化残差平方和。

现在，我们如何用数学方法找到$a$和$b$呢？（引导学生思考求最值的方法）对，用配方法或求导。这里我们用求导：将$Q$看作$a$和$b$的函数，对$a$和$b$分别求偏导，令偏导数为0，得到方程组：

$$\begin{cases}

\sum_{i=1}^ny_i=nb+a\sum_{i=1}^nx_i\\

\sum_{i=1}^nx_iy_i=b\sum_{i=1}^nx_i^2+a\sum_{i=1}^nx_i

\end{cases}$$

解这个方程组，得到$b$和$a$的计算公式（板书）：

$$b=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2},\quada=\bar{y}-b\bar{x}$$

其中$\bar{x}$、$\bar{y}$分别是$x_i$、$y_i$的平均数。请大家用计算器计算我们刚才身高体重数据的$b$和$a$，写出回归方程。（学生分组计算，教师巡视指导，提醒计算步骤：先算$\bar{x}$、$\bar{y}$，再算$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$和$\sum(x_i-\bar{x})^2$）

**3.相关系数的意义**

回归直线能反映线性相关关系的强弱吗？我们需要一个指标来衡量。这就是相关系数$r$，计算公式为：

$$r=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}$$

$r$的取值范围是$[-1,1]$。当$r>0$时，正相关；$r<0$时，负相关。$|r|$越接近1，线性相关性越强；越接近0，越弱。请大家计算我们数据的相关系数$r$，并判断身高与体重的相关性强度。（学生计算后回答，教师总结：$|r|>0.75$为强相关，$0.3<|r|<0.75$为中度相关，$|r|<0.3$为弱相关）

**环节三：应用拓展，解决问题（15分钟）**

现在我们回归课本第38页的例2：某商店统计了1月至6月的销售额$y$（万元）与广告投入$x$（万元）的数据，如下表：

$x$：1,2,3,4,5,6

$y$：2.3,3.1,3.9,5.1,5.8,6.6

请大家用最小二乘法建立$y$关于$x$的回归方程，并预测当广告投入为7万元时的销售额。（学生分组完成，教师提示步骤：列表计算$\bar{x}$、$\bar{y}$、$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$、$\sum(x_i-\bar{x})^2$，求$b$和$a$，写出回归方程$\hat{y}=0.87x+1.43$，预测$\hat{y}=0.87\times7+1.43=7.52$万元）

**思考**：这个预测值一定准确吗？（引导学生回答“不一定，因为回归方程是在现有数据范围内建立的，超出范围可能不适用；且变量间还受其他因素影响”）对，回归分析只能预测趋势，不能保证绝对准确，还要考虑实际问题的合理性。

**环节四：巩固练习，深化理解（10分钟）**

完成课本第40页练习第1、2题：第1题是判断相关性强弱，根据散点图选择$r$的范围；第2题是计算回归方程，预测数据。（学生独立完成，教师核对答案，强调计算准确性）

**环节五：课堂小结，梳理脉络（5分钟）**

同学们，今天我们学习了回归分析的基本思想，核心是最小二乘法——通过最小化残差平方和得到回归直线方程；掌握了相关系数的意义，用于衡量线性相关性；并学会了用回归方程解决实际问题。请大家课后思考：如果变量间不是线性关系，该如何建立模型？（为后续学习非线性回归铺垫）

**作业布置**：

1.必做：课本第41页习题2-1第1、2题；

2.选做：收集自己感兴趣的两个变量的数据（如学习时间与成绩、气温与冰淇淋销量），建立回归方程并分析相关性。Xx知识点梳理1.回归分析的基本概念

变量间的关系分为函数关系（确定性关系，如$y=2x+1$）和相关关系（非确定性关系，如身高与体重）。回归分析是研究相关关系的一种统计方法，通过寻找适当的数学模型（如回归方程）来描述变量间的线性或非线性趋势，目的是从一个变量的变化推测另一个变量的变化规律。

2.回归直线与回归方程

回归直线是散点图中最能代表数据点分布趋势的直线，其方程称为回归方程，形式为$\hat{y}=bx+a$，其中$\hat{y}$是$y$的预测值，$x$是解释变量，$b$是回归系数（表示$x$每增加1单位，$\hat{y}$的平均变化量），$a$是截距（当$x=0$时$\hat{y}$的值，需结合实际问题解释其实际意义）。

3.最小二乘法的原理与公式

最小二乘法是求回归方程的核心方法，其原理是使残差平方和$Q=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2=\sum_{i=1}^n(y_i-bx_i-a)^2$最小。通过求偏导数得正规方程组，解得回归系数$b$和截距$a$的计算公式：

$b=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$，$a=\bar{y}-b\bar{x}$，其中$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$，$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i$。

4.相关系数的意义与计算

相关系数$r$是衡量两个变量线性相关性强弱和方向的指标，计算公式为：

$r=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}$。

取值范围：$-1\leqr\leq1$。$r>0$时，正相关（$x$增大，$y$呈增大趋势）；$r<0$时，负相关（$x$增大，$y$呈减小趋势）；$|r|$越接近1，线性相关性越强（$|r|\geq0.75$为强相关，$0.3\leq|r|<0.75$为中度相关，$|r|<0.3$为弱相关或无线性相关）。

5.回归分析的应用步骤

（1）收集数据：确定解释变量$x$和预报变量$y$，收集成对样本数据$(x_i,y_i)$（$i=1,2,\cdots,n$）；

（2）画散点图：判断数据是否呈线性相关趋势，若无明显线性趋势，则不宜用线性回归；

（3）计算统计量：求$\bar{x}$、$\bar{y}$、$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$、$\sum(x_i-\bar{x})^2$、$\sum(y_i-\bar{y})^2$；

（4）求回归方程：代入公式求$b$和$a$，写出回归方程$\hat{y}=bx+a$；

（5）相关性检验：计算相关系数$r$，判断线性相关性强弱；

（6）应用回归方程：在$x$的取值范围内进行预测（如已知$x$值，求$\hat{y}$），并解释结果的合理性（注意预测不能外推过远，避免超出数据范围）。

6.回归分析的注意事项

（1）线性相关判断：散点图是判断是否线性相关的直观依据，相关系数$r$是定量指标，需结合两者分析；

（2）残差分析：残差$e_i=y_i-\hat{y}_i$，残差图应均匀分布在横轴两侧（无明显规律），若残差呈现趋势，则模型拟合效果不佳；

（3）异常值影响：个别远离数据群体的异常点（如身高2.2m）会对回归方程产生较大影响，需检查数据合理性；

（4）相关与因果：相关关系不等于因果关系（如冰淇淋销量与溺水人数正相关，但二者无因果，受气温影响）。

7.教材案例中的知识点应用

（1）身高与体重案例：通过收集学生身高$x$（cm）和体重$y$（kg）数据，画散点图观察线性趋势，用最小二乘法求回归方程（如$\hat{y}=0.6x-30$），计算相关系数$r$（如$r=0.85$，强相关），并预测身高175cm学生的体重（$\hat{y}=0.6\times175-30=75$kg）；

（2）广告投入与销售额案例：分析广告投入$x$（万元）与销售额$y$（万元）的关系，建立回归方程（如$\hat{y}=0.8x+2.5$），预测投入7万元时的销售额（$\hat{y}=0.8\times7+2.5=8.1$万元），并说明预测的局限性（如市场竞争、季节因素等未纳入模型）。Xx典型例题讲解例1：某商品广告投入x（万元）与销售额y（万元）数据为x：1,2,3,4,5；y：3,5,7,8,10。求y关于x的回归方程。

解：计算得$\bar{x}=3$，$\bar{y}=6.6$，$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=16$，$\sum(x_i-\bar{x})^2=10$，则$b=16/10=1.6$，$a=6.6-1.6×3=1.8$，回归方程为$\hat{y}=1.6x+1.8$。

例2：计算例1中数据的相关系数$r$，判断相关性强度。

解：$\sum(y_i-\bar{y})^2=24.8$，$r=16/\sqrt{10×24.8}=16/15.74≈0.976$，$|r|>0.75$，为强正相关。

例3：利用例1的回归方程，预测广告投入为6万元时的销售额，并说明合理性。

解：$\hat{y}=1.6×6+1.8=11.4$万元。预测合理，因6万元在数据范围内（1-5万元），且$r$强相关。

例4：某作物种植密度x（株/亩）与产量y（kg/亩）数据：x：200,250,300,350,400；y：300,350,380,400,410。判断是否适合线性回归，若适合求方程。

解：散点图呈线性趋势，$\bar{x}=300$，$\bar{y}=368$，$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=15000$，$\sum(x_i-\bar{x})^2=50000$，$b=0.3$，$a=368-0.3×300=268$，回归方程$\hat{y}=0.3x+268$。

例5：回归方程$\hat{y}=2x+50$表示学习时间x（小时）与成绩y（分）的关系，相关系数$r=0.85$，解释回归系数和相关系数的意义。

解：回归系数$b=2$表示学习时间每增加1小时，成绩平均提高2分；$r=0.85$表示学习时间与成