2026年湖南湘潭一中中考自主招生数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026湘潭市第一中学创新人才选拔考试数学科试题满分：120分时间：120分钟一、单选题（每小题4分，共48.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（）

A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数3．已知，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．4．已知关于x，y的二元一次方程组的解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．5．如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点都在圆上，小明站在点，小强站在点，小宁站在点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是（

）A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大6．如图，是的直径，点C为弧上一点，连接并延长交的延长线于点E，若D是的中点，，则的度数为（

）A． B． C． D．7．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第1分钟后，它从原点运动到点，在第2分钟后，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，则在第200分钟后，这个粒子所在位置的坐标是（）

A． B． C． D．8．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（

）A． B． C． D．9．如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，下列结论：①；②四边形是正方形，③若，则．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．①10．某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（

）A． B． C． D．11．如图，矩形纸片中，，，点是边上的动点，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为、，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．12．已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（

）A．抛物线的顶点坐标为B．C．关于x的一元二次方程（）的两解为，，则D．方程有3个根，则二、填空题（每小题4分，共24.0分）13．多项式分解因式得_____________________14．如图，每个小正方形的这长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的值等于__________．

15．若，则代数式的值是______．16．在学习二次根式的过程中，有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系例如：由，可得与互为倒数，即，类似的，；；…根据这一规律，计算：_____．17．日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母到表示，其中用分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十进制数2024转换成十六进制数表示为()16．18．如图，是半圆O的直径，点C（不与点O重合）在上．过点C作交半圆O于点D，连接，过点C作于点E，设，，则图中长度一定等于的线段是______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解．20．为了了解学生掌握环境保护知识的情况，进一步增强学生绿色文明意识、生态保护意识，号召学生积极参与到环境保护的行动中来，某校举行了“保护环境，人人有责”的知识测试，现随机抽取了部分学生的测试成绩，发现成绩（单位：分）的最低分为50分，最高分为98分，并绘制了如下尚不完整的统计图：学生的测试成绩分成5组：A（），B（），C（），D（），E（）．请根据图表提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查中，C组所对应的扇形圆心角是_______度；(2)若本校共有1000名学生参加本次知识测试，请估计全校参加本次知识测试的学生成绩在E组的有多少人；(3)本次抽样调查成绩在E组的学生中有2名是女生，校团委将从E组学生中随机抽取2名学生，参加全市环境保护知识竞赛，求恰好抽中2名女生的概率．21．如图，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与均不重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)若与互余，求点坐标；22．设是，，，的平均数，即，则方差，它反映了这组数的波动性．(1)证明：对任意实数，，，，与，，，方差相同．(2)证明：．(3)以下是我校初三（1）班位同学的身高单位：厘米：169

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171，计算这组数的方差．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】本题考查数轴，倒数，相反数和绝对值，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题．利用数形结合是解题的关键．根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出，，根据有理数的乘法可判断（1）正确；根据相反数的定义可判断（2）；根据倒数的定义可判断（3）；根据绝对值的定义可判断（4）．【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得，，∴（1），正确；（2），正确；（3），错误；（4），正确．故正确的3个，故选：C．2．C【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少13和14岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解．【详解】解：A：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少13岁和14岁的数据，所以平均数不能求出，故A不符合题意；B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少13岁和14岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意；C：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故C符合题意；D：由于众数是出现次数最多的数，13岁和14岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意；故选：C．3．D【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．由题意知，根据，代值求解即可．【详解】解：由题意知，，故选：D．4．B【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，利用加减消元法接方程组得到，再根据得到，解不等式即可得到答案．【详解】解：，得：，解得，把代入①得：，解得，∴方程组的解为，∵，∴，∴，故选：B．5．D【分析】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键就是找到射门角，即射门点与球门两侧所成的角，且角越大，进球率越高．根据射门角越大，射门进球的可能性就越大．【详解】解：因为点都在圆上，故通过观察处的射门角相等；故三位同学踢进足球的可能性一样大．故选D．6．B【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接由圆周角定理得由为中点得得是等边三角形，得由可得结论.【详解】解：连接如图，∴∵∴∵为的中点，∴∴又∴∴是等边三角形，∴∴故选：B.7．B【分析】本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．【详解】解：由题知表示粒子运动了0分钟，表示粒子运动了（分钟），将向左运动，表示粒子运动了（分钟），将向下运动，表示粒子运动了（分钟），将向左运动，…，于是会出现：点粒子运动了（分钟），此时粒子是从左边移动过来的，将会向下运动，∴在第200分钟时粒子是在点粒子左边个单位长度，∴粒子的位置为，故选：B．8．B【分析】设，仿照例题进行求解．【详解】设，则，，解得，，故选B．【点睛】本题考查类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键．9．A【分析】设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确．【详解】解：设交于，如图：四边形是正方形，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，，

，，，，故①正确；将绕点按顺时针方向旋转，，，，又，四边形是矩形，又，四边形是正方形，故②正确；如图，过点作于，，，，，四边形是正方形，，，，，又，，，，将绕点按顺时针方向旋转，，四边形是正方形，，，即，故③正确；正确的有：①②③.10．B【分析】因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有种情况，而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是，根据概率公式求解．【详解】解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为，所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率，故选：B．【点评】选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率．11．D【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，解题关键是要熟练运用折叠的性质和勾股定理．要使折痕始终与边、有交点，就要找到与重合，与重合时对应的长即可，由折叠可得结论．【详解】解：∵四边形是矩形，，，∴，，，当与重合时，如图①，的值最小，由折叠可得，，∴在中，∴；当与重合时，如图②，的值最大，由折叠得，．综上所述，的取值范围是．故选：D．12．D【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，函数与坐标轴的交点．把点C的坐标代入中，求出抛物线解析式即可得到抛物线的顶点坐标，判断A选项．根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断B选项．方程的解，是抛物线先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标，根据抛物线平移的性质即可判断C选项．画出函数的图象，根据数形结合的思想即可判断D选项．【详解】∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线为，即，∴抛物线的顶点坐标为．故A选项正确；把代入函数中，得，解得或，∴抛物线与x轴的交点为，，∵抛物线的开口向上，且抛物线上的两点，中，∴．故B选项正确；将抛物线向下平移m个单位长度，得到，该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在店的右侧，∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确．∵方程有3个根，∴函数的图象与直线有3个交点，∵函数的图象与x轴的交点为，，如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即此时把点代入函数中，得到，解得，当时，如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点∴对于方程可化为，即，∴，解得，综上所述，或．故D选项错误．故选：D13．【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可．【详解】，故答案为：．14．##【分析】本题考查了勾股定理，连接，设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出及的长，利用勾股定理的逆定理得出为等腰直角三角形，可得出，利用特殊角的三角函数值即可求出的值．【详解】解：连接，设小正方形的边长为1，

根据勾股定理可以得到：．∵．∴．∴是等腰直角三角形．∴．则．故答案为：．15．2或【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及分类讨论思想．分和两种情况讨论，当时，把a、b看成即的两个实数根，利用根与系数的关系求解即可．【详解】当时，；当时，把a、b看成即的两个实数根，∴，，∴，故答案为：2或．16．【分析】首先根据规律把算式中的各项进行分母有理化，再去括号、合并同类二次根式．【详解】解：．17．【分析】根据十六进制“逢16进1”的规则，先确定十进制数2024对应的16的各次幂的系数，再对应转换为十六进制数即可．【详解】解：因为，，计算得，其中14对应十六进制的字母E，因此转换结果为．18．##【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，由，推出，得到，求出，由，推出，即可求出．【详解】解：∵是半圆O的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵于点E，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．19．；1【分析】先通分，利用平方差公式，完全平方公式计算，然后进行除法运算，最后进行减法运算可得化简结果，解一元一次不等式组得整数解，根据分式有意义的条件确定值，最后代入求解即可．【详解】解：；，解，得，，解，得，，∴，∴整式解为，，，∵，∴，∴，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件等知识．熟练掌握分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件是解题的关键．20．(1)108(2)125人(3)【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体：（1）用B组的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出C组的人数占比，再用360度乘以C组的人数占比即可得到答案；（2）先求出样本中E组的人数，进而用1000乘以样本中E组的人数占比即可得到答案；（3）先求出E组的男生人数为3人，再画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中2名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】（1）解：人，∴参与调查的人数为40人，∴本次调查中，C组所对应的扇形圆心角是度，故答案为：108；（2）解：人，∴估计全校参加本次知识测试的学生成绩在E组的有125人；（3）解：E组一共有人，∵在E组的学生中有2名是女生，∴在E组的学生中有3名是男生，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生的结果有2种，∴恰好抽中2名女生的概率为．21．(1)(2)或【分析