空间向量基本定理课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2空间向量

基本定理(1)平面向量基本定理

回顾什么是平面向量基本定理？它的作用是什么？复习

类似地，空间中任意一个向量能否通过有限个向量线性表示？至少需要几个呢？共线

⇒

一个向量共面

⇒

两个向量三个？

三个向量共面

三个向量不共面

追问2

任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？？追问1

为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？两个不共线的向量还够用吗？至少需要三个向量

先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况讨论.探究

PQOα

PQOα

空间向量基本定理

问题3你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？授新一、

空间向量基本定理

不共面说明它们为非零向量基底不唯一

O向量共线充要条件平面向量基本定理空间向量基本定理向量

(

≠0)与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使＝λ.如果1，2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使

＝λ11＋λ22．如果三个向量，

，不共面，那么对任意一个空间向量

，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得

＝x＋y＋z．一维二维三维{}{1，2}{

，，}总结例题书12OABCMNP..例1

如图示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且

用向量表示

Q定基底↓将未知化归为已知总结1空间向量基本定理2

类比平面向量的研究方法类比猜想证明或转化推广空间向量基本定理基

底基向量单位正交基底正交分解1.2空间向量

基本定理(2)空间向量基本定理

回顾

不共面说明它们为非零向量基底不唯一

O例题应用1—证垂直ACDBC1D1B1A1NM例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1．例题应用1—证垂直ACDBC1D1B1A1NM例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1．

判断向量垂直例题应用2—证平行例2如图示，

正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E,F,G分别为C'D′,A'D'，D'D的中点.(1)求证：EF//AC；BDCA′B′C′D′AGFE

判断向量平行例题应用2—证平行例2如图示，

正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E,F,G分别为C'D′,A'D'，D'D的中点.(2)求CE与AG所成角的余弦值.BDCA′B′C′D′AGFE

求向量夹角练习书本P141.已知四面体OABC，OB=OC,∠AOB=∠AOC=θ.

求证:

OA⊥BC.COBA练习书本P142.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=2，AA'=3，∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°.求BC'与CA'所成角的余弦值.ACDBC′D′B′A′练习书本P143.如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′和DC′相交于点O，连接AO.求证：AO⊥CD'.BDCA′B′C′D′AO

习题1.2书本P15

练习

证法一：（线面平行的判定）

总结

用基底解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤4.最后还原为几何中的线段长度，两直线平行、垂直及夹角.1.选基底．2.用基底表示出向量.

【导练】——

举一反三·随堂落实1．下列可使a，b，c构成空间的一个基底的条件是(

)A．b＝λc

B．a，b，c两两垂直C．a＝mb＋ncD．a＋b＋c＝0答案：B解析：对于A，由于b＝λc，所以b，c共线，则a，b，c共面，不能构成基底，故A错误；对于B，a，b，c两两垂直，则a，b，c不共面，能构成基底，故B正确；对于CD，a＝mb＋nc，a＋b＋c＝0⇒a＝－b－c，都得到a，b，c共面，不能构成基底，故CD错误．

答案：A