1.5.2三角形角平分线-【导学练评】北师大版数学八年级下册

1.5.2三角形角平分线-【导学练评】北师大版数学八年级下册学习目标：1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质.2.能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题．学习重点：三角形角平分线的性质的证明.学习难点：添加辅助线利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题1、角平分线性质定理：.符号语言：∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.2、角平分线判断定理：.符号语言;∵P在∠AOB的内部,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴OP平分∠AOB.1．如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=900，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）如果CD=4cm，AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.一、创设情境、导入新课如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？二、合作交流、新知探究探究一;三角形的角平分线1、分别作出△ABC的三条角平分线问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？2、发现：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三边的距离相等。3、证明发现已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P。证明：P点在∠BAC的角平分线上．且PD=PE=PF证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC平分线，∴PD=PE（)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上，（)．∴△ABC的三条角平分线相交于点,且PD=PE=PF4、【强调】：三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.几何语言如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.注:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.探究二：1、三角形三边的垂直平分线的交点与三条角平分线的交点有什么不同?三条垂直平分线三条角平分线锐角三角形交于三角形内部交于三角形内部一点直角三角形交于斜边中点钝角三角形交于三角形外部交点性质到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）到三角形三边的距离相等（内接园圆心）2、问题解决：如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？解：由于三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。所以作三角形的角平分线.其交点P就是凉亭的位置，如图所所示.一、基础达标1：2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：53．△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（）A．BD=DC B．BE⊥ACC．FA=FB D．点F到三角形三边的距离都相等4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，BC=10，则△BCP的面积为（）A．16 B．20 C．40 D．805．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BD=2CD，点D到AB的距离是5.6，则BC=.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是.二、能力提升1：7．如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5三、拓展迁移1：8．如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N．求证：PM=PN9．在△ABO中，AB=AO，∠BAO=90°，AD⊥BO于D，过O点引射线OF交BA延长线于F点．过B点作BE⊥OF于E点、分别交AD、A于点G，H．（1）求证：△ABH≌△AOF（2）若AH=AG；①判断BE是否是△CBF的角平分线，并说明理由；②说明．BH=2OE1、三角形角平分线定理三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.几何语言如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.2、三角形垂直平分线于角平分线的不同点垂直平分线：到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）角平分线：到三角形三边的距离相等（内接园圆心）四、基础达标2：10．下列命题是真命题的是（)A．同旁内角互补B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形C．两边及一角对应相等的两个三角形全等D．角平分线上的点到角两边的距离相等11．△ABC的外角平分线CE、BD相交于点P，P到AB的距离是3，则P到AC的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；③分别以D、E为圆心，大于12A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②13．如图：∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB=3cm，BD=2cm，则DE=.14．已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D是OC上的一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于F，若DE=2，则DF=.15．如图P是∠AOB的角平分线OC上的一点，PN⊥OB，M是线段ON上的一点，已知OM=3，ON=4，点D是OA上的一点，若满足PD=PM，则OD=.五、能力提升2：16．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB=45°其中正确结论的是．17．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+12∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n则SA．1个 B．2个 C．3个 D．4个六、拓展迁移2：18．已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在△ABC中，BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE=AF，解答下列问题：（1）证明：DE=DF；（2）若∠A=60°，AB=8，BC=7，AC=5，求EF的长

答案解析部分1．【答案】（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=4，又∵AC=BC∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=DE=4（等角对等边），在等腰Rt△BDE中，由勾股定理得BD=2D∴AC=BC=CD+BD=（4+42（2）证明：∵DE⊥AB，DC⊥AC，∴在Rt△ACD和Rt△AED中，DE=CDAD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等），又∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到DE=CD，然后等边三角形的性质即可得到∠BDE=45°，进而得到△BDE是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出BD长解答即可；

（2）根据HL得到Rt△ACD≌Rt△AED，即可得到AC=AE，然后根据线段的和差证明即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．故选C．【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．3．【答案】D【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，∴点F到边AB，AC的距离相等，同理可得：点F到边AB，BC的距离相等，∴点F到△ABC三边的距离都相等，因为不能确定△ABC的形状，所以选项A，B，C均不一定符合题意，故答案为：D．【分析】根据角平分线的性质可得答案。4．【答案】B【解析】【解答】解：过P作PE⟂BC于E，∵AB‖CD,∴∠BAP+∠CDP=18∵AD⟂AB,∴∠BAP=9∴∠CDP=9即AD⟂CD,∵PE⟂BC,BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，∴PA=PE,PE=PD,∴PA=PD,∵AD=8,∴PE=PD=AP=4,∵BC=10,∴△BCP的面积为12故答案为：B.【分析】过P作PE⟂BC于E，根据角平分线的性质得出PE=PA=PD，求出PE=PA=PD=15．【答案】16.8【解析】【解答】解：如图所示，过D作DE⟂AB于E，∵∠C=90∘,AD平分∴CD=DE=5.6又∵BD=2CD，∴BD=11.2cm,∴BC=CD+BD=5.6+11.2=16.8故答案为：16.8.【分析】依据角平分线的的性质，即可得到CD的长，进而得出BD的长，依据BC=CD+BD即可得出结论.6．【答案】30【解析】【解答】解：过点D作DE⟂AB于E.∵AP是∠BAC的平分线，∠C=90∘∴△ABD的面积=故答案为：30.【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⟂AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.7．【答案】C【解析】【解答】解：如图，在BC上截取CQ'=CQ，然后连接PQ'，作AM⟂BC于M，∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

又∵CP=CP，

∴△PCQ≌△PCQ'，

∴PQ'=PQ，∵PA+PQ=PA+PQ',∴AM=2故选：C.【分析】在BC上截取CQ'=CQ，然后连接PQ'，作AM⟂BC于M.即可得到△PCQ≌△PCQ'，进而得到PQ'=PQ，由PA+PQ=PA+PQ'，推出根据垂线段最短可知，当A，P，Q'共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值=线段AM的长.8．【答案】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=CB∠ABD=∠CBD∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，由已知条件可知AB=BC，利用SAS证明△ABD≌△CBD，得到∠ADB=∠CDB，推出BD平分∠ADC，然后根据角平分线的性质可得结论.9．【答案】（1）证明：∵BE⊥OF于E点，∴∠BEO=90°，∴∠BAO=90°=∠BEO，∵∠ABH+∠BHA=90°，∠AOF+∠OHE=90°，∠BHA=∠OHE，∴∠ABH=∠AOF，在△ABH和△AOF中，∠ABH=∠AOH，∠BAH=∠OAF=90°，AB=AO，∴△ABH≌△AOF（2）解：①BE是△OBF是角平分线．理由如下：∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，∵∠AGH=∠BGD，∴∠AHG=∠BGD∵AD⊥BO于D点，∴∠GBD+∠BGD=90°，∵∠BAO=90°，∴∠ABH+∠AHB=90°，∴∠GBD=∠ABH，∴BE是△OBF是角平分线．②证明：∵△ABH≌△AOF，∴BH=OF，∵BE是△OBF是角平分线，∴∠EBO=∠EBF在△BOE和△BFE中∠EBO=∠EBF，∠BEO=∠BEF=90°，BE=BE，∴△BOE≌△BFE（AAS)∴EF=OE=1∴BH=2OE．【解析】【分析】(1)根据AAS可证明△ABH≌△ACF；

(2)①由等腰三角形的性质得出∠AGH=∠AHG，由直角三角形的性质得出∠GBD=∠ABH，则可得出结论；

②证明△BOE≌△BFE(ASA)，由全等三角形的性质得出EF=OE=110．【答案】D【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，错误；

B、等腰三角形有锐角三角形，也有钝角三角形，错误；

C、两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；

D、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，正确；

故答案为：D.

【分析】根据平行线的性质判断A；利用等腰三角形的性质和三角形内角和分析判断B；根据全等三角形的判定定理判断C；根据角平分线的性质定理判断D.11．【答案】C【解析】【解答】解：过P作PQ⟂AC于Q，PW⟂BC于W，PR⟂AB于R，

∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，∴PQ=PW,PW=PR,∴PR=PQ,∵点P到AC的距离为3，∴PQ=PR=3,则点P到AB的距离为3，故答案为：C.【分析】过P作PQ⟂AC于Q，PW⟂BC于W，PR⟂AB于R，根据角平分线性质得出PQ=PR，即可得出答案.12．【答案】C【解析】【解答】解：已知∠AOB,求作射线OC，使OC平分∠AOB：步骤：a、在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；b、分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在c、作射线OC；故顺序为②③①.故答案为：C.【分析】根据作角平分线的步骤即可判断；13．【答案】1【解析】【解答】解：∵AB=3cm,BD=2cm,∴AD=AB−BD=1cm,∵CD平分∠ACB,∠A=9∴DE=AD=1cm,故答案为：1.【分析】根据AB和BD求出AD，再根据角平分线的性质得到DE.14．【答案】4【解析】【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示.∵OC是∠AOB的平分线，∴DM=DE=2.在Rt△OEF中，∠OEF=90°，∠EOF=60°，∴∠OFE=30°，即∠DFM=30°.在Rt△DMF中，∠DMF=90°，∠DFM=30°，∴DF=2DM=4.故答案为4.【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解.15．【答案】3或5【解析】【解答】解：如图：过点P作PE⟂OA于点E，∵OC平分∠AOB,PE⟂OA,PN⟂OB，∴PE=PN，∵PE=PN,OP=OP，∴△OPE≅△OPN(HL)∴OE=ON=4，∵OM=3,ON=4，∴MN=1，若点D在线段OE上，∵PM=PD,PE=PN，∴△PMN≅△PDE(HL)，∴DE=MN=1，∴OD=OE−DE=3，若点D在射线EA上，∵PM=PD,PE=PN，∴△PMN≅△PDE(HL)∴DE=MN=1，∴OD=OE+DE=5，故答案为：3或5.【分析】过点P作PE⟂OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN=PE，即可求OE=ON=4，由题意可证△PMN≅△PDE,可求OD的长.16．【答案】①②④【解析】【解答】解：如图，AE交CD于点G，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE=∠DAC，∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，在△BAE和△CAD中，AB=AC∴△BAE≌△CAD(SAS)，

∴BE=CD，故①正确；

∵△BAE≌△CAD，∴∠BEA=∠CDA，∵∠EGO=∠DGA，∴∠EOG=∠DAG=90°，∴BE⊥CD，故②正确，∵△BAE≌△CAD，∴∵AM⊥CD，AN⊥BE，∴AM=AN，∴AO平分∠DOB，∴∠AOB=45°，故④正确，若③成立，OA平分∠CAE，则∠CAO=∠EAO，∵∠ACD=∠AEB，在△CAO和△EAO中，∠CAO=∠EAO∴△CAO≌△EAO(AAS)，∴AC=AE，由题意知，AC不一定等于AE，所以OA不一定平分∠CAE,故③错误，∴其中结论正确的是①②④.故选：C.

【分析】作AM⟂BD于M，.AN⟂EC于N，设AD交EF于O.证明△BAD≌△CAE,利用全等三角形的性质一一判断即可.17．【答案】C【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=9∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A;故∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，