利用平移变换解决问题

如何利用平移变换解决问题(一)

一、教学目标：

1、知识与技能：使学生能够利用平移变换解决有关的问题

2、过程与方法：在研究问题的过程中培养学生的直观感知能力和归纳能力

3、情感态度价值观：(1)体脸数学知识是通过观察猜想和脸证的过程，欣赏数学图形之美

(2)体脸数学的学习是一个观察、猜想、归纳、脸证的过程

二、重点与难点

1、重点：平移变换的正确使用

2、难点：能对it杂图形进行恰当的平移变换是难点

三、教学用具：计算机

四、教学过程

(一)课题引入

(二)分析问题和解决问题

1、运用平移解决周长计算问题

例1、如图1—1,横、纵相邻格点间的距离均为1个单位.

(1)在格点中画出图形ABC。先向右平移6个单位，再向上平移2个单位后的图形;

(2)请写出平移前后两图形对应点之间的距离.

分析：(1)将点A、B、C、D按平移条件找出它的对应点A7、B，、C'、D’,顺次连结A'B'、B'C'、

C'D'、D'A，,即得到平移后的图形.

(2)两对应点之间的距离等于两直角边分别为2、6的直角三角形的斜边长，即

为："+62=，4+36=亚=2面.

解：(1)如图1-2所示，图形A'B'C'D7为所求；

(2)2M个单位。

点拨：平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步.

2、运用平移解决面积计算问题

例8、如图所示，已知RtZXABC中，NC=90°,BC=4,AC=4,现将△ABC沿CB方向平

移到AA'B'C'的位置.

(1)若平移的距离为3,求4ABC与AA'B'C'重叠部分的面积；

(2)若平移的距离为x(0Wx《4),Z\ABC与4A'B'C'重登部分的面

积为y,写出面积y与平移距离x的关系式.

BB1CC'

分析:观察图形可知，△ABC与aA'B'C'重叠部分是△BC'0,根据平移的特征可知

△BC'0是一个等腰直角三角形，BC'就是直角边，所以求出BC'的长后便可表示△BC'0的面积.

解：因为RtZ\ABC中，NC=90°,BC二4,AC二4,

所以NA二NABC二g(180,-9()')=45°,

因为4A'B'C'是由aABC平移得到的，所以NA'C'B’=ZC=90°

又NABC二45°,所以BC'=C'0

(1)若平移的距离为3,则CC'=3,

BC'二C'0二BC—CC'=1,

所以重叠部分的面积为Ssc，o=，xlxl=L

22

(2)若平移的距离为x,则CC'=x,

BC'=C'0=BC—CC'=4—x,

所以重叠部分的面积为：

y—S△8c,o--(4—x)2=—(16—8A+广)=耳/—4x+8(0WxW4).

教师总结：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行

且相等；图形的形状与大小不变。利用平移的特征能很快地确定平移后两图形重叠部分是个等腰直的三角形，

从而解没问题.

(四)课堂总结

请大家结合本节课的学习，谈谈你的收获和体会？

五、教学反思

“教学课程标准”指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教

师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事教学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程

中真正理解和掌握基本的教学知识与技能、教学思想和方法，萩得广泛的教学活动经验。学生是数学学习的

主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。下面我对在实践本节课中出现的不足及今后的改进方

法进行总结：

本节课是在初三总复习中所上的一节专题复习课，问题设计对于学生来讲并不太难，下面我就针对本

节课的优点以及教学中的不足进行一下分析.

(一)成功的地方

1o本节课让老师和学生积极互动起来，给学生足够的空间进行讨论,课堂气氛，比较活跃，教学效果比较好。

教师的角色发生了转变：学生是数学学习的主体，教师是教学过程中的组织者和引导者，是学生学习过程中

的学习伙伴。

2小组合作学习基本上达到了全员参与，两个人或四个人一个小组讨论起来更具有时效性，尤其对于基础较

弱的同学而言，组长基本上可以帮他讲明白，可以说是受益匪浅。

(二)不足的地方

1o上课时有些问题问得不太具体，学生不知道应该从哪些方面来回答。

2.学生有独立思考的环节，还进行了了小组讨论，最后在进行全班交流时，个别时候老师讲的有点细，学生已

经讲明白的问题老师就可以不重复了•这样还可以节省时间,提高课堂效率。

(三)改进的方法

1o我们现在采取小组合作的教学模式，问题设计对于学生很重要，一份好的问题设计可以激发好孩子的进

一步思考，可以在学习方法上对学M进行指导。在上课前可以和老师们讨论应该怎样设计问题，或者上网查

找资料，争取把问题设计好。

2o在教学过程中，两个人或四个人一个小组进行讨论比较有实效性，一个学生(组长)完全可以给另一个

学生(组员)讲明白，因此学生能够讲明白的问题老师就不要重复去讲，要相信学生的能力。

【解题密码】

例1、如图1—1,横、纵相邻格点间的距离均为1个单位.

(1)在格点中画出图形AACO先向右平移6个单位，再向上平移2个单位后的图形;

(2)请写出平移前后两图形对应点之间的距离.

分析：(1)将点A、B、C、D按平移条件找出它的对应点A'、B‘、C'、D',顺次连结A'B'、B'C'、

C'D‘、DzA，,即得到平移后的图形。

(2)两对应点之间的距离等于两直角边分别为2、6的直角三角形的斜边长，即为：

物+62=，4+36=廊=2函.

解：(1)如图1—2所示，图形A'B'C'D'为所求；

(2)2M个单位。

点拨：平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步.

例2、如图8—1所示，已知RtZXABC中，NC=90°,BC=4,AC=4,现将AABC沿CB方向平

移到AA'B'C'的位置.

(1)若平移的距离为3,求AABC与AA'B'C'重叠部分的面积;

(2)若平移的距离为x(0WxW4),AABC与4A'B'C'重叠部分的面

积为y,写出面积y与平移距离x的关系式.

分析：观察图形可知，4ABC与AA'B'C'重登部分是△BC'0,根

据平移的特征可知

△BCZ。是一个等腰直角三角形，BC'就是直角边，所以求出BC'的长后

便可表示△BC'0的面积.

解：因为RtAABC中，ZC=90°,BC=4,AC=4,

所以NA=NABC=-(180r-90°)=45°,

2

因为AA'B'C‘是由aABC平移得到的，所以NA'C'B'=ZC=90°

又/ABC二45°，所以BC'二C’0

(1)若平移的距离为3,则CC'=3,

BC'二I。二BC-CC'=1,

所以重叠部分的面积为S/c，o=1xlxl=!，

22

(2)若平移的距离为x,则CC'=x,

BC'二C'0=BC—CC'=4-x,

所以重要部分的面积为：

y—S△8c,o——(4—x)2=—(16—8A+x?)=—x~—4x+8(0WxW4).

222

点拨：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相

等；图形的形状与大小不变。利用平移的特征能很快地确定平移后两图形重叠部分是个等腰直角三角形，从

而解决问题.

例2、如图27,多边形的相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为().

(C)37(D)42

分析：图中只给出了一个底边的长和高，所以要从现有的条件入手.我们可以利用平移的知识来解决：

把所有的短横线移动到最上方的那条横线上，再把所有的竖线移动到两条竖线上，这样可鼠重新拼成一个长

方形(如右图2—2),可得多边形的周长为2X(16+5)=42.

答案：选(D).

点拨：本题通过平移将未知线段的和转化到已知线段上去解决，使问题变得简单.

例3、已知正方形ABCD的边长为10cm.E、F分别为AB、CD边的中点，以BC为直径作半圆，再以EF为直

径作半圆与AD切于点G,则阴影部分的面积为cm2.

图3—1图3—2

分析：图中的阴影部分是一个不规则的图形，要想直接去求它的面积很困难，但是如果想到平移阴影部

分的半圆，把它移到和下方的半圆重合，从而把阴影部分面积转化为一个矩形(正方形面积的一半)来解决，

问题就变得简单多了.

答案：50cm2.

点拨：在求阴影部分面积时，我们可以根据条件，考虑利用平移变换把要求的不规则图形转换为规则图

形来解灰.

例4、如图4—1,某小区有一块长42米、宽20米的矩形寺坪，现要在草坪中间铺设一横两纵三条等宽

的甬道，若铺设后草坪的面积为760米2,求甬道的宽.

图4—2

分析：常规方法可设甬道的宽为x米，根据总面积减云空白部分的面积为760米；可列方程:

42X20-2X20JI-42X+2X2=760,然后进行求解、检验、作答，但这样考虑很容易出现列式错误，如果利用

平移变换来解决，将六块草坪通过平移变换拼接到一起变成一块新的矩形来考虑面积，问题就能变得简单（如

图4—2）.

解：设甬道的宽为x米，则拼接后的整个草坪的长为（42-2幻米，宽为（20-x）米，可列方程：

(42—2/)(207)=760

解得：％=1,x2=41

经检验与二41不符题意舍去，

答：甬道的宽为1米.

点援：本题利用平移变换，把分散的图形集中到一块拼接成一个容易计算面积的规则由形。，使问题变

得简单，若本题的纵向两个甬道改为水平宽度处处相等的曲边形，如图4-3,此时甬道的宽度又是多少呢？

当图形的形状不规则时，方法一不可行，而平移方法依然有效。由此可知利用平移变换解决问题有时不

仅简便，而且还是必要的方法.

例5、、工人师傅手中有一个如图5—1所示的零件，他为求出此零件的表面积.采取了如下的方法:

第一步：连结两圆的圆心OQz；

第二步：作大圆的弦AB,使得弦AB与。。2的相切，且AB//0。；

第三步：测量弦AB的长为12;

据此他就求出了此零件的表面积，你知道他是怎样求的吗？表面积是多少？

图5-1图5-2图5—3

分析：要求出表面积，应该要用大圆面积减去小圆面积，但是现在不知道两圆的半径分别为多少，感觉

缺少条件，但是如果我们将小圆进行平移，使得两圆圆心重合，这时利用垂径定理构造出直角三角形，并由

勾股定理将两圆半径的平方差进行整体代换，即用已知弦长的一半的平方来表示，从而巧妙地求出表面积来.

解答:将。0?沿直线0而平移，使得点和点0i重合，如图5-3所示，

作0C_LAB于C,连结0A

则AC=BC=-AB=6

2

在RtZ^A0£中，有：。状2-。］。2

=(O.A2-O,C2)乃=AC?乃=%万

17}X，1•

点拨：利用平移变换将图形将移到特殊位置，用整体代换的方法，能巧妙地解决问题.

例6、如图6—1,小镇A和B在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B

的路径AMNB最短？(假设河两岸4平行，桥MN与河岸垂直,A到离它较近的河岸的距离大于河宽).

图6-1

图6—2

图6—3

分析：，这个问题要

求的“路径AMNB最短”

实际是就是“AMBN”最

短，因为本题中附加条件

是“桥要与河垂直”，也

就是说桥的长度就是河两岸的距离了(题中假定了河的两岸是平行的直线).怎样保

证“A陋BH最短呢?如果不是中间有条河隔着，直接连接AB就可以了！由于河两岸平行，故桥长MN是一个定

值，无论桥架在何处，MN是必经路线，要使从A到B的折线最短，只需AM+BN最短即可。为此我们不妨将桥

MN平移到A4'处，且M与A重合，则N与A重合，由平移性质为AM二AW.由“两点之间，线段最短”的性质

知，要使AM+BN最短(即4N+BN最短)，只要点N在线段A3上即可.

解：(1)过点A作ACJL4于点C;

(2)在线段AC上截取A4'二桥长;

(3)连结A3交4于点N；

(4)过点N作MNX/)于点M.则MN即为所求的架设桥的地点.

点拨：平移现象在日常生活中随处可见，如传送带上的产兄、电梯中人的升降等，在筑路、修桥、装修

等活动当中经常利用平移知识来设计方案，在解决此类问题时，要把平移和实际问题结合起来，通过推理、计

算或画图来解决。此题还可以进行拓展，如果小镇A和B之间隔着两条互相平行的河4、/:,先要在每条河

之间将其一座桥，设在河乙上架起的桥为MN,在河，2上架起的桥为PQ(桥与河岸垂直)，那么桥应造在何处

才能使从A地到B地的路径最短.由原例题的分析解答我们容易想到把桥MN、PQ分别平移，如图6—3所示

找到路径AMNQPB为连接A、B两地的最短路径.

例7、已知：如图7—1,在梯形ABC。中，AS〃8,ZA+/6=90°,M、N分别是DC、AB的中点.求

NB

证：MN=-(AB-CD).

AENFB

图7-1图7—2

分析:如何将看似没有直接关系的三条线段MN、AB、CD放到一起来考虑呢？通过观

察发现，将线段DA平移到ME的位置，同时将线段CB平移到MF的位置(如图7-2所示)，

可以得到一个直角△MEF,线段EF的长度为线段AB和CD的差，而有条件可知MN是直

角4MEF斜边EF上的中线，故由直角三角形斜边中线等于斜边一半马上可以得到需要证明

的结论.

解：如图7-2,过M点分别作ME〃DA,MF/7CB

AZ1=ZA,Z2=ZB

•.・ZA+ZB=90°

.,.N1+N2=90°

.♦.NEMF=90°,4MEF为直角三角形

•・,在梯形A8CQ中，AB〃CD,又有ME〃DA,MF/7CB

，四边形AEMD和四边形BCMF都为平行四边形，

/.AE=DM,BF=CM,

•・M、N分别是OC、AB的中点.

・'•DM二CM,AN=BN

AAE=BF,AN—AE=BN—BF

即EN=FN,MN是直角AMEF斜边EF上的中线，

:.MN=-EF=-(AB-AE-BF)=-(AB-DM-CM)

222

：.MN=^(AB-CD)

点拨：本题通过作平行线将线段和角进行了平移，从而把分散的条件集中到一个直角三

角形中，便于问题的研究.

例8、如图8—1所示，已知RtZXABC中，NC=90°,BC=4,AC=4,现将AABC沿CB方句平

移到4A'B'C'的位置.

(1)若平移的距离为3,求4ABC与4A'B'C’重叠部分的面积;

(2)若平移的距离为x(0WxW4),AABC巧2A'B'C'重叠部分的面

积为y,写出面积y与平移距离x的关系式.

分析：观察图形可知，4ABC与AA'B'C'重叠部分是△BC'0,根

据平移的特征可知

△BCZ0是一个等腰直角三角形，BI就是直角边，所以求出BC'的长后

便可表示△BC'0的面积.

解：因为RtZkABC中,NC=90°,BC=4,AC=4,

图8」

所以NA=NABC=-(180r-90°)=45",

2

因为AA'B'C'是由AABC平移得到的，所以NA'C'B'=ZC=90°

又NABC二45°,所以BC'二C'0

(1)若平移的距离为3,则CC'=3.

BC'二C'0二BC—CC'=1,

所以重叠部分的面积为S△BC,0——X1X1=—,

22

(2)若平移的距离为x,则CC'二x,

BC'=C'0=BC—CC'=4—x,

所以重叠部分的面积为：

y二S△or。二一(4—x)2=—(16—8A+x2)=-x~—4x+8(0WxW4).

222

点拨：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相

等；图形的形状与大小不变.利用平移的特征能很快地确定平移后两图形重叠部分是个等腰直角三角形，从而

解决问题.

例9、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角

线四边形.请解答下列问题：

(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

(2)探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一

条对角线的大小关系，并证明你的结论.

分析：第(2)问中，要比较的三条线段不在同一个基本图形当中，不能直接得出结论，可以通过平移

变换将这三条线段转化到一个都三角形中，利用三角形的三边关系，得到这三条线段之间的关系.

解：(1)矩形、正方形、等腰三角形等；

(2)结论：当等对甭线四边形中两条对甭线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于

其中一条对角线的长.

已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,AC=BD,且NA0D二60°

求证：BC^AD>AC.

证明：过点D作DF/7AC,在DF上截取DE,

DE,

故NED0=60°,所以4BDE是等边三角形，

DE=BE,

四边形AGED是平行四边形，有CE=AD,DE=AC

所以DE二BE二AC.

①当BC与CE不在同一条直线上时(如图9

在ZkBDE中,有BC+AD>AC

②当BC与CE在同一条直线上时(如图9-2),

则BC+CE=BE

因此：BC+AD=AC

综合①、②，得：BC+AD>AC

即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于

或等于其中一条对角线的长.

点拨：在几何题的推理和计算中，经常通过平移线段，利用平行四边形或全等三角形等的性质去解决问

题.

例10、在平面直角坐标系中，施物线)，=ax?+Z?x+c的对称轴为x=2,且经过B(0,4),C(5,9),直线

BC与x轴交于点A.

(1)求出直线BC及抛物线的解析式。

(2)D(1,y)在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M、N,且MN=2，点M在点N的上方，使得

四边形BDNM的周长最小，若存在,求出M、N两点的坐标，若不存在，请说明理由。

(3)现将直线8c绕8点旋转与抛物线相交于另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线8c距离为3夜的

点P.

分析：题目的第二问要求四边形BDNM的最小周长时点M、N的坐标，根据题目条

件可知BD和MN的长度是固定的，要使得四边形BDNM的周长最小，其实就是使BM+DN的长度最短，如图可以

将MN平移到BBi的位竞(由于MN=2,点，则B点向下平移2个单位得到用)，四边形MNBB1为平行四边彩，BM二BN

根据两点之间线段最短可以考虑找点D关于对称轴的对称点DbBM+DN的距离最短就是BN+N6即线段BD

的长.

。解：(1)设BC直线解析式：y=kx+b

b=4\b=A

根据题意得；，,解得、

9=5k+b快=1

直线BC的解析式为：户工+土

♦.•抛物线的对称轴为x二2

设抛物线的解析式为)，=。*-2/+g

根据题意得

f4=«(0-2)2+rP=1

),斛母：1八

|9=a(5—2)2+r〃=()

抛物线的解析式为y=x2-4x+4

(2)..,若四边形BDNM的周长最短，求出BM+DN最短即可.

♦・•点D抛物线上，I.D(1,1)・・・D点关于直线x:2的对称点是2(3,1),如图107

VB(0,4).,•将B点向下平移2个单位得到(0,2)

・•・直线与£＞］交直线x=2于点N,

•・•直线的解析式为：y=--x+2

4

/.N(2,-)

VMN=2AM(2,—)

3

(3)将直线8c绕8点旋转与抛物线相交与另一点只设，到直线8c的距离为力,

故P点应在与直线8c平行，且相距3々的上下两条平行直线4和〃上.

由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线8C的距离也为3夜

如图10-2,设4与y轴交于£京,过E作EF1BC于尸点,

在Rt△昕中E/=〃=3及，NEBF=/ABO=45,

・•・BE=6.・•・可以求得直线4与y轴交点坐标为（0,10）

同理可求得直线4与V轴交点坐标为（0,-2）,

两直线解析式4:y=x+10;l2:y=x-2.

y=x2-4x+4

根据题意列出方程组：（1〃

y=x+10

y=x2-4x+4

⑵V

y=x-2

X1=6七二2

・•・解得：

j=16』二9/=°1>4=1

，满足条件的点P有四个，它们分别是[(6/6),6(一1,9),

勺(2,0),6(3,1).

点拨：在综合题中，经常可以运用平移变换将分散的线、角、图形集中起来，使已知条件集中在一个基本

图形当中，用于线段长度计算和大小关系比较、两点、之间线段最短以及对面积和周长的计算.

【佳题有约】

一、选择题：

2.在图形的平移中，下列说法中错误的是（）

A.图形上任意点移动的方向相同；B.图形上任意点移动的距离相同

C.图形上可能存在不动点；D.图形上任意对应点的连线长相等

3.如图（2）,aABC平移之后成为aDCE,下列说法中正确的是（）

A.点B的对应点是点EB.点C的对应点是点C

C.点C的对应点是点ED.点C没有移动位置

AD

BECFK

图⑶

4.如图(3),4ABC平移后得至“△DEF,已知NB=35°,NA=85°,则NDFK=()

A.60°B.135°C.120°D.85°

5.在5X5方格纸中将图（4-1）中的图形N平移后的位置如图（4—2）中所示，那么正确的平移方法是（）。

图(4-1)图（4-2）

A.先向下移动1格，再向左移动1格

B.先向下移动1格，再向左移动2格

C.先向下移动2格，再向左移动1格

D.先向下移动2格，再向左移动2格

6.如图（5）,0是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是（口）

A.ACODB.AOABC.AOAFD.AOEF

7、如图（6）,沿直角边BC所在的直线向右平移得到△。曰"下列结论中错误的是（）

A.4ABCW4DEFB.NDEF=9。C.AC=DFD.EC=CF

8、如图（7）,等腰梯形ABCD中，AD〃BC,若将腰AB沿ATD的方向平移到DE的位置，则图中与NC相等的角

（不包括NC）有（）

图（5）

是一块矩形ABCD的场

1m,两小路汇合处路宽

为2m,其余部分种植草坪，则草坪面积为

10、AB是圆。的直径，其长为6,它的三等分点分别为C与D,在AB的两侧以AC、AD、CB、DB为直径分别画

圆，如图（9）所示。这四个半圆将原来的圆分成三部分，其中阴影部分面积为.

11、在如图（10）所示的单位正方形网格中，将△松，向右平移3个单位后得到△45C'（其中AB.C的

对应点分别为4,B\CO,则3％的度数是.

12、如图（11）,在梯形48切中，AD//BC,对角线4?_L8Z?,且4村2,8a9,8,梯形的面积。二

图（8）

图（9）

图（10）

图⑴）

三、作图题

13、.如图（12）,试将aABC沿MN的方向平移，平移的距离是3cm,画出平移后的ADEF.

C

图（12）

14.如图(13),在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,

(1)画出AAOB平移后的AOEC,其平移方向为射线AD的方向,

平移的距离为线段AD的长.

(2)四边形D0CE是怎样的四边形，为什么？

图(13)

四、解答题：

15、如图，图中的长方形的长和宽均分别为a,b

将图(147)中线段AA向右平移两个单位到BE?,得到封闭图形AABB,将图(14-2)中折线AAA?向右边平

移两个单位到BBBz,得到封闭图形AAA2B2B3B1.

“

图(14-1)

(1)请你在图(14-3)中类似的画一条有两个折点的折线，同样向右平移两个单位从而得到一个封闭图形,

并用斜线划出阴影；

图(14—3)

(2)请你分别写出上述三个图形的除去阴影部分后剩余部分的面积；

(3)在一块长方形草地上有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位)，如图4,请你

猜想草地面积一共是多少？

图(14—4)

16、如图(15),已知△•(7:：1)4C的长等

(2)若将△加(；向右平移2个单位得到

对应点4的坐标是;

图(15)

(3)若将绕点C按顺时针方向旋转90°后得到A48G,则4点对应点4的坐标是

17、在平面直角坐标系中，已知△04B,4(0,-3),5(-2,0).

18。如图(17—1),在6x6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，。变换，R变换.招■图形/沿x轴向右

平移1格得图形G，称为作1次P变换；将图形厂沿)，轴翻折得图形用，称为作1次Q变换；将图形尸绕坐

标原点顺时针旋转90得图形鸟，称为作1次R变换.规定：PQ变换表示先作1次。变挨，再作1次P变

换；QP变换表示先作1次P变换，再依1次Q变换；R”变换表示作〃次R变换.

解答下列问题：

(1)作R"变换相当于至少作次。变换；

(2)请在图(17-2)中画出图形尸作R2°°7变换后得到的图形三；

(3)PQ变换与QP变换是否是相同的变换？请在图(17-3)中画出PQ变换后得到的图形片，在图(17—4)

中画出。尸变换后得到的图形耳.

图(17-1)图(17-2)图(17-4)

19、如图(18),将矩形A8CO沿对角线AC剪开，再把△AC。沿C4方向平移得到△AC。'.

(1)证明△44。g/XCC'B;

(2)若NAC8=30°,试问当点C在线段AC上的什么位置时，四边形ABC。是菱形，并请说明理由.

图（18）

20、已如：如图（19）,等腰梯形ABCD中，AB=CD,AD/7DC,对角戊AC_LBD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积.

21、如图六边形ABCDEF中，AB//DE,BC//EF,CD//AF,对边之差BC—EF=ED-AB=AF—CD>0,求证：该六边形

的各角相等.

22、将矩形纸片ABCO分别沿两条不同的直线剪两刀，使剪得的三块纸片恰能拼成一个三角形（不能有重叠

和缝隙）。图（21-1）中提供了一种剪拼成等腰三角形的示意图.

图(21—1)图(21—2)

（I）请提供另一种剪拼成等腰三角形的方式，并在图2中画出示意图;

图(21—3)备用图

（2）以点B为原点，8C所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图21-3）,点。的坐标为（8,5）.若剪拼后

得到等腰三角形MNP,使点M、N在），轴上（M在N上方），点尸在边C。上（不与C、D重合）.设直线

的解析式为了=履+〃（AwO）,则出的值为,〃的取值范围是o

（不要求写解题过程