【浅析积分中值定理及应用2500字（论文）】

浅析积分中值定理及应用目录TOC\o"1-3"\h\u121721引言 195032积分中值定理及其推广 3323103积分中值定理的应用 5324623.1估计积分值 5215013.2求含定积分的极限 67653.3确定积分值符号 7143064总结 81624参考文献 9摘要：积分中值定理中有第一、第二中值定理，这两个定理在数学分析教材中都有详细的证明，但这两个定理的推广和应用还没有提到.在教学过程中，学生很难用这些知识来解决相关的数学问题，而且往往不知道如何入手。本文对积分中值定理进行了总结，充分体现了积分中值定理在学习和解题练习中的应用.关键词：积分；中值定理；问题研究Abstract：Therearethefirstandsecondmedianvaluetheoremsintheintegralmedianvaluetheorem.Thesetwotheoremshavebeenprovedindetailinmathematicalanalysistextbooks,butthepromotionandapplicationofthesetwotheoremshasnotbeenmentioned.Duringtheteachingprocess,studentsfinditdifficulttousethisknowledgetosolverelatedmathproblems,andoftendonotknowhowtostart.Thispapersummarizestheintegralmeanvaluetheorem,fullyembodiestheapplicationoftheintegralmeanvaluetheoreminlearningandproblem-solvingexercises..Key

words：Integral;MeanValueTheorem;ProblemStudy1引言积分中值定理包括第一、第二积分中值定理，它们在很多方面有着广泛的应用,是数学领域中的重大突破.然而，学生在运用积分中值定理，特别是第一中值定理解决实际问题时往往感到困难.出现这样现象，原因在于有少部分教材在介绍积分中值定理比较粗略简单，导致学生在运用积分中值定理解决数学题或者教学问题时出现许多常规性错误，错误的点在于，学生在运用积分第一中值定理时结论模糊，理解不深刻.针对这一问题，本文对积分中值定理从两个方面进行阐述.先分析讨论教材中的积分中值定理，使学生对积分中值定理有更加深刻的理解.然后从通过不同的例子说明它的广泛应用.目的在于运用积分第一中值定理解决现实中问题的重要作用，帮助学生清晰认识积分第一中值定理，从而提高学生在解决问题时的效率，并且对于积分第一中值定理的拓展有积极的意义.2积分中值定理及其推广定理1（定积分中值定理)若在上连续,则在上至少有个点，使下式成立REF_Ref2753\r\h[1]。证明:题中f(x)在[a,ｂ］上不断,有ｆ（x)在[a,b]上有相比于区间上其它值是最大的M还有相比较于区间其它值是最小的m，即,对它积分我们可以有以下的一个公式有积分性质可知由,对上式同除有上式存在于的最值之间由介值定理我们可以推理出，在上肯定有一个点,使在处的值与这个数相同,有成立,将这个式子同乘有原题得证.备注1很明显,下式或都可行.定理2(积分中值定理的推广)如果在上不断,在上同号，且在能积分,则上最少有一点,从而成立REF_Ref2753\r\h[1].定理3(积分第二中值定理)设在上可积.若函数在上减，且，则存在，使得，若函数在上增，且，则存在，使得.推论设函数在上可积.若g为单调函数，则存在，使得3积分中值定理的应用3.1估计积分值例1应用中值定理估计积分的值REF_Ref31133\r\h[13].解由于上连续，据中值定理知，存在使得从而即例2估计的值REF_Ref28521\r\h[5].解由推广的积分第一中值定理,得其中因为所以即故3.2求含定积分的极限例3求极限解：由积分中值定理推论有则3.3积分值符号的判定REF_Ref31271\r\h[4]例4确定的符号.解利用推广的积分中值定理可知综上所述的符号为正号.例5如果有界，有在，得单调且当时趋向于零，得到积分收敛REF_Ref16678\r\h[8].证明因为，所以对任意的，存在，当时，，。又因，所以，同样我们有.由第二积分中值定理，只要，就有所以积分收敛，命题得证.例6设在上连续，求.解对任意正整数,据积分第一中值定理REF_Ref19522\r\h[6]，有REF_Ref2753\r\h[1]及，使得.因在上有界，而有界量与无穷小量的乘积仍为无穷小量，有REF_Ref20071\r\h[7].又因故有，所以，根据在出的连续性，有因此例7（阿贝尔判别法）存在在上可积，单调有界，有收敛.证明由假设条件，利用第二积分中值定理，在任意区间上（其中），存在,使得.由在积分，有收敛，所以，存在，当时，成立.又因为，因此当时，有,据柯西收敛原理可推出收敛.例8（狄里克莱判别法）假如有界，即存在，使得单调且当时趋于零，有收敛.证明因为，所以对任意，存在,当时，.又因，所以，同样我们有由第二积分中值定理，只要，就有所以收敛，命题得证.例9若在上连续，且，则最少有两点，使.又如果，此时在上是否最少有三个零点.证明若对，皆有，则由连续函数根的存在性定理得，在内始终为正或始终为负，所以据积分不等式性质可以得到或这和相反，所以最少有一点，从而.假定在内仅一零点，则且在与上不变号，故有到此可知在两边异号，又函数在两边也异号，因此，两边同号，即在内除外恒正或恒负，从而由的连续性有但.矛盾，从而内最少存在两点，使得若，则在内最少有三个零点.假定在内只两点，使得，则，即，且在每个区间内不变号，所以由推广的积分第一中值定理，结合上式，有即，其中，因为，可知，在区间内符号分别为正、负、正，考虑函数.由于在内的符号分别为正、负、正，故在每个区间内恒正.又是连续函数，所以但相反，可见在上最少有点三个，使得.5总结迄今为止，积分中值定理从一元积分到多元积分、从线到面、从曲线到平面、从课本上的知识到现实中的问题，积分中值定理经历了由繁到简由浅到深的蜕变能更方便快捷解决问题.对于积分中值定理，许多文献或者杂志用积分中值定理处理问题会异常的简单,导致学生在运用积分第一中值定理解决数学题或者教学问题时难以解决，问题的关键是，学生在对积分第一中值定理的相关结论模糊，理解不深刻.本文讨论了积分中值定理，对此作了分析归纳总结证明，以及积分中值定理的应用，使读者在阅读时有一定的整体性．研究积分中值定理不仅充裕了调和积分中值定理的证明方法，并且也为积分中值定理推广的讨论提供了更广阔的空间.参考文献陈纪修.於崇华.金路.数学分析(第二版上册）[M].北京；高等教育出版社.2004.294-310.华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.217-219.

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