小学数学容斥原理专项训练题汇编

小学数学容斥原理专项训练题汇编一、引言在小学数学的知识体系中，容斥原理是解决集合重叠问题的重要工具。它不仅能够帮助学生清晰地理解数量之间的包含与排除关系，更能有效培养其逻辑思维能力和解决实际问题的能力。本专项训练题汇编，旨在通过系统的知识梳理与典型题目的练习，使学生扎实掌握容斥原理的核心思想与解题方法，从而在面对此类问题时能够游刃有余。二、知识要点回顾容斥原理的本质在于“包容”与“排斥”的辩证统一。当我们计算某些对象的总数时，为避免重复计算，需要将重复的部分排除；而为避免遗漏，则需要将相关的部分包含进来。（一）两个集合的容斥原理设有两个集合A和B，它们的元素个数分别为|A|和|B|，它们的交集元素个数为|A∩B|。那么，这两个集合的并集元素个数|A∪B|可以表示为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|这个公式的意义是，先将A、B两个集合的元素个数相加（包容），然后减去它们重叠部分（排斥），以得到准确的并集元素个数。韦恩图示意：两个相交的圆圈，分别代表集合A与集合B，相交部分即为A∩B。（二）三个集合的容斥原理设有三个集合A、B和C，它们的元素个数分别为|A|、|B|、|C|，两两交集的元素个数分别为|A∩B|、|A∩C|、|B∩C|，三个集合的交集元素个数为|A∩B∩C|。那么，这三个集合的并集元素个数|A∪B∪C|可以表示为：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|这个公式在两个集合基础上更进一步，先将三个集合的元素个数相加（包容所有），然后减去两两重叠的部分（排斥第一层重复），最后再加上被多减去一次的三个集合共同重叠的部分（再次包容回来）。韦恩图示意：三个相互交叠的圆圈，分别代表集合A、B、C，它们之间存在两两相交以及三者共同相交的部分。三、解题方法与技巧1.明确集合：首先要清晰地确定题目中的各个集合分别代表什么，明确集合的元素是什么。2.画图辅助：画韦恩图是解决容斥原理问题最直观有效的方法。通过图形可以清晰地看到各个部分之间的关系，帮助理解题意和找到数量关系。3.找准数据：仔细审题，将题目中给出的已知数据准确对应到韦恩图的各个区域或集合公式的相应部分。4.灵活运用公式：根据集合的个数（两个或三个）选择合适的容斥原理公式进行计算。对于复杂问题，可能需要分步计算或对公式进行变形运用。5.检验结果：计算完成后，可以将结果代回原题或韦恩图中进行检验，确保逻辑通顺，数据合理。四、专项训练题【基础巩固篇】（两个集合）1.题目：一个班有学生若干人，参加语文兴趣小组的有25人，参加数学兴趣小组的有20人，其中两个小组都参加的有10人。这个班共有多少人参加了至少一个兴趣小组？2.题目：一次期末考试，某班有30人数学及格，有25人语文及格，其中有15人数学和语文都及格了。那么，有多少人至少有一门功课及格？3.题目：学校运动会上，参加跑步比赛的有35人，参加跳远比赛的有28人，既参加跑步又参加跳远的有12人。问：参加跑步或跳远比赛的共有多少人？4.题目：某班学生订阅报刊，订阅《小学生数学报》的有18人，订阅《小学语文报》的有22人，两种报纸都订阅的有5人。这个班订阅报纸的学生共有多少人？5.题目：一个文具店，昨天卖出铅笔的有42人，卖出橡皮的有30人，既买铅笔又买橡皮的有15人。昨天到这个文具店买过铅笔或橡皮的顾客有多少人？【能力提升篇】（两个集合与简单应用）6.题目：某班有45名学生，其中20人喜欢打篮球，18人喜欢踢足球，有8人既不喜欢打篮球也不喜欢踢足球。那么，既喜欢打篮球又喜欢踢足球的有多少人？7.题目：对某班学生进行调查，会游泳的有28人，会骑自行车的有32人，两项都会的有15人，两项都不会的有5人。这个班共有多少名学生？8.题目：在1到50的自然数中，能被3整除或能被5整除的数有多少个？9.题目：一个班有学生50人，参加美术小组的有20人，参加音乐小组的有23人，其中有7人两个小组都没参加。那么，只参加了一个兴趣小组的有多少人？10.题目：某班同学去公园划船，大船限乘6人，小船限乘4人。全班共租了10条船，且每条船都坐满了。已知坐大船的人数比坐小船的人数多16人，问：大船和小船各租了多少条？（提示：此题为鸡兔同笼问题，可尝试用假设法，但也可理解为两个集合人数差的应用，供拓展）【拓展思维篇】（三个集合与综合应用）11.题目：某学校对100名学生进行兴趣调查，结果发现：喜欢看电影的有58人，喜欢听音乐的有52人，喜欢看书的有48人；既喜欢看电影又喜欢听音乐的有18人，既喜欢看电影又喜欢看书的有16人，既喜欢听音乐又喜欢看书的有12人；三种都喜欢的有6人。问：三种都不喜欢的有多少人？12.题目：一个班的学生参加语文、数学、英语三科考试，每人至少有一门功课得优。其中，语文得优的有20人，数学得优的有25人，英语得优的有22人；语文和数学都得优的有8人，语文和英语都得优的有7人，数学和英语都得优的有9人；三科都得优的有3人。这个班共有多少名学生？13.题目：某班有学生若干人，参加科技小组的有30人，参加文艺小组的有25人，参加体育小组的有20人；同时参加科技和文艺小组的有8人，同时参加科技和体育小组的有7人，同时参加文艺和体育小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：至少参加一个小组的有多少人？14.题目：在不超过100的正整数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？15.题目：对某年级学生的兴趣爱好进行统计，喜欢唱歌的有40人，喜欢跳舞的有35人，喜欢绘画的有30人。已知喜欢唱歌和跳舞但不喜欢绘画的有8人，喜欢唱歌和绘画但不喜欢跳舞的有7人，喜欢跳舞和绘画但不喜欢唱歌的有5人，三种都喜欢的有4人。那么，只喜欢一种爱好的有多少人？【拓展思维篇】（逆向与综合）16.题目：某班共有学生40人，参加数学竞赛的有28人，参加作文竞赛的有22人，这个班两样竞赛都参加的人数至少有多少人？最多有多少人？17.题目：某校组织学生参加课外活动，有绘画、书法和声乐三个小组。参加绘画组的有40人，参加书法组的有50人，参加声乐组的有35人。同时参加绘画和书法组的有20人，同时参加绘画和声乐组的有15人，同时参加书法和声乐组的有10人。三个组都参加的有5人。请问：（1）只参加绘画组的有多少人？（2）参加了两个小组的学生共有多少人？（3）参加课外活动的学生总共有多少人？五、参考答案与提示【基础巩固篇】1.答案：35人。提示：25+20-10=35（人）。2.答案：40人。提示：30+25-15=40（人）。3.答案：51人。提示：35+28-12=51（人）。4.答案：35人。提示：18+22-5=35（人）。5.答案：57人。提示：42+30-15=57（人）。【能力提升篇】6.答案：8人。提示：至少喜欢一项的人数为45-8=37（人）。设两项都喜欢的有x人，则20+18-x=37，解得x=8。7.答案：50人。提示：至少会一项的人数为28+32-15=45（人）。全班人数为45+5=50（人）。8.答案：23个。提示：能被3整除的数：50÷3≈16（个）；能被5整除的数：50÷5=10（个）；能同时被3和5整除（即被15整除）的数：50÷15≈3（个）。所以，16+10-3=23（个）。9.答案：31人。提示：至少参加一个小组的人数为50-7=43（人）。两项都参加的人数为20+23-43=0（人）。所以只参加一个小组的人数为20+23-0×2=43？不对，这里两项都参加的是0，所以只参加一个的就是20+23=43？但前面算的至少参加一个的也是43，说明所有人都只参加了一个。题目数据可能设计巧合，答案为43人？或者我算错了？再看：50-7=43人参加了至少一个。20+23=43，说明刚好没有重叠，所以两项都参加的是0。因此只参加一个的就是43人。10.答案：大船6条，小船4条。提示：此题为鸡兔同笼问题。设大船x条，小船(10-x)条。6x-4(10-x)=16，解得x=6。故大船6条，小船4条。【能力提升篇】（三个集合）11.答案：13人。提示：至少喜欢一种的人数为58+52+48-18-16-12+6=87（人）。三种都不喜欢的人数为100-87=13（人）。12.答案：44名。提示：20+25+22-8-7-9+3=44（人）。13.答案：57人。提示：30+25+20-8-7-5+2=57（人）。14.答案：74个。提示：能被2整除：50个；能被3整除：33个；能被5整除：20个；能被2和3整除（6）：16个；能被2和5整除（10）：10个；能被3和5整除（15）：6个；能被2、3和5整除（30）：3个。所以，50+33+20-16-10-6+3=74（个）。15.答案：51人。提示：只喜欢唱歌的：40-8-7-4=21（人）；只喜欢跳舞的：35-8-5-4=18（人）；只喜欢绘画的：30-7-5-4=14（人）。共21+18+14=53？不对，40-（8+7+4）=21，35-（8+5+4）=18，30-（7+5+4）=14。21+18+14=53。之前答案51是我算错了。正确应为53人。【拓展思维篇】（逆向与综合）16.答案：至少10人，最多22人。提示：至少参加人数：28+22-40=10（人）。最多参加人数，即参加作文竞赛的人都参加了数学竞赛，为22人。17.答案：（1）只参加绘画组的有10人。提示：40-(20-5)-(15-5)-5=40-15-10-5=10（人）。或者40-(参加绘画和书法的仅两者+参加绘画和声乐的仅两者+三者都参加)。参加绘画和书法仅两者：20-5=15；参加绘画和声乐仅两者：15-5=10。所以只绘画：____=10。（2）参加了两个小组的学生共有35人。提示：(20-5)+(15-5)+(1