高等数学（下册第2版）课件 第九章 微分方程

第二节一阶微分方程第三节可降阶的二阶微分方程第四节线性微分方程第五节微分方程的经济应用目录/Contents第九章微分方程第一节微分方程的基本概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、微分方程的基本概念目录/Contents第一节微分方程的基本概念一、引例一、引例【例1】假设某人以本金进行一项投资,投资的年利率为,按连续复利计息,求年末的本利和.解设年末的本利和为,则年末资金总额的变化率等于资金总额获取的利息,所以年末的本利和,这与第一章第五节中例6的结果一致.由,得,即,解得,其中为任意常数,【例2】一质量为的物体仅受重力的作用而下落,如果其初始位置和初始速度为0,试确定物体下落的距离与时间的函数关系.解设时刻物体下落的距离为,则由牛顿第二定律知,得,再积分一次,一、引例得,其中,为任意常数.上式两边积分,

将代入式,将,代入式,所以物体下落的距离与时间的函数关系为,

这就是我们所熟悉的物理学中的自由落体运动公式.一、引例得,得,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第一节微分方程的基本概念一、引例二、微分方程的基本概念定义9.1含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程.这里讲的未知函数是一元函数,这种定义9.2微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为如上面例子中的是一阶微分方程,是二阶微分方程.微分方程称为常微分方程,简称为微分方程.微分方程的阶.二、微分方程的基本概念而方程,分别是三阶和四阶微分方程.一般地,阶常微分方程具有如下形式：或二、微分方程的基本概念则称之为线性微分方程；否则称为非线性微分方程.定义9.3如果阶微分方程是及的一次方程,阶线性微分方程的一般形式为其中,是已知函数,

称为微分方程的系数.二、微分方程的基本概念当为函数时,当为常数时,一阶线性微分方程的一般形式为,

例如二阶线性微分方程的一般形式为例如二、微分方程的基本概念上面方程称为变系数的微分方程；上面方程称为常系数的微分方程.和为一阶线性微分方程.

,和是二阶线性微分方程.定义9.4满足微分方程的函数称为微分方程的解.例如,

都是二阶微分方程的解.定义9.5如果微分方程的解中所含独立任意常数的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解.例如是一阶微分方程的通解；是二阶微分方程的通解.二、微分方程的基本概念都是一阶微分方程的解；,而定义9.6用来确定微分方程通解中任意常数的条件称为定解条件（或初始条件）.定义9.7通解中的任意常数由初始条件确定的解称为微分方程的特解.例如满足初始条件的特解；而是二阶微分方程满足初始条件二、微分方程的基本概念是一阶微分方程,的特解.定义9.8求微分方程满足初始条件的问题,称为初值问题.如初值问题与定义9.9微分方程通解的图形称积分曲线族,微分方程特解的图形称积分曲线.二、微分方程的基本概念【例3】验证函数,

,

,(其中为任意常数)是否为微分方程的解？是通解还是特解？二、微分方程的基本概念故为微分方程的特解.解将,,代入方程,得左边右边,这是一个恒等式,且函数中不含任意常数,这是一个恒等式,且函数中含任意常数的个数（1个）等于将,

,左边右边,为微分方程的通解.二、微分方程的基本概念方程的阶数（1阶）,代入方程,得故左边右边,二、微分方程的基本概念将,,代入方程,得所以不是微分方程的解.【例4】求函数（其中为任意常数）满足的二阶微分方程.解由于,

从三式中消去,得二阶微分方程为.而,二、微分方程的基本概念1.含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程.这里讲的未知函数是一元函数,这种微分方程称为常微分方程,简称为微分方程.2.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.一般地,阶常微分方程具有如下形式：或内容小结则称之为线性微分方程；3.如果阶微分方程是及的一次方程,一般的阶线性微分方程具有形式：其中,是已知函数,

称为微分方程的系数,当为函数时,当为常数时,内容小结否则称为非线性微分方程.上面方程称为变系数的微分方程；上面方程称为常系数的微分方程；4.满足微分方程的函数称为微分方程的解.5.如果微分方程的解中所含独立任意常数的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解.6.用来确定微分方程通解中任意常数的条件称为定解条件（或初始条件）.7.满足初始条件的解称为微分方程的特解.8.求微分方程满足初始条件的问题,称为初值问题.9.微分方程通解的图形称积分曲线族,微分方程特解的图形称积分曲线.

内容小结e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编（下册）（第2版）第二节一阶微分方程第三节可降阶的二阶微分方程第四节线性微分方程第五节微分方程的经济应用目录/Contents第九章微分方程第一节微分方程的基本概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、齐次微分方程目录/Contents第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程一、可分离变量的微分方程定义9.10形如的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程,

其中与为连续函数.对,

两边不定积分,

设,

分别是,

的一个原函数.,得

那么微分方程这种将微分方程中的变量分离开来,然后求解的方法称为分离变量法.其中为任意常数.一、可分离变量的微分方程的通解为,解分离变量,两边不定积分故通解为,一、可分离变量的微分方程得,得,

,其中为任意常数.其中为任意常数,令,【例1】求微分方程的通解.解分离变量,两边不定积分得通解,或,一、可分离变量的微分方程其中为任意常数.,得,【例2】求微分方程的通解.解分离变量,两边不定积分注意

得,故通解,一、可分离变量的微分方程得,

,其中为任意正常数.这里把积分常数写成是为了便于化简.【例3】求微分方程的通解.一、可分离变量的微分方程解当时,分离变量,得,两边不定积分,即得通解,从而,即,因此也是任意常数

,把它记作,即.由于的任意性,【例4】求微分方程的通解.其中为任意常数.一、可分离变量的微分方程当时,微分方程成立,即也是微分方程的解,而这个解恰好对应的情形,于是便得微分方程的通解为,一、可分离变量的微分方程解分离变量,得,两边不定积分,得,其中C为任意常数,即得通解.将初值条件代入通解,得C=2,因此,初值问题的解（满足初始条件的特解）为.【例5】解初值问题目录/Contentse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、齐次微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程二、齐次微分方程定义9.11形如的微分方程称为齐次微分方程,简称齐次方程.通过变量代换,可将齐次方程化为可分离变量的微分方程进行求解,即令,由,可得,将其代入微分方程,得,分离变量,得.二、齐次微分方程两边不定积分,得,设为的一个原函数,则得通解,其中为任意常数,将代入上式,即得到齐次方程的通解.二、齐次微分方程两边不定积分,解令,则,于是原方程变为,即,分离变量,得,得.【例6】求微分方程的通解.二、齐次微分方程即,将代入上式,即得原方程的通解为,或,其中为任意常数.二、齐次微分方程解该微分方程可化为,因此是齐次微分方程.令,则,于是原方程变为,分离变量,得,两边不定积分,得,即,将代入上式,得原方程的通解为,其中C为任意常数.【例7】求微分方程的通解.二、齐次微分方程分离变量,得,两边不定积分,解该微分方程可化为,因此是齐次微分方程,令,则,于是原方程变为,即,【例8】求微分方程满足的解.二、齐次微分方程得,即,将代入上式,即得原方程的通解为,将代入通解,得,所以方程满足的特解,所以.目录/Contentse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、齐次微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程当时,称为一阶齐次线性微分方程.当时,称为一阶非齐次线性微分方程.形如的微分方程称为一阶线性微分方程,定义9.12三、一阶线性微分方程其中和为已知的连续函数.方程,

称为对应于非齐次线性微分方程的齐次线性微分方程.三、一阶线性微分方程得,

上式两边不定积分即通解为三、一阶线性微分方程方程是可分离变量的微分方程,分离变量,得,,下面先讨论一阶齐次线性微分方程的通解.表示的一个原函数.三、一阶线性微分方程其中为任意常数（因为也是微分方程的解,所以可为0）,这就是一阶齐次线性微分方程的通解公式,三、一阶线性微分方程将对应的齐次线性微分方程的通解下面我们用常数变易法来求一阶非齐次线性微分方程的通解.中的常数换为待定的函数,设一阶非齐次线性方程具有如下形式的解.三、一阶线性微分方程求导得,上式两边不定积分,得,其中为任意常数.将上述两式代入方程,并整理得三、一阶线性微分方程上面通解可写成所以,一阶非齐次线性微分方程的通解为上式右端第一项是对应齐次线性微分方程的通解,三、一阶线性微分方程第二项是非齐次线性微分方程的一个特解.由此可见,一阶非齐次线性微分方程的通解,等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解之和.解这是一阶非齐次线性微分方程,由通解公式得故原方程的通解为三、一阶线性微分方程其中,

,

,其中C为任意常数.,【例9】求微分方程的通解.由通解公式得三、一阶线性微分方程解这是一阶非齐次线性微分方程,其中,,由初始条件代入通解,得,于是此方程满足初始条件的特解为.【例10】求微分方程满足初始条件的特解.三、一阶线性微分方程其中,它是关于的一阶线性微分方程.解若将看作是的函数,则此方程不是线性微分方程,但若将看作是的函数,方程改写成,【例11】求微分方程的通解.故原方程的通解为,由通解公式得三、一阶线性微分方程其中C为任意常数.转化

1.可分离变量方程

,

或,解分离变量方程

.

内容小结可分离变量方程的解法:C

为任意常数.因此,方程除了通解之外,还可能有一些常数解．若存在y0使g(y0)=0,则y=y0也是方程的一个解,将方程分离变量得,

两端分别积分,得得通解,其中G(y)和F(x)分别是和的一个原函数,内容小结2.齐次方程形如的一阶微分方程叫做齐次方程.代入原方程得,分离变量

两边积分,得,

积分后再用代替u,便得原方程的通解.则,令解法:内容小结使得,

若存在,

则也是方程的解,

代入原方程,也是齐次方程的解.可知内容小结3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:通解为.若,

称为齐次方程

,若,

称为非齐次方程

,内容小结e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编（下册）（第2版）第二节一阶微分方程第三节可降阶的二阶微分方程第四节线性微分方程第五节微分方程的经济应用目录/Contents第九章微分方程第一节微分方程的基本概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、型微分方程目录/Contents第三节可降阶的二阶微分方程一、型微分方程三、型微分方程一、

型微分方程这种方程的通解可以经过两次积分得到.上式两边再不定积分,

方程两边不定积分,其中为任意常数.具体做法如下：得得通解形如的微分方程,特点是它的右边是仅含有自变量的函数,【例1】求微分方程的通解.上式两边再不定积分,其中为任意常数.一、型微分方程解方程两边不定积分,得得通解【例2】求的经过(0,1)点,且在此点与直线相切的积分曲线.一、型微分方程解该几何问题可归结为如下的微分方程如下的微分方程初值问题方程两边不定积分,得,由条件故,上式两边再不定积分,得,又由条件,得,故所求曲线为.得,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、型微分方程目录/Contents第三节可降阶的二阶微分方程一、型微分方程三、型微分方程二、型微分方程形如的微分方程.特点是它的右边不显含未知函数.可先求出,再求出.具体做法如下：设,则,代入原方程,得,二、型微分方程如果我们求得它的通解为,将代入上式,又得到一个一阶微分方程,上式两边不定积分,得原微分方程的通解为.关于的一阶微分方程,这是一个其中为任意常数.【例3】求微分方程

的通解.二、型微分方程解方程不显含,令,则,代入原方程,得,这是一个关于的一阶线性非齐次微分方程,由通解公式得上式两边再不定积分,得原方程的通解为,其中为任意常数.【例4】求解初值问题二、型微分方程解方程不显含,令,则,代入方程得,这是一个可分离变量的微分方程.分离变量,得,二、型微分方程又由条件,得,故所求特解为.由条件,得,故.上式两边再不定积分,得,得,即,上式两边不定积分,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、型微分方程目录/Contents第三节可降阶的二阶微分方程一、型微分方程三、型微分方程可先求出,三、型微分方程再求出.具体做法如下：.的微分方程.特点是它的右边不显含自变量形如三、型微分方程又得到一个可分离变量的一阶微分方程,对它分离变量并不定积分,得原微分方程的通解为,设,则,代入原方程,得,这是一个关于的一阶微分方程,如果我们求得它的通解为,将代入上式,其中为任意常数.【例5】求微分方程的通解.三、型微分方程解方程不显含,令,则,代入原方程,得,其中是方程的特解,即,即,得,三、型微分方程当时,有,上式两边不定积分,分离变量,得,上式分离变量并不定积分,三、型微分方程得原微分方程的通解为,即,注意：当时,解包含了解,所以方程的全部解为,.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编（下册）（第2版）第二节一阶微分方程第三节可降阶的二阶微分方程第四节线性微分方程第五节微分方程的经济应用目录/Contents第九章微分方程第一节微分方程概述e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二阶常系数线性微分方程目录/Contents第四节线性微分方程一、线性微分方程解的结构三、高阶常系数线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为（9-1）其中为已知的连续函数,（9-2）一、线性微分方程解的结构它所对应的齐次线性方程为定理9.1如果,是方程（9-2）的两个解,则,的线性组合也是方程（9-2）的解,其中为任意常数.一、线性微分方程解的结构证明将代入左端,得因为与是方程（9-2）的解,所以即也是方程（9-2）的解.,一、线性微分方程解的结构

,因此定义9.13对于两个任意函数,

,若为常数,则称函数,

线性相关,否则称为线性无关.定理9.2如果函数,是方程（9-2）的两个线性无关特解,则是方程（9-2）的通解,其中为任意常数.一、线性微分方程解的结构【例1】验证是二阶齐次线性方程的通解.一、线性微分方程解的结构解容易验证,是的两个特解,又常数,即它们是线性无关的.因此是二阶齐次线性方程的通解.【例2】验证是二阶齐次线性方程的通解.解容易验证,是的两个线性无关的特解,又常数,

因此,的通解.是二阶齐次线性方程一、线性微分方程解的结构即它们是线性无关的,定理9.3设是二阶非齐次线性微分方程（9-1）的一个特解,是其对应的齐次线性微分方程（9-2）的通解,则是非齐次线性微分方程（9-1）的通解.所以；一、线性微分方程解的结构证明把代入方程（9-1）左端,得由于是齐次线性微分方程（9-2）的通解,而是非齐次线性微分方程（9-1）的一个特解,所以.因此,函数即解一、线性微分方程解的结构使得非齐次线性微分方程（9-1）两端恒等,是非齐次线性微分方程（9-1）的通解.【例3】验证是二阶非齐次线性方程的通解.解由例1知,因此,的通解.是二阶齐次线性方程一、线性微分方程解的结构是对应齐次方程的通解,容易验证,的一个特解,是定理9.4设非齐次线性微分方程右端是几个函数之和,如而与分别是方程,那么就是方程的特解.的特解,与一、线性微分方程解的结构目录/Contentse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二阶常系数线性微分方程第四节二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程解的结构三、高阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式为（9-3）其中是实常数,是已知函数.对应于（9-3）的二阶常系数齐次线性微分方程为（9-4）二、二阶常系数线性微分方程下面对微分方程（9-3）（9-4）的解法分别进行讨论.这样就是齐次线性微分方程（9-4）的通解.由于微分方程（9-4）的左端是,与的线性和,归结为求它的两个线性无关的特解,,由定理9.2可知,二、二阶常系数线性微分方程要求齐次线性微分方程（9-4）的通解,且系数为常数,因为

,

所以,

（9-5）二、二阶常系数线性微分方程而当为常数时,指数函数和它的各阶导数都只差一个常数因子,因此,设齐次线性微分方程（9-4）的解为,将它代入（9-4）得,二、二阶常系数线性微分方程由此可见,只要满足代数方程（9-5）,函数就是微分方程（9-4）的解.我们把代数方程（9-5）称为二阶常系数齐次线性微分方程（9-4）的特征方程,把特征方程（9-5）的根称为特征根.二、二阶常系数线性微分方程特征方程（9-5）是一个二次代数方程,其中、的系数及常数项,恰好依次是微分方程（9-4）中、及的系数,它们有三种不同的情形,分别对应微分方程（9-4）的通解的三种不同情况：特征方程（9-5）的两个根可以用公式求出,（1）相异实根当时,这时得到微分方程（9-4）的两个特解且

不为常数,所以微分方程（9-4）的通解为,二、二阶常系数线性微分方程有两个不相等的实根,,,其中为任意常数.当时,这时,得到微分方程（9-4）的一个特解为了得出微分方程（9-4）的通解,并且要求与线性无关.二、二阶常系数线性微分方程（2）相同实根有两个不相等的实根我们还需求出另一个特解,设,将代入微分方程（9-4）并消去,由于是特征方程（9-5）的二重根,因此,且故得.

二、二阶常系数线性微分方程即.下面来求,同时合并同类项,得由此为线性函数,其中为任意常数.这样得到微分方程（9-4）的另一个特解

且不是常数所以微分方程（9-4）的通解为二、二阶常系数线性微分方程所以不妨选取,当时,其中,二、二阶常系数线性微分方程（3）共轭复根有一对共轭复根为了得到实数形式的解，只需利用此类方程解的结构，这时

都是微分方程

的解，注意到，即这样的两个解都是复数形式的，二、二阶常系数线性微分方程将两个复数形式的解相加再除以2，就可以得到方程的一个解

，将两个复数形式的解相减再除以，可以得到方程的一个解显然这两个解是微分方程

的两个线性无关的特解.所以微分方程

的通解为其中为任意常数.综上所述,第一步写出微分方程的特征方程第二步求出特征方程的两个根与；二、二阶常系数线性微分方程求解二阶常系数齐次线性微分方程（9-4）的问题就归结为求其对应的特征方程（9-5）的特征值的问题.步骤如下：；第三步根据特征方程的两个根的不同情形,二、二阶常系数线性微分方程按照下表写出常系数齐次线性微分方程（9-4）的通解.特征方程的根,微分方程的通解两个不等的实根两个相等的实根一对共轭复根它有两个相异实根因此,原方程的通解为其中

为任意常数.二、二阶常系数线性微分方程所给微分方程的特征方程为解求方程的通解.【例4】它有两个相等实根因此,原方程的通解为

所以,原方程满足初始条件的特解为上式两边对求导,得二、二阶常系数线性微分方程所给微分方程的特征方程为

解由初始条件得,从而,由初始条件,得,求方程满足初始条件的特解.【例5】它有一对共轭复根因此,原方程的通解为其中为任意常数.二、二阶常系数线性微分方程所给微分方程的特征方程为解求方程的通解.【例6】由定理9.3可知,的通解,的求法.前面已经讲述了齐次微分方程（9-4）的通解之和,其一个特解二、二阶常系数线性微分方程求非齐次线性微分方程归结为求它的对应的齐次微分方程（9-4）的通解与,即下面我们不加证明地介绍对两种常见形式的,用待定系数法求非齐次线性微分方程的一个特解,（1）当时,其中

是常数,当时,是的次多项式,二、二阶常系数线性微分方程即方程为即此时.

因此,设其中

是某个多项式,并消去,得（9-6）同一类型的函数,将其代入方程,二、二阶常系数线性微分方程我们知道,与指数函数乘积的导数仍然是多项式函数①如果不是特征方程的根,由于是一个次多项式,

为一个次待定多项式,

则二、二阶常系数线性微分方程其中为次待定多项式.

即要使（9-6）的两端恒等,令,

把

代入原方程,从而可以定出这些,并得到所求的特解.比较等式两端同次幂的系数使其相等,作为未知数的

个方程的联立方程组,就得到含有二、二阶常系数线性微分方程

的单根,可知,

是次多项式,则

是

次多项式,用比较法来确定的系数,并得到所求的特解.,但要使（9-6）的两端恒等,即令,代入原方程,即,二、二阶常系数线性微分方程③

如果是特征方程的重根,要使（9-6）的两端恒等,即,

令代入原方程,并得到所求的特解.即中的系数,用比较法来确定可知,是次的多项式,则是次多项式,二、二阶常系数线性微分方程综上所述,我们有如下结论：对于二阶常系数非齐次线性微分程的特解,可设为,是与已知多项式其中同次次的待定多项式,按非特征根,特征单根,特征重根,分别取为.二、二阶常系数线性微分方程该微分方程所对应的齐次微分方程为,其特征方程为,是型（其中）,且函数二、二阶常系数线性微分方程求微分方程.【例7】

所给微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,解.有两个实根于是,原方程的一个特解为.由于这里为一次多项式,且不是特征根,故设原方程的特解为其中为待定系数,比较上式两端的同次幂的系数,得把它代入原方程,得,二、二阶常系数线性微分方程由此,求得,该微分方程对应的齐次微分方程为,其特征方程为,为型（其中）,且二、二阶常系数线性微分方程求微分方程.【例8】所给微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,解.有两个实根于是,所给微分方程对应的齐次微分方程的通解为故设原方程的特解其中为任意常数,由于这里为一次多项式,且是特征单根,其中为待定系数,即二、二阶常系数线性微分方程把它代入原方程,得比较上式两端

同次幂的系数,得于是,原方程的一个特解为,从而,原方程的通解为,由此,求得其中为任意常数.二、二阶常系数线性微分方程的特解.解该微分方程对应的齐次微分方程为,其特征方程为,有两个相等的实根.且呈,其中二、二阶常系数线性微分方程【例9】满足初始条件求微分方程所给微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,于是,所给微分方程对应的齐次微分方程的通解为,故设原方程的特解,其中为任意常数,由于,这里为一次多项式,且

是特征重根,其中

为待定系数,二、二阶常系数线性微分方程把它代入原方程,.比较上式两端

同次幂的系数,得于是,原方程的一个特解为,从而,原方程的通解为其中为任意常数.由此,求得二、二阶常系数线性微分方程对

求导,得将代入通解,得将代入上式,得所以,原方程满足初始条件的特解为二、二阶常系数线性微分方程对于二阶常系数非齐次线性微分程可设为的特解,（2）当其中是常数,时,分别是的

次、次多项式,其中有一个可为0,其中

是待定的次多项式,

,按或非特征根,特征根,分别取.有如下结论：二、二阶常系数线性微分方程解该微分方程对应的齐次微分方程为,型，且属于其中其特征方程为,二、二阶常系数线性微分方程【例10】的一个特解.求微分方程所给微分方程是二阶常系数非齐次线性方程,有一对共轭复根得,故设原方程的特解为,且不是特征值,所以为一次待定多项式,其中

为待定系数,由于,这里最高次多项式是一次多项式,

二、二阶常系数线性微分方程把它代入原方程,

于是,原方程的一个特解为.由此,求得,二、二阶常系数线性微分方程型.

（其中）,该微分方程对应的齐次微分方程为,其特征方程为,二、二阶常系数线性微分方程【例11】的特解形式.写出方程所给微分方程是二阶常系数非齐次线性方程,解有共轭复根,故设原方程的特解为其中为待定系数.由于,这里最高次多项式,是二次多项式,且是特征值,为二次待定多项式,所以二、二阶常系数线性微分方程的一个特解为,的一个特解为那么根据定理9.4,原方程解,可求得的一个特解为.二、二阶常系数线性微分方程求方程的一个特解.【例12】目录/Contentse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二阶常系数线性微分方程第四节二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程解的结构三、高阶常系数线性微分方程三、高阶常系数线性微分方程三、高阶常系数线性微分方程三、高阶常系数线性微分方程解都是复数形式的,

为了得到实数形式的解,

只需利用此类方程解的结构,

将两三、高阶常系数线性微分方程三、高阶常系数线性微分方程e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编（下册）（第2版）第二节一阶微分方程第三节可降阶的二阶微分方程第四节线性微分方程第五节微分方程的经济应用目录/Contents第九章微分方程第一节微分方程的基本概念第五节微分方程的经济应用在经济管理学中,经常要涉及到有关经济量的变化、增长、速率、边际等内容,根据动态平衡法,遵循“变化率＝输入率

—输出率”模式,可将描述经济量变化形式的,和之间建立关系式,建立瞬时变化率的表达式,

然后根据所给条件,

确定解曲线.因此,对“变化率”的假设与推导,是建立常微分方程模型的关键.下面我们以一些例子说明常微分方程模型建立的基本步骤,并介绍微分方程的数学模型在经济分析中的应用.（价格与需求量关系的模型）设某商品的需求量（千克）对价格（元）的弹性为,若该商品的最大需求量

为千克（即当时,）（1）求需求量与价格的函数关系；（2）求当价格（元）时,市场对该商品的需求量；（3）求当价格时,需求量的变化趋势.第五节微分方程的经济应用【例1】由,得,上式即为需求量与价格的函数关系.（2）当（元）时,（千克）.（3）当时,

,解这是可分离变量的微分方程,分离变量,得,两边不定积分,得通解为,（为任意常数）.第五节微分方程的经济应用（1）由题设条件,得,即