第二讲 一元二次方程及其应用-【满分之路】备战2026年中考数学一轮复习（解析版）

模块二方程（组）与不等式（组）第二讲一元二次方程及其应用知识梳理夯实基础知识点1：一元二次方程及其解法定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次是的，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式（又叫标准形式），其中叫做，是二次项的系数；叫做，是；叫。，，是任意实数，且。一元二次方程的解法解法适用情况方程的根直接开平方，，配方法（，）→公式法（，）因式分解法→，对于一元二次方程的四种解法，要结合方程中的具体数据进行选择，一般地，直接开平方法、因式分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。知识点2：一元二次方程根的判别式一元二次方程（）的判别式方程实数根方程实数根方程实数根易错点：因忽视一元二次方程二次项系数不为零的隐含条件，导致失分。如：已知关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围.知识点3：一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）若，是一元二次方程的两个实数根，那么，知识点4：一元二次方程的应用变化率问题设为原来的量,为平均增长率,为增长次数,为增长后的量,则；当为平均下降率,为下降后的量时,利率问题本息和=本金+利息利息=本金×利率×期数销售利润问题毛利润=销售总额-进货总额纯利润=销售总额-进货总额-其他费用利润率=利润÷成本×100%销售总额=售价×销量进货总额=进价×进货数量单循环问题若共有个队，每个队都与其他队比赛一场，则一共比赛场直击中考胜券在握1．（2021·临沂中考）方程的根是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项．【详解】解：∵，∴，∴，∴x+7=0，x-8=0，∴x1=-7，x2=8．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．2．（2021·丽水中考）用配方法解方程时，配方结果正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．【详解】解：，，，，故选：D．【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．3．（2021·聊城）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（）A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2【答案】B【分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；【详解】解：将x=-2代入原方程得到：，解关于k的一元二次方程得：k=0或4，故选：B．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．4．（2021·眉山中考）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（）A． B． C．2 D．5【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义，得，结合根与系数的关系，得+=3，进而即可求解．【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，∴，即：，+=3，∴=-2(+)=-1-2×3=-7．故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握（a≠0）的两根为，，则+=，=，是解题的关键．5．（2021·台州中考）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4【答案】D【分析】根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解．【详解】解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：m＜4，故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键．6．（2021·福建三元·九年级期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为（）A．x2＋（x＋6）2＝102 B．x2＋（x＋6）2＝12C．x2＋（x﹣6）2＝102 D．x2＋（x﹣6）2＝12【答案】A【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．【详解】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：x2+（x+6）2＝102，故选：A．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，正确应用勾股定理是解题关键．7．（2021·烟台中考）已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【分析】先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定△的正负，即可判断．【详解】解：由数轴可知，且，则，∵△=，，∴△＞0，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和数轴上表示数，解题关键是求出根的判别式，利用数轴提供的信息进行判断．8．（2020·江苏如皋·八年级期末）某省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业．据统计，该省目前5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．按照计划，设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均率为x，根据题意列方程，得（）A．6（1+x）2＝17.34 B．17.34（1+x）2＝6C．6（1﹣x）2＝17.34 D．17.34（1﹣x）2＝6【答案】A【分析】根据2020年底及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得：1.5×4（1+x）2＝17.34，即6（1+x）2＝17.34．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2020·龙东中考）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．【详解】解：由题可得：,解得：且；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．10．（2021·内蒙古·呼和浩特市敬业学校九年级期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600【答案】D【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．故选：D．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．11．（2021·湖北天门·九年级期中）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于()A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6【答案】B【分析】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．【详解】当m=4或n=4时，即x=4，∴方程为42﹣6×4+k+2=0，解得：k=6；当m=n时，﹣6+k+2=0∵，，，∴，解得：，综上所述，k的值等于6或7，故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．12．（2021·南充中考）已知方程的两根分别为，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解．【详解】∵方程的两根分别为，，∴，，∴，∴=====-1．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．13．（2021·上海中考）若一元二次方程无实数根，则c的取值范围为_________．【答案】【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围．【详解】解：关于x的一元二次方程无实数根，∵，，，∴，解得，∴的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．（2022·全国·九年级专题练习）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于______．【答案】6【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2+m=6即可．【详解】解：∵m为一元二次方程的一个根．∴m2+m-6=0，∴m2+m=6，故答案为6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（2022·全国·九年级专题练习）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．【答案】2【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．【详解】解：由根与系数的关系可得：，，∵，∴，∴，∴，∴;故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为，两根之积为．16．（2021·随州中考）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出以及，然后根据条件变形代入求解即可．【详解】由题意，，，∵，∴，即：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键．17．（2021·四川龙泉驿·九年级期中）已知一元二次方程的两个根分别是，则的值为_______．【答案】【分析】将整理为，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系：，，是解本题的关键．18．（2021·全国·九年级单元测试）关于x的方程有两个实数根．且．则_______．【答案】3【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．【详解】解：由题意得：，，，化成整式方程为，解得或，经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．19．已知，且，则的值为___________．【答案】3【分析】将n2+2n-1=0变形为据此可得m，是方程x2-2x-1=0的两根，再根据根与系数的关系即可得出答案【详解】解：由n2+2n-1=0可知n≠0．又m2-2m-1=0，且mn≠1，即∴m，是方程x2-2x-1=0的两根，∴故答案为：3．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2-2x-1=0的两根20．（2021·河南西峡·九年级期中）“杂交水稻之父”——袁隆平先生率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产1008公斤的目标．如果第二阶段、第三阶段水稻亩产量的增长率相同，则这两年的平均亩产增长率为_______．【答案】20%（或0.2）【分析】设亩产量的平均增长率为，根据第三阶段水稻亩产量＝第一阶段水稻亩产量（1+增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设亩产量的平均增长率为，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：亩产量的平均增长率为．故答案为：20%（或0.2）．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．21．（2021·襄阳二模）要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划共计持续7天，每天安排4场比赛．则比赛组织者共邀请了______支球队；【答案】8【分析】设每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，关系式为：×球队总数×每支球队需赛的场数=4×7，把相关数值代入即可．【详解】解：设每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x-1）=4×7，解得：x1=-7（不合题意舍去），x2=8，答：比赛组织者应邀请8队参赛．故答案为：8．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．22．（2021·阜宁一模）据美国约翰斯霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据实时统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万．已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了__________人．【答案】11【分析】设每轮传染中平均每人传染了人，再根据“经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎”建立方程，解方程即可得．【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人，由题意得：，解得或（不符题意，舍去），即每轮传染中平均每人传染了11人，故答案为：11．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键．23．（2021·兰州中考）解方程：x2+4x﹣1=0．【答案】x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【详解】试题分析：方程变形后，利用配方法求出解即可．试题解析：方程变形得：x2+4x=1，配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，开方得：x+2=±，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．考点：解一元二次方程-配方法24．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：．【答案】，【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．25．（2021·辽宁台安·九年级期中）按照要求解方程：（1）x2﹣2x﹣8＝0（配方法）；（2）5x2﹣3x＝x+1（公式法）．【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝﹣，x2＝1．【分析】（1）按照配方法的过程求解即可；（2）将方程化为一般形式，然后利用公式法求解即可．【详解】解：（1）方程移项得：，配方得：，即，开方得：或，解得：，；（2）方程整理得：，这里a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，∵，∴，解得：，．【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，涉及了配方法和公式法，解题的关键是掌握相关求解方法．26．（2021·北京中考）已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：，∴，∵，∴，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，∵，∴，解得：，∵，∴．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．27．（2021·菏泽中考）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？【答案】29元．【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价．【详解】解：设这种水果每千克降价元，则每千克的利润为：元，销售量为：千克，整理得，或，要尽可能让顾客得到实惠，即售价为（元）答：这种水果的销售价为每千克29元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．28．（2021·嘉兴中考）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析【分析】根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：小敏：两边同除以，得，则．（×）小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）正确解答：移项，得，提取公因式，得，去括号，得，则或，解得，．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．29.（2021·山西中考）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65