向量五心终极版本(老师)

(完整word版)向量五心终极版本(老师)(完整word版)向量五心终极版本(老师)PAGEPAGE1(完整word版)向量五心终极版本(老师)向量与三角形内心、外心、重心、垂心、旁心知识的交汇一、五心的概念介绍（1)重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3)内心-—角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4）外心—-中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。(5）旁心——三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点二、“重心"的向量风采【命题1】已知是所在平面上的一点，若，则是的重心．如图⑴.MM图⑵图⑵图⑴【命题2】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足,,则的轨迹一定通过的重心.【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量,所以动点的轨迹一定通过的重心,如图⑵。二、“垂心”的向量风采【命题3】是所在平面上一点，若，则是的垂心．【解析】由,得,即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶。图⑷图⑷图⑶【命题4】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，,则动点的轨迹一定通过的垂心．【解析】由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量,即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷.三、“内心”的向量风采【命题5】已知为所在平面上的一点,且，，．若，则是的内心．图⑹图⑹图⑸【解析】∵，，则由题意得，∵，∴．∵与分别为和方向上的单位向量，∴与平分线共线，即平分．同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸。【命题6】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心．【解析】由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】已知是所在平面上一点，若,则是的外心．图⑺图⑺图⑻【解析】若，则，∴，则是的外心，如图⑺.【命题7】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】由于过的中点,当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释.），所以在垂直平分线上,动点的轨迹一定通过的外心,如图⑻.三、三角形性质总结1．O是的重心；若O是的重心,则故;为的重心。2．O是的垂心；若O是（非直角三角形）的垂心，则故3．O是的外心（或)若O是的外心则故4．O是内心的充要条件是引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记的单位向量为,则刚才O是内心的充要条件可以写成,O是内心的充要条件也可以是。若O是的内心，则ACBCCPACBCCP故；是的内心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；三、经典例题训练题例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心。求证。证明若△ABC的垂心为H,外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴，。又垂心为H，，，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴，故。著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线"；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由此可得。补充练习1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=（++2)，则点P一定为三角形ABC的(B）A.AB边中线的中点B。AB边中线的三等分点(非重心）C.重心D。AB边的中点B取AB边的中点M，则,由=(++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点P不过重心，故选B.2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：＋＝＋＝＋，则Ｏ为的（

D

）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足:，则P为的(

C

）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心3．已知O是平面上一

定点，A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的(

C

)Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的(

D

)Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足:,则P点为三角形的(

B

）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心6．在三角形ABC中，动点P满足:，则P点轨迹一定通过△ABC的:（B）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心7。已知非零向量eq\o（AB，\s\up6（→))与eq\o(AC，\s\up6(→））满足(eq\f（\o（AB,\s\up5（→）)，｜\o(AB,\s\up5（→))|)+eq\f（\o（AC,\s\up5(→)）,|\o(AC,\s\up5(→）)｜）)·eq\o（BC,\s\up6（→)）=0且eq\f(\o（AB,\s\up5（→))，|\o（AB，\s\up5(→))｜）·eq\f(\o(AC,\s\up5(→))，｜\o（AC,\s\up5（→））｜）=eq\f(1，2）,则△ABC为(）A。三边均不相等的三角形B。直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析:非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC,又=eq\f(1，2），∠A=,所以△ABC为等边三角形,选D．8。的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，,则实数m=1(A)三个内角的角平分线的交点 （B)三条边的垂直平分线的交点 (C）三条中线的交点 （D）三条高的交点10。如图1,已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则。证点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在，使得，有=，得,于是得。例讲三角形中与向量有关的问题教学目标:1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法2、向量的加法、数量积等性质3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点:针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习1.1已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心1。2在△ABC中,有命题①；②；③若,则△ABC为等腰三角形；④若,则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔〕A、①②B、①④C、②③D、②③④2、知识回顾2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法2。2向量的有关性质2。3上述两者间的关联3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例1、已知△ABC中，有和，试判断△ABC的形状.练习1、已知△ABC中，，，B是△ABC中的最大角，若，试判断△ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知O是△ABC所在平面内的一点,满足，则O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心例4、已知O是△ABC所在平面内的一点,动点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点,动点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：6、小结处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。7、作业1、已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于〔〕A、B、0C、1D、3、已知O是△ABC所在平