2025-2026学年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学八年级下册4月月考数学试题 含答案

/2025-2026学年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学八年级下学期4月月考数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列根式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（）A.5 B.3 C.4 D.73.估计的值在（）A.1到2之间 B.2到3之间 C.3到4之间 D.5到6之间4.实数m,n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（）A.n B.-n C.2m-n D.-2m+n5.下面各组数中，是勾股数的是（）A.，2，7 B.0.2，0.6，0.8 C.3，4，5 D.5，8，106.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A.6

B.

C.4π-6

D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。7.若二次根式，则a=______.8.已知xy=12，x+y=-8，则的值为______.9.规定a⊗b=+，a*b=ab-b2，则=______.10.Rt△ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是______．11.若我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则AB2+CD2=______.

三、解答题：本题共11小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。12.(本小题6分)

计算：|-2|+（-1）2018-+.13.(本小题6分)

先化简，再求值：，其中，.14.(本小题6分)

在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC：BC=3：4，AB=10，求AC和BC的长.15.(本小题7分)

在一个边长为的正方形内部挖去一个边长为的正方形（如图），求剩余部分（阴影）的面积.16.(本小题7分)

如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）求△ABC的面积．17.(本小题7分)

我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（AB=10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是AB的中点），它高出水面1尺（MP=1尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（MN=BN），求水的深度PN.18.(本小题8分)

如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为1米.

（1）求旗杆在距地面多高处折断；

（2）工人在修复的过程中发现在折断点C的下方1.25米的点P处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点P处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？19.(本小题8分)

座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T=2π，其中T表示周期（单位：s），l表示摆针的摆长（单位：m），g≈9.8m/s.若一台座钟的摆针的摆长为0.49m.

（1）求该座钟摆针摆动的周期；（结果保留根号和π）

（2）若该座钟的摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，在1min内，该座钟至少发出多少次滴答声？（参考数据.）20.(本小题10分)

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm,AB=10cm,若点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿折线CB-BA-AC方向运动一周，当点P到达终点C时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）.

（1）若点P在边BC上且满足PA=PB，则此时t=______；

（2）若点P恰好在∠ABC的平分线上，求此时t的值；

（3）在点P运动的过程中，当t为何值时，△ACP是等腰三角形，直接写出t的值.

21.(本小题10分)

材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；

.类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；

.根据上述知识，请你完成下列问题：

（1）比较大小：______（填“＞”，“＜”或“=”）；

（2）计算：；

（3）若，求5a2-10a+15的值.22.(本小题12分)

【探究发现】：我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a,b,c之间的一个重要结论：a2+b2=c2.

（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：

已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.

求证a2+b2=c2.

证明：由图可知，S正方形ABED=4S△ABC+S正方形CFGH

∵S正方形ABED=c2，S△ABC=______，正方形CFGH的边长为______；

∴.

即a2+b2=c2.

【深入思考】：如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,以AB为直角边在AB的右侧作等腰Rt△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E.

（2）求证：DE=a,BE=b；

（3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2；

【实际应用】：

（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若a=12，b=9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积.

1.

解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

B、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

C、是最简二次根式，故此选项符合题意；

D、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

故选：C．

2.

解：由条件可知2a-5=3，

∴a=4；

故选：C．

3.

解：

=×-×

=-1，

∵9＜10＜16，

∴3＜＜4，

∴2＜-1＜3，

∴估计的值在：2和3之间，

故选：B．

4.

解：由数轴可知：m＜-1＜0＜n＜1，

∴m-n＜0，

∴-|m-n|=-m+m-n=-n.

故选：B．

5.

解：∵，故选项A不是勾股数，不符合题意；

∵0.22+0.62≠0.82，故选项B不是勾股数，不符合题意；

∵32+42=52，故选项C是勾股数，符合题意；

∵52+82≠102，故选项D不是勾股数，不符合题意．

故选：C．

6.

解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=25，

则阴影部分的面积=×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2-×π×（）2

=×3×4+×π××（AC2+BC2-AB2）

=6，

故选：A．

7.

解：若二次根式，则1-a=4，

解得a=-3，

故-3．

8.

解：∵xy=12，x+y=-8，

∴x＜0，y＜0，

∴原式=y•+x•=--=-2=-2×=-4，

故-4．

9.

解：∵

=

=1+2

=3，

∴

=

=．

故．

10.

解：如右图所示，

在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，

又∵AB=1，

∴BC2+AC2，=AB2=1，

∴AB2+BC2+AC2=1+1=2．

故答案是2．

11.

解：∵BD⊥AC，

∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，

在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，

∴CB2+AD2=BO2+CO2+OD2+OA2=64+9=73，

∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，

∴AB2+CD2=BO2+AO2+OC2+OD2=（BO2+OD2）+（AO2+OC2）=CB2+AD2=73．

故73．

12.

解：原式=2+1-2+3

=4．

13.

解：原式=÷

=•

=

=，

∵x=2+，y=2-，

∴x-y=2，xy=4-3=1，

∴原式==．

14.

解：设AC=3x,则BC=4x,

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=102，

解得：x=2（负值舍去），

∴AC=3x=6，BC=4x=8．

15.

解：由题意得，剩余部分的面积=大正方形的面积减去小正方形的面积

=

=（）（）

=

=，

答：剩余部分的面积是4cm2．

18.

（1）由题意知AC+BC=8（米），∠A=90°，

设AC长为x米，则BC长为（8-x）米，

根据勾股定理得42+x2=（8-x）2，

解得x=3．

答：旗杆距地面3米处折断；

（2）如图，设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为B'，

连接B′P．

∵AP=3-1.25=1.75（米），

∴B′P=8-1.75=6.25（米）．

∴AB′==6（米）．

即距离旗杆底部周围6米的范围内有被砸伤的风险．

∴在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险．

19.

解：（1）将l=0.49，g≈9.8代入，

得，

答：该座钟摆针摆动的周期为；

（2）1min=60s.

．

答：在1min内，该座钟至少发出44次滴答声．

20.

（1）在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm,AB=10cm,

∴AC==6（cm），

∵点P在边BC上，PA=PB，

∴8-t=，

∴t=

故；

（2）如图，

过P作PH⊥AB于H，

∵BP平分∠CBA，∠C=90°，

∴PC=PH，

∵BP=BP，

∴Rt△BCP≌Rt△BHP（HL），

∴BH=BC=8，

∴AH=2，

∵PH2+AH2=PA2，

∴（6-PA）2+22=PA2，

∴PA=，

∴t=8+10+=；

（3）当点P在边BC上，AC=PC=6时，△ACP为等腰三角形，

∴t=6÷1=6；

当点P在AB上时，分三种情况：

若AP=PC=6，如图，

∴t=（8+10-6）÷1=12；

若CP=AC=6，如图，作CM⊥AB，

则AM=PM，

∴CM===，

∴AM==，

∴PA=2AM=，

∴t=（8+10-）÷1=；

若PC=PA，则∠A=∠ACP，如图，

∵∠B+∠A=90°，∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠B=∠BCP，

∴BP=CP=AP=AB=5，

∴t=（8+5）÷1=13，

综上所述，当t=6或12或或13时，△ACP为等腰三角形．

21.

解：（1）==，==，

∵＜，

∴＜；

故＜；

（2）原式=-1+-+-+...+-

=-1

=45-1

=44；

（3）∵a===+1，

∴a-1=，

∴（a-1）2=3，

∴a2-2a+1=3，

∴a2-2a=2，

∴5a2-10a+15=5（a2-2a）+15=5×2+15=25．

22.

（1）证明：由图可知S正方形ABED=4S△ABC+S正方形CFGH，

∵，，

正方形CFGH边长为a-b,

∴，

即a2+b2=c2．

故，a-b；

（2）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DBE+∠BDE=90°，

∵∠ABD=90°，

∴∠ABC+∠DBE=90°，

∴∠ABC=∠BDE，

在△ABC和△BDE中，

，

∴△ABC≌△BDE（AAS），

∴BC=DE=a,AC=BE=b；

（3）证明：由题意，第一种方法：

S梯形ACED=S△ABC+S△ABD+S△BED

=

=，

第二种方法：

=

=，

∴（a+b）2=ab+c2，