高等数学（下册）课程标准教学教案

《高等数学》课程标准【课程名称】《高等数学（下册）》【课程编码】【课程类别】公共基础课 【适用专业】所有专业【授课单位】 【总学时】72【编写执笔人】 【编写日期】一、课程定位和课程设计本课程是面向高等职业院校各专业学生一门专业基础课程，通过本课程的学习，旨在培养学生的数学运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，以及综合运用、分析解决实际问题的能力，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础；课程设计上，本书根据教育部高等学校教学指导委员会的基本要求，紧密围绕高等职业院校的人才培养方案，通过素质教育与立德树人、内容全面和适用广泛、引例先行和例题紧跟、互动讨论和加深理解、精选习题和随学随练、平台支撑和资源丰富等特色，深入浅出、由易到难地讲解相关知识，既符合高等职业教育的教学规律，又便于教师授课和学生学习，全面提升学生的数学素养和实践能力。二、课程内容、课时分配本课程分为无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、数学模型初步、MATLAB软件应用，共7章。具体课程内容和课时分配如表1所示。表1《高等数学》课程内容及课时分配表所用教材课程内容课时分配高等数学第8章无穷级数8.1常数项技术的概念和性质6728.2常数项级数的审敛法8.3幂级数8.4初等函数的幂级数展开8.5函数幂级数展开式的应用8.6傅里叶级数第9章向量代数与空间解析几何9.1预备知识149.2空间直角坐标系及向量坐标9.3数量积向量积混合积9.4平面及其方程9.5空间直线及其方程9.6曲面及其方程9.7空间曲线及其方程第10章多元函数微分法及其应用10.1预备知识理1810.2多元函数的概念、极限与连续性10.3偏导数10.4全微分及其应用10.5多元复合函数及其求导法则10.6隐函数的求导法则10.7多元函数微分学的几何应用10.8方向导数与梯度10.9多元函数的极值及其求法第11章重积分11.1二重积分的概念与性质811.2直角坐标系下二重积分的计算11.3极坐标系下二重积分的计算11.4三重积分第12章曲线积分与曲面积分12.1对弧长的曲线积分1212.2对坐标的曲线积分12.3格林公式及其应用12.4对面积的曲面积分12.5对坐标的曲面积分12.6高斯公式和斯托克斯公式第13章数学模型初步13.1初识数学建模竞赛1013.2数学模型方法论13.3单种群增长模型13.4双种群竞争的洛特卡-沃尔泰拉模型13.5三种群的盖斯-洛特卡-沃尔泰拉模型和RPS博弈模型第14章MATLAB软件应用14.1MATLAB简介414.2MATLAB与微积分14.3MATLAB绘制图像三、课程实施(一)教学条件我校十分注重建设和完善本课程的教学设施，如多媒体教室、实训室、网络教学平台、网络数据库等。此外，有一支强大且专业的师资队伍，可以为本课程的教学和课程建设提供有力保障。在网络资源方面，我校选择与建立课程合作，可有效利用的文旌教学管理平台实施“线上+线下”的混合教学模式，可以帮助教师进行教学，促进学生高效学习。(二)教学方法建议在课堂授课和实践教学中可以灵活运用以下教学方法：1．讲授教学法：由教师对每一项目的理论知识进行教授；2．例题讲解法：以实际案例导入，加深学生对知识的理解和掌握；3．互动讨论法：将学生分成若干小组，围绕问题互动讨论、交流学习；4．自学法：利用的平台资源进行自学。(三)成绩考核与评定本课程考核体现多元评价方法，重视教学过程评价，突出阶段评价、目标评价、理论与实践一体化评价等。考核成绩包括形成性测评（50%）和终结性测评（50%）。形成性测评占50%，其中1．考勤（10%）：本项考核通过课前点名考核学生的课堂出勤率。迟到15分钟以内每次扣1分，迟到15分钟以上或无故缺勤一节课每次扣2分，无故缺勤5次及以上者，取消本课程成绩。2．课程参与度（20%）：本项考核主要通过线上课程参与度、线下课堂提问和课堂积极发言来评判学生的学习态度、学习主动性、课堂参与程度，以及学生的思辨能力、问题解决能力及其对课堂教学知识的掌握情况等。只要学生能按时参加线上和线下听讲，即可获得10分的基本分。学生上课发言一次或线上讨论区有效发言（与话题相关）一次，即可另外获得0.5分，课堂和讨论区发言最多可得10分。学生的最后成绩为“10+发言得分”。3．作业情况（20%）：本项考核主要通过学生作业来检测其对教学主体内容的掌握与理解程度、实际应用知识的能力、自主学习能力、信息收集与处理能力等。每次作业成绩按照相应标准而定，学生作业质量划分为优秀（10分）、良好（8分）、中等（7分）、及格（6分）和不及格（0分）五个档次。最后的作业成绩为学生作业完成质量成绩的平均数。终结性测评占50%。主要考核学生在学完本课程后所达到的水平，通过期末考试进行考核。期末考试考核由学院统一命题，闭卷考试。四、课程资源开发与利用(一)推荐使用教材(二)数字化资源《高等数学（下册）》教案课时分配表章序课程内容课时备注8无穷级数69向量代数与空间解析几何1410多元函数微分法及其应用1811重积分812曲线积分与曲面积分1213数学模型初步1014MATLAB软件应用4合计72

课题第8章无穷级数课时6课时（270min）教学目标知识技能目标：（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念（2）掌握级数的基本性质及收敛的必要条件（3）理解傅里叶级数的概念素质目标：（1）培养学生的数据分析能力，使其能够从数据中提取有价值的信息（2）提升学生的逻辑思维和推理能力，使其能够准确理解和应用概率统计的概念和方法教学重难点教学重点：常数项级数的概念和性质，常数项级数的审敛法，幂级数，初等函数的幂级数展开，函数幂级数展开式的应用，傅里叶级数教学难点：常数项级数的审敛法，幂级数，初等函数的幂级数展开，函数幂级数展开式的应用，傅里叶级数教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：在魏晋时代，数学家刘徽是如何计算圆的面积？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解无穷级数的相关知识，主要讲解常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛法、幂级数等知识8.1常数项级数的概念和性质8.1.1、常数项级数的概念【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点几何级数是收敛级数中最著名的一个级数．几何级数在判断无穷级数的收敛性、无穷级数的求和以及将一个函数展开为无穷级数等方面都有广泛而重要的应用．几何级数的增长速度令人震惊，有一个古老的传说可以说明这点．当时，古波斯国王对一种新发明的象棋游戏有极大的兴趣，于是要召见那个发明人并且要以皇宫的财富相赠．当这个发明人（一个贫困但却十分精通数学的农民）被国王召见时，他要求在棋盘的第一个方格里放1粒麦粒，第二个方格里放2粒麦粒，第三个方格里放4粒麦粒，第四个方格里放8粒麦粒，后一方格麦粒是前一方格麦粒的2倍，如此继续下去，直到整个棋盘都被麦粒覆盖上为止．国王听后，立即命仆人拿来一袋小麦，并让仆人们按发明人的要求在棋盘上放置麦粒，但令他们十分吃惊的是，他们很快发现利用袋子里的麦粒甚至整个王国的麦粒也不足以完成这项任务，因为级数的第64项是一个十分大的数（）．如果我们设法把如此多的麦粒（假设每个麦粒直径仅为1mm）放在一条直线上，这条线将长约两光年．【学生】聆听、思考、记录8.1.2、收敛级数的基本性质【注意】教师补充知识点收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛．例如，级数收敛于零，但级数发散．【学生】聆听、思考、记录【注意】教师补充知识点调和级数的发散速度非常缓慢．当越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而，它的和将慢慢地增大并超过任何有限值．调和级数的这种特性使一代又一代的数学家困惑并为之着迷．它的发散性是由法国学者尼古拉·奥雷姆（1323—1382）在极限概念被完全理解之前约400年首次证明的．下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数．这个级数的前一千项相加约为7.485，前一百万项相加约为14.357，前十亿项相加约为21，前一万亿项相加约为28．更有学者估计过，为了使调和级数的和等于100，必须把项加起来．如果我们试图在一个很长的纸带上写下这个级数，直到它的和超过100，即使每项只占1mm长的纸带，也必须使用长的纸带，这大约为光年．【学生】聆听、思考、记录【问题讨论】教师提问1．无穷数列的和与无穷级数的和有何区别和联系？2．在级数中改变、去掉或增加前面有限项，为什么不会改变级数的收敛性？3．举例说明如果级数的一般项趋于零，不一定收敛．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论8.2常数项级数的审敛法8.2.1、正项级数及其审敛法【注意】教师补充知识点很多时候，求的上界是一件比较困难的事，因此我们很少用它直接判别级数的收敛性．但该定理在理论上具有重要价值．下面给出的正项级数的审敛法都是建立在该定理的基础上的．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点比较审敛法是判断正项级数收敛性的一个重要方法．对给定的正项级数，如果要用比较审敛法来判别其收敛性，则需通过观察，找到一个已知收敛性的级数与其进行比较，然后应用定理2进行判断．只有知道一些重要级数的收敛性，才能更好地运用比较审敛法．至今为止，我们熟悉的重要已知级数包括等比级数、调和级数及级数等．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习8.2.2、交错级数及其审敛法【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习8.2.3、绝对收敛与条件收敛【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．适用比较审敛法或比值审敛法的正项级数各有什么特点？2．如果级数发散，我们能不能断定级数也发散？请举例说明．3．“一个级数要么绝对收敛，要么条件收敛”这句话对吗？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论8.3幂级数8.3.1、函数项级数的概念8.3.2、幂级数及其收敛性【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习8.3.3、幂级数的运算【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．幂级数收敛半径的计算和正项级数的比值审敛法有何联系？2．幂级数的收敛半径与收敛区间有何联系？3．对于缺少奇数次（或偶数次）幂项的幂级数，如何求收敛半径？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点常数项级数的概念和性质常数项级数的审敛法幂级数【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题8.1、习题8.2和习题8.3【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解初等函数的幂级数展开、函数幂级数展开式的方法等相关知识8.4、初等函数的幂级数展开8.4.1、泰勒级数8.4.2、函数展开成幂级数的方法1.直接展开法【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2.间接展开法【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点以下是一些常见的初等函数幂级数展开式，在应用间接展开法时可以直接引用【学生】聆听、思考、记录【问题讨论】教师提问1．函数的幂级数、泰勒级数和泰勒展开式之间有什么关系？2．如何用直接法把函数展开成幂级数？3．如何用间接法把函数展开成幂级数，要熟记哪些公式？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论8.5、函数幂级数展开式的应用8.5.1、函数值的近似计算【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习8.5.2、定积分的近似计算【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习8.5.3、欧拉公式【问题讨论】教师提问1．利用微分求近似值和利用幂级数展开求近似值这两种方法有什么区别和联系？2．如何理解欧拉公式？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点初等函数的幂级数展开函数幂级数展开式的应用【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题8.4和习题8.5【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解傅里叶级数等相关知识8.6、傅里叶级数8.6.1、三角级数及三角函数系的正交性8.6.2、周期为2Π的函数展开成傅里叶级数【注意】教师补充知识点狄利克雷收敛定理告诉我们：若函数满足收敛条件，则的傅里叶级数在连续点收敛于函数值本身，在第一类间断点收敛于它左右极限的算术平均值．函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点矩形波是由一系列不同频率的正弦波叠加而成的，这些正弦波的频率依次是基波频率的奇数倍．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点一个定义在上且满足狄利克雷收敛定理条件的函数展开成傅里叶级数的形式不唯一，它既可以展开成正弦级数，又可以展开成余弦级数．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习8.6.3、周期为2l的函数展开成傅里叶级数【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．如何理解三角级数和傅里叶级数的联系和区别？2．如何利用狄利克雷定理将函数展开成傅里叶级数？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点傅里叶级数【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题8.6【学生】完成课后任务教学反思

课题第9章向量代数与空间解析几何课时14课时（630min）教学目标知识技能目标：（1）认识空间直角坐标系（2）了解向量的坐标（3）熟悉向量的模与方向余弦（4）掌握向量的代数运算（5）熟练掌握向量的数量积的定义、性质及计算方法（6）熟练掌握向量的向量积的定义、性质及计算方法（7）掌握平面方程的各种表示方法（8）熟练掌握特殊位置平面的表示方法（9）运用空间直线方程的三种形式素质目标：（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断地拓展自己的思维空间（2）通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的快乐教学重难点教学重点：向量的代数运算，数量积、向量积的定义和性质教学难点：数量积、向量积的计算方法，平面的几种表示及其应用教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：你是如何理解三维空间的？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解有关向量代数与空间解析几何的知识9.1预备知识9.1.1向量的概念9.1.2向量的线性运算1．向量的加减法2．向量与数的乘法定理设向量，那么向量平行于的充分必要条件是存在唯一的实数，使．9.1.3二阶与三阶行列式1．二阶行列式【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．三阶行列式【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．当向量的起点、终点不在同一直线（平面）上时，这些向量可以共线（共面）吗？任意两个向量一定共面吗？任意三个向量一定共面吗？2．向量的线性运算结果是向量还是数？3．如何从几何的角度去理解向量与数的乘法及两个向量的线性运算？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论9.2空间直角坐标系及向量坐标9.2.1空间直角坐标系9.2.2向量的坐标表示9.2.3向量线性运算的坐标表示【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点三元有序实数组既可表示点，又可表示向量，所以求点的坐标，就是求向量的坐标．但在几何上，点与向量是两个不同的概念，不可混淆．当表示向量时，可对它进行运算，但当表示点时，则不能进行运算．【学生】聆听、思考、记录9.2.4向量的模、方向余弦、投影1．向量的模与两点间的距离公式设向量，作，则有，由勾股定理可得，由有，于是得向量模的坐标表示式【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．方向角与方向余弦非零向量与轴、轴、轴正向的夹角称为向量的方向角，称为向量的方向余弦．设，有【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3．向量在轴上的投影性质1，即，其中为向量与轴的夹角．性质2．性质3．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．向量有了坐标以后，如何用坐标表示向量的大小和方向？2．投影的值可以取零或负数吗？？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点向量的概念向量的线性运算二阶与三阶行列式空间直角坐标系及向量坐标【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题9.1、9.2【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解数量积、向量积、混合积等知识9.3数量积向量积混合积1．数量积的概念与性质定义1设有和两个向量，它们的夹角为，则称为向量和的数量积（或内积、点积），记作或，即．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．数量积的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式：【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.3.2两向量的向量积1．向量积的概念和性质定义2若由向量与所确定的向量满足下列条件：（1）的模为，其中为与的夹角；（2）的方向垂直于与所决定的平面，的指向按右手规则从转向来确定，则向量称为向量与的向量积（或称外积、叉积），记作，即．2．向量积的坐标表示式【注意】教师补充知识点上式右端三阶行列式是一个形式记号，仅表示遵照行列式展开规则，按第一行展开．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.3.3向量的混合积定义3设已知三个向量，向量与向量的数量积称为向量的混合积，记为或．设，则．【问题讨论】教师提问1．如何用向量运算判定以下问题？（1）两个向量平行；（2）两个向量垂直；（3）三点共线；（4）四点共面或三个向量共面．2．如何用向量求解平行四边形面积、三角形面积、平行六面体体积及四面体体积？3．任意两向量的位置关系如何判定？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论9.4平面及其方程定义1在空间直角坐标系中，若一个方程与某一空间曲面有下述关系：（1）曲面上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面上的点的坐标都不满足方程，那么，方程称为曲面的方程，而曲面称为方程的图形，如图所示（详见教材）．9.4.1平面的点法式方程【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.4.2平面的一般方程【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.4.3平面的截距式方程【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.4.4两平面的夹角两平面的法线向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两平面的夹角，按两向量夹角的余弦公式，两平面夹角的余弦表达式为【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．平面方程有哪几种形式？不同形式之间可否相互转化？如何转换？2．在平面解析几何和空间解析几何中，一次方程的图形有什么不同？3．平面的法向量是否唯一？他们之间有什么关系？4．空间曲线的一般方程是否唯一？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点数量积向量积混合积平面及其方程【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题9.3、9.4【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程等知识9.5空间直线及其方程9.5.1空间直线的一般方程空间直线可以看作是两个平面和的交线．设两个相交平面和的方程分别为，则直线上任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程如果一个非零向量平行于一条已知的直线，那么这个向量就称为直线的方向向量．空间直线的位置可由其上一点及它的方向向量确定．设是直线上的任意一点，作向量，由，得称为直线的对称式方程或点向式方程.【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.5.3两直线的夹角两直线方向向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两直线的夹角．设和分别为直线和的方向向量，则和的夹角应是和两者中的锐角，因此按照两向量夹角的余弦公式，有．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.5.4直线与平面的夹角设直线的方向向量为，平面的法线向量为，直线与平面的夹角为，则按两向量夹角余弦的坐标表示式，有．*9.5.5平面束【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．从图形看，空间直线比平面简单，为什么不先讨论直线及其方程？2．不同形式的直线方程（一般式、对称式、参数式）如何进行相互转化？3．直线的方向向量是否唯一？它们之间有什么关系？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论9.6曲面及其方程9.6.1球面【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.6.2柱面定义1平行于某定直线的直线沿定曲线移动形成的轨迹称为柱面，定曲线称为柱面的准线，动直线称为柱面的母线，如图所示(详见教材)．9.6.3旋转曲面定义2以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和轴．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.6.4椭圆锥面由方程所表示的曲面称为椭圆锥面．9.6.5椭球面由方程所表示的曲面称为椭球面．9.6.6双曲面1．单叶双曲面由方程所表示的曲面称为单叶双曲面．2．双叶双曲面由方程所表示的曲面称为双叶双曲面．9.6.7抛物面1．椭圆抛物面由方程所表示的曲面称为椭圆抛物面．2．双曲抛物面由方程所表示的曲面称为双曲抛物面，又称马鞍面．【问题讨论】教师提问1．如何识别旋转曲面方程，如何求旋转曲面方程？2．柱面、旋转曲面各有什么特征？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点空间直线及其方程曲面及其方程【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题9.5、9.6【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解空间曲线及其方程等知识9.7空间曲线及其方程9.7.1空间曲线的一般方程曲线上任何点的坐标应同时满足这两个方程，即应满足方程组称为空间曲线C的一般方程．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.7.2空间曲线的参数方程空间曲线的方程除了一般方程之外，也可以用参数方程来表示，即把空间曲线上的动点坐标表示为参数的函数，其一般形式是称为空间曲线的参数方程【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*9.7.3曲面的参数方程9.7.4空间曲线在坐标面上的投影【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．给定一条空间曲线，其一般方程是否唯一？2．已知空间曲线的参数方程是如何求它绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程曲面的参数方程空间曲线在坐标面上的投影【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题9.7【学生】完成课后任务教学反思

课题第10章多元函数微分法及其应用课时18课时（810min）教学目标知识技能目标：（1）理解多元函数的概念，掌握计算多元函数的极限，理解偏导数的概念（2）证明多元函数的连续性（3）理解全微分的概念，计算多元函数的全微分（4）计算高阶偏导数，掌握全微分在近似方面的应用（5）了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题（6）掌握空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，方向导数与梯度（7）掌握多元函数最值的定义，能够判断多元函数的最值素质目标：（1）解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考（2）了解和认识事物的全面，要多方面考虑教学重难点教学重点：计算多元函数的极限和判断多元函数的连续性，计算高阶偏导数，二重积分的计算方法和基本技巧教学难点：证明多元函数在某一点或区间上的连续性，计算偏导数，计算多元函数的全微分，求多元函数极值，判断多元函数的最值，教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：请举出与多元函数相关的例子。【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解多元函数的概念、多元函数的极限、多元函数的连续性等知识10.1预备知识10.1.1平面及其表示10.1.2平面点集定义1坐标平面上具有某种性质的所有点的集合，称为平面点集，记作10.1.3邻域【注意】教师补充知识点（1）邻域具有直观的几何意义，即表示平面上以点为中心、为半径的圆内部的点的全体；与的区别在于前者不包含圆心，而后者包含圆心．（2）如果不需要强调邻域的半径，则用表示点的某个邻域，用表示点的去心邻域．【学生】聆听、思考10.1.4内点、外点、边界点教师传授新知定义3任取一点，任给一个点集，则（1）如果存在点的某一邻域，使得，则称为的内点；（2）如果存在点的某一邻域，使得，则称为的外点；（3）如果点的任意邻域内既有属于的点，又有不属于的点，则称为的边界点．的边界点的全体，称为的边界，记作．【学生】聆听、思考10.1.5聚点、导集教师传授新知定义4如果对于任意给定的，点的去心邻域内总有中的点，则称是的聚点．【学生】聆听、思考10.1.6开集、闭集、连通集10.1.7开区域、闭区域教师传授新知开区域：连通的开集称为开区域，简称区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域．【学生】聆听、思考10.1.8有界集、无界集教师传授新知有界集：对于平面点集，如果存在某一正数，使得，其中是坐标原点，则称为有界集．无界集：一个集合如果不是有界集，就称这个集合为无界集．【学生】聆听、思考10.1.9n维空间【问题讨论】教师提问点集的聚点和边界点有什么联系？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论10.2多元函数的概念、极限与连续性10.2.1多元函数的基本概念1．引例【教师】通过引例，提出多元函数的定义【学生】聆听、思考2．概念定义1设是的一个非空子集，映射称为定义在上的二元函数，记为，或，其中，点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习10.2.2多元函数的极限定义2设二元函数的定义域为，是的聚点．如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当时，总有成立，则称常数为函数当时的极限，记为，或，也可简记为或．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习10.2.3多元函数的连续性1．多元函数连续性的概念定义3设二元函数的定义域为，为的聚点，且．如果，则称函数在点连续．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于，能否断定？2．讨论函数的连续性．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题10.1、10.2【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解偏导数、全微分等知识10.3偏导数10.3.1偏导数的基础知识1．偏导数的概念2．偏导数的计算方法【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3．偏导数的几何意义4．偏导数的连续性【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习10.3.2高阶偏导数1．高阶偏导数的概念定义2设函数在区域内具有偏导数，，于是在区域内都是的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数．按照对变量的求导次序不同，有下列四个二阶偏导数：，，，．其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数．2．高阶偏导数求法举例【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3．二阶混合偏导数相等的条件定理如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问若函数在点连续，能否断定在该点的偏导数必定存在．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论10.4全微分及其应用10.4.1全微分1．全微分的概念定义1如果函数在点的全增量可表示为，其中，仅与有关而与无关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记作，即．2．函数可微分的条件定理

1（可微分的必要条件）如果函数在点可微分，则函数在点的偏导数存在，且有．定理

2（可微分的充分条件）如果函数在点的某一邻域内存在偏导数，且这两个偏导数在点连续，则函数在点可微分．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*10.4.2利用全微分进行近似计算【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问你能通过相关定理和例题总结出多元函数的连续性、可导性（即偏导数存在）、可微分及偏导数连续之间的相互关系吗？请画出它们的关联图．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点偏导数全微分【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题10.3、10.4【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式、多元函数的极值等知识10.5多元复合函数及其求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则1．复合函数的中间变量均为一元函数定理1如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点本例中的函数既通过中间变量与自变量相联系，又直接与自变量相联系，所以其全导数由三部分组成．计算时要特别注意不要遗漏，同时要注意符号的区别（如右边的第三项不能写成），这在抽象函数求偏导时特别重要．2．复合函数的中间变量均为多元函数定理

2如果函数都在点具有对及的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且有，．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【思考问题】教师提问（1）设，求．提示：．（2）设且，求．提示：．注意：这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对求偏导数，而是把中的及都看成常数而对求偏导数，且由和两部分组成，与也有类似的区别．10.5.2多元复合函数的全微分设具有连续偏导数，则有全微分；当也具有连续偏导数时，则【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问设具有二阶连续偏导数，求，并说明求导过程中出现的与与有何区别？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论10.6隐函数的求导法则10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数定理

1（隐函数存在定理）设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*10.7多元函数微分学的几何应用10.7.1空间曲线的切线与法平面【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习10.7.2曲面的切平面与法线【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．若曲线的方程为则其切线和法平面方程是什么形式？若曲线的方程为则其切线和法平面方程又是什么形式？2．若曲面方程为，则曲面的切平面及法线方程是什么形式？若空间曲面以参数方程的形式给出，即，，，其中，则是否能推导出该曲面上一点的切平面和法线方程？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点多元复合函数的求导法则隐函数的求导法则多元函数微分学的几何应用【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题10.5、10.6、10.7【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解方向导数与梯度、多元函数的最值、条件极值、二重积分的性质等知识*10.8方向导数与梯度10.8.1方向导数定理若函数在点可微分，则在点处沿任一方向的方向导数都存在，且，其中，为方向的方向余弦．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习10.8.2梯度与场1．梯度定义2设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可确定一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，记作，即．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．数量场与向量场【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．函数在点沿轴正向、负向，和沿轴正向、负向的方向导数分别是什么？2．讨论三元函数的方向导数与梯度的关系时，什么情况下取得最大值、最小值和零？它们和梯度向量有何关系？梯度向量有何特征（模、方向）？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论10.9多元函数的极值及其求法10.9.1多元函数的极值与最值1．多元函数的极值的概念【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数在点处的偏导数存在，且在点处取得极值，则，．定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数，又，记，，，则（1）当时，函数在点处取得极值，且当时有极小值，当时有极大值；（2）当时，函数在点处没有极值；（3）当时，函数在点处可能有极值，也可能没有极值．3．多元函数极值与最值的求法【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点区域的边界是一个无穷集合，所以边界上的函数值可能有无穷多，因此有很多问题都未必能像上述例子那么容易求出边界上的最值，因此，这种判别方法并非总是有效的，需要具体问题具体分析．例如，下面例子的处理方法就跟例3不一样．10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法应用拉格朗日乘数法求在条件下的极值的步骤如下．（1）构造拉格朗日函数．（2）求的驻点坐标，即求解方程组解出．（3）判断在处取何种极值．在实际问题中，常常由实际意义来判断．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*10.9.3最小二乘法举例【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．多元函数的条件极值在什么情况下可转化为无条件的多元函数求极值？2．用拉格朗日乘数法求函数在附加条件下的极值能否保证所求出的点为函数的极值点并满足上述两个附加条件？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点方向导数与梯度多元函数的极值与最值条件极值最小二乘法举例【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题10.8、10.9【学生】完成课后任务教学反思

课题第11章重积分课时8课时（360min）教学目标知识技能目标：（1）理解二重积分的概念与性质（2）掌握直角坐标系下二重积分的计算（3）掌握极坐标系下二重积分的计算素质目标：（1）通过积分的运算，训练学生的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度（2）培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质教学重难点教学重点：二重积分的概念与性质、直角坐标系下二重积分的计算、极坐标系下二重积分的计算教学难点：直角坐标系下二重积分的计算、极坐标系下二重积分的计算，教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：请举出与二重积分应用相关的例子。【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解二重积分的概念、几何意义、性质等知识11.1二重积分的概念与性质11.1.1二重积分的概念设有一个三维几何体，它的底是平面上的有界闭区域，它的顶是由在上连续的二元非负函数确定的曲面，它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，这种几何体称为曲顶柱体。【注意】教师补充知识点我们看到，求曲顶柱体的体积与求定积分类似，都是通过“分割、取近似、求和、取极限”这四个步骤得到，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数．在物理学与工程技术中，会经常遇到这类问题，如求密度不均匀的物体质量、重心、转动惯量等．定义设是平面上的有界闭区域，是定义在上的有界函数．将区域分割为个小闭区域，以表示第个小区域的面积．在上任取一点，作乘积，并作和．记为的直径，当趋于时，如果极限存在，且此极限与区域的分法及点的取法无关，则称函数在区域上可积，并称此极限为函数在区域上的二重积分，记作，即，其中，区域称为积分区域，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为面积元素，称为积分和．11.1.2二重积分的几何意义11.1.3二重积分的性质【教师】提出多元函数的性质性质1设为常数，则．性质2（被积函数的可加性）．……详见教材【学生】聆听、思考【注意】教师补充知识点除了偶倍奇零之外，还有一种对称的情况．如果关于直线对称，则有．【问题讨论】教师提问1．二重积分是表示以曲面为顶、以为底的曲顶柱体体积吗？2．积分区域的可加性是否适用于把区域分割成两个以上互不重叠小区域的情况？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点二重积分的概念二重积分的几何意义二重积分的性质【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题11.1【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解直角坐标系下二重积分的计算、极坐标系下二重积分的计算等知识11.2直角坐标系下二重积分的计算11.2.1先对y、后对x的二次积分【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习11.2.2先对x、后对y的二次积分【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习11.2.3特殊情形【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．在矩形区域上，若二次积分存在，则式子必相等吗？2．如果某二重积分的被积区域既是型区域又是型区域，那么如何确定采用哪种积分区域类型来计算该二重积分？．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论11.3极坐标系下二重积分的计算11.3.1极点在区域D的边界极坐标系下二重积分化为二次积分的计算公式为．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习11.3.2极点在区域D的外部极坐标系下二重积分化为二次积分的计算公式为或简写成．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习11.3.3极点在区域D的内部极坐标系下二重积分化为二次积分的计算公式为．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．哪些被积函数及积分区域适合用极坐标来计算二重积分？2．当极点在不同位置时（如极点在积分区域的边界、外部、内部），极坐标系下二重积分化为二次积分的计算公式有何区别？．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论11.4三重积分11.4.1三重积分的概念及性质1．三重积分的概念2．三重积分的性质11.4.2三重积分的计算1．直角坐标系下三重积分的计算——投影法2．直角坐标系下三重积分的计算——截痕法【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3．柱面坐标系下三重积分的计算【注意】教师补充知识点三组坐标面的方程及意义分别为：，表示以轴为轴的圆柱面；，表示通过轴的半平面；，表示平行于坐标面的平面．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习4．球面坐标系下三重积分的计算【注意】教师补充知识点三组坐标面的方程及意义分别为：常数，表示经过轴的半平面；常数，表示以原点为顶点、轴为轴的圆锥面；常数，表示以原点为中心的球面【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．在直角坐标系下，把三重积分化为三次积分的方法都有哪些？这些方法有什么不同？2．在柱面坐标系下把多数小闭区域近似地看成柱体，而在球面坐标系下把多数小闭区域近似地看成六面体，从而得到体积元素表达式及三重积分从直角坐标转换为柱面坐标、球面坐标的计算公式，这样处理正确吗？依据是什么？3．在计算三重积分时，选择适当坐标系、简化计算的依据是什么？一般来说，都在哪些情况下选取直角坐标系、柱面坐标系或球面坐标系？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点直角坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算三重积分【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题11.2、11.3、11.4【学生】完成课后任务教学反思

课题第12章曲线积分与曲面积分课时12课时（540min）教学目标知识技能目标：（1）掌握对弧长的曲线积分（2）掌握对坐标的曲线积分（3）掌握格林公式及其应用（4）掌握对面积的曲面积分（5）掌握对坐标的曲面分（6）掌握高斯公式和斯托克斯公式素质目标：（1）培养学生善于洞察研究对象本质的能力，掌握数学知识间的逻辑结构，形成恰当的推理并作出正确的猜想（2）通过积分的运算，训练学生的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度教学重难点教学重点：对弧长、坐标的曲线积分、格林公式及其应用、对面积、坐标的曲面积分、高斯公式和斯托克斯公式教学难点：对弧长、坐标的曲线积分、对面积、坐标的曲面积分教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：课前搜集弧长公式、格林公式的由来相关资料，课上分享对弧长公式、格林公式的理解？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分、格林公式及其应用等知识12.1对弧长的曲线积分12.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质1．引例——曲线形构件的质量2．概念与性质12.1.2对弧长的曲线积分的计算定理设函数在曲线弧上连续，的参数方程为，若在上具有一阶连续导数且不同时为零，则曲线积分存在，且．【学生】聆听、思考【问题讨论】教师提问1．对弧长的曲线积分有哪些性质？2．已知空间曲线弧的参数方程为，其参数方程满足什么条件时，可对弧长进行曲线积分的计算？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论12.2对坐标的曲线积分12.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质1．引例——变力沿曲线做功【教师】通过引例，提出对坐标的曲线积分的概念2．概念与性质12.2.2对坐标的曲线积分的计算定理设在有向曲线弧上连续，且的参数方程为当参数单调地从变到时，点从的起点沿运动到终点．若在以及为端点的区间上连续且不同时为零，则曲线积分存在，且．【学生】聆听、思考12.2.3两类曲线积分的关系【问题讨论】教师提问1．对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分有何不同？2．对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分一定满足吗？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论12.3格林公式及其应用12.3.1格林公式定理1（格林公式）设函数，在闭区域上具有一阶连续偏导数，则有其中为的正向边界曲线．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点对于连续曲线，如果除了外，当时，与总是相异的，则称是无重点的曲线．【学生】聆听、思考12.3.2平面上曲线积分与路径无关的等价条件【教师】讲解曲线积分与路径无关的等价条件定理2设是单连通区域，若函数在内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：（1）对于内任意光滑闭曲线，有；（2）在区域内与路径无关，只与起止点有关；（3）为某二元函数的全微分，即；（4）在内每一点处有成立．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．通过格林公式，我们得到的一种新的计算曲线积分的方法是什么？2．平面上曲线积分与路径无关的等价条件是什么？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分格林公式及其应用【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题12.1、12.2、12.3【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分、高斯公式和斯托克斯公式等知识12.4对面积的曲线积分12.4.1对面积的曲面积分的概念与性质1．引例——曲面状构件的质量2．概念与性质12.4.2对面积的曲面积分的计算定理设积分曲面由方程给出，为在面上的投影区域，在上具有一阶连续偏导数，被积函数在上连续，则对面积的曲面积分可表示为面上投影区域上的二重积分，即；；．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习【问题讨论】教师提问1．对面积的曲面积分有哪些性质？2．如何将对面积的曲面积分转化为二重积分？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论12.5对坐标的曲面积分12.5.1曲面的侧12.5.2对坐标的曲面积分的概念与性质1．引例——流向曲面一侧的流量2．概念与性质3．对坐标的曲面积分的计算定理设函数是定义在曲面上的连续函数，在面上的投影区域为，函数在上具有一阶连续偏导数，则有；；．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习12.5.3两类曲面积分的关系两类曲面积分的关系为．【问题讨论】教师提问1．对坐标的曲面积分有哪些性质？2．两类曲面积分的关系是怎样的？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论12.6高斯公式和斯托克斯公式12.6.1高斯公式定理1（高斯公式）设空间闭区域是由分片光滑的曲面所围成，若函数在上具有连续的一阶偏导数，则有其中，取外侧，是在点处法向量的方向余弦．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习12.6.2斯托克斯公式定理2（斯托克斯公式）设以分段光滑的有向连续闭曲线为边界的有向光滑曲面为，且的正向与的侧符合右手法则，函数，，在曲面及边界上具有一阶偏导数连续，则．其中是在点处法向量的方向余弦．【学生】聆听、思考【教师】讲解例题并随堂练习【问题讨论】教师提问1．应用高斯公式的条件是什么？2．如何使用右手法则确定曲面的正侧？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录作业布置【教师】布置课后作业总结数学建模的一般步骤，完成习题12.4、12.5、12.6。【学生】完成课后任务教学反思

课题第13章数学模型初步课时10课时（450min）教学目标知识技能目标：（1）了解数学建模竞赛（2）理解单种群增长模型、双种群竞争的洛特卡-沃尔泰拉模型、三种群的盖斯-洛特卡-沃尔泰拉模型和RPS博弈模型素质目标：通过数学建模过程，培养学生的逻辑思维、系统分析和综合运用知识解决问题的能力教学重难点教学重点：单种群增长模型、双种群竞争的洛特卡-沃尔泰拉模型、三种群的盖斯-洛特卡-沃尔泰拉模型和RPS博弈模型教学难点：模型假设的合理性、数学模型的构建教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：在现实生活中，我们经常遇到各种复杂的问题，如何将这些实际问题转化为数学问题，并利用数学方法进行求解？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解数学建模竞赛简介、数学模型方法论等知识13.1初识数学建模竞赛13.1.1全国大学生数学建模竞赛简介13.1.2美国大学生数学建模竞赛简介13.2数学模型方法论13.2.1问题分析与模型假设【注意】教师补充知识点为了建模需要，我们选定的因素也常常要进行合理的简化，如进行线性化、均匀化、理想化等近似处理．另外，为了建模顺利，在做假设时，语言要准确13.2.2模型建立与模型求解13.2.3模型分析13.2.4数学建模的特点（1）数学建模不一定有唯一正确的答案．事实上，对于一个实际问题，不同的人、不同的建模目的、不同的建模方法、不同的时间场合、不同的分析、不同的假设等都可能导致完全不同的结果．因此，数学建模的结果无所谓对与错，但有优与劣的区别，实践检验是评价一个模型优劣的唯一标准．（2）数学建模没有统一的方法．对于同一个问题，不同的人采取的数学建模方法可以不同，每个人可根据自己的特长和偏好采取适合自己的方法．我们建模的目的是解决实际问题，使用近代数学方法建立的模型并不一定比采用初等数学方法建立的模型好．（3）模型的可行性．尽管人们总是希望模型可以逼近研究对象，但是一个非常逼近实际的模型在数学上通常是很难处理的，这达不到通过建模解决实际问题的目的．因此，建模时不必追求完美无缺，模型只要符合实际问题的基本要求即可．……详见教材【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点初识数学建模竞赛数学模型方法论【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，查阅相关数学竞赛的知识，进一步了解数学竞赛【学生】完成课后任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解单种群增长模型、双种群竞争的洛特卡·沃尔泰拉模型、三种群的盖斯-洛特卡-沃尔泰拉模型和RPS博弈模型等知识13.3单种群增长模型13.3.1马尔萨斯模型1．问题分析2．模型假设3．模型的建立与求解4．模型分析5．模型修改与重建13.3.2罗吉斯蒂克模型1．模型假设2．模型的建立与求解3．模型分析13.3.3单种群生物资源开发1．方案一——固定限额捕获策略（）2．方案二——固定捕获努力量捕获策略13.4双种群竞争的洛特卡-沃尔泰拉模型13.4.1竞争关系13.4.2捕食关系13.5三种群的盖斯-洛特卡-沃尔泰拉模型和RPS博弈模型13.5.1盖斯-洛特卡-沃尔泰拉模型13.5.2RPS博弈模型【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点单种群增长模型双种群竞争的洛特卡·沃尔泰拉模型三种