小学六年级-阴影部分面积-专题-复习-经典例题

同学们，大家好！在小学阶段的数学学习中，“图形的面积”是我们需要重点掌握的内容，而“阴影部分面积的计算”更是这部分知识的综合运用与拓展。它不仅考察我们对基本图形面积公式的掌握程度，更考验我们观察图形、分析图形以及运用所学知识解决复杂问题的能力。今天，我们就来进行一次系统的专题复习，通过经典例题的解析，一起梳理常见的解题思路与技巧，希望能帮助大家更好地攻克这类题目。一、基础知识回顾在解决阴影部分面积问题之前，我们首先要牢固掌握以下基本平面图形的面积计算公式，这是我们解题的“利器”：*长方形面积=长×宽*正方形面积=边长×边长*平行四边形面积=底×高*三角形面积=底×高÷2*梯形面积=(上底+下底)×高÷2*圆的面积=π×半径×半径(通常取π=3.14)*扇形面积=(圆心角的度数÷360°)×π×半径×半径请大家务必熟记这些公式，并能灵活运用。二、经典例题解析（一）直接计算法例题1：如图，一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，里面有一个三角形的阴影部分，三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。求阴影部分的面积。思路分析：观察图形，阴影部分本身就是一个三角形，且这个三角形的底和高都可以通过长方形的已知条件直接得出。因此，我们可以直接运用三角形面积公式进行计算。解答过程：已知长方形长=8厘米（即三角形的底=8厘米），长方形宽=5厘米，三角形的高=长方形宽的一半=5÷2=2.5厘米。阴影部分面积（三角形面积）=底×高÷2=8×2.5÷2=10（平方厘米）。答：阴影部分的面积是10平方厘米。（二）加减组合法（整体减空白）例题2：如图，在一个边长为6分米的正方形中，有一个半径为3分米的四分之一圆的空白部分。求阴影部分的面积。思路分析：阴影部分是正方形中除去那个四分之一圆空白部分后剩下的部分。因此，我们可以用正方形的面积减去四分之一圆的面积，得到阴影部分的面积。这是“整体减空白”的典型思路。解答过程：正方形面积=边长×边长=6×6=36（平方分米）。四分之一圆的面积=(1/4)×π×r²=(1/4)×3.14×3²=(1/4)×3.14×9=7.065（平方分米）。阴影部分面积=正方形面积-四分之一圆面积=36-7.065=28.935（平方分米）。答：阴影部分的面积是28.935平方分米。（三）加减组合法（几个图形相加或相减）例题3：如图，一个长方形的长是10厘米，宽是6厘米。在长方形内有两个直径为6厘米的半圆（分别位于长方形的左右两侧）。求图中阴影部分的面积。思路分析：首先观察两个半圆，它们的直径都是6厘米，所以半径都是3厘米。两个半圆可以组合成一个完整的圆。阴影部分的面积可以看作是长方形的面积减去这两个半圆（即一个整圆）的面积。解答过程：长方形面积=长×宽=10×6=60（平方厘米）。一个半圆的半径=6÷2=3（厘米）。两个半圆的面积之和=一个整圆的面积=π×r²=3.14×3²=3.14×9=28.26（平方厘米）。阴影部分面积=长方形面积-两个半圆面积之和=60-28.26=31.74（平方厘米）。答：阴影部分的面积是31.74平方厘米。（四）平移、旋转法例题4：如图，一个边长为8厘米的正方形，分别在它的上下左右各剪去一个边长为2厘米的小正方形。求余下图形（阴影部分）的周长和面积。（此题重点关注面积）思路分析：求面积时，阴影部分是大正方形剪去四个小正方形后的剩余部分。我们可以用大正方形的面积减去四个小正方形的面积之和。虽然题目也提到了周长，但我们这里专注面积。解答过程：大正方形面积=8×8=64（平方厘米）。一个小正方形面积=2×2=4（平方厘米）。四个小正方形面积之和=4×4=16（平方厘米）。阴影部分面积=大正方形面积-四个小正方形面积之和=64-16=48（平方厘米）。答：阴影部分的面积是48平方厘米。引申思考（关于周长）：如果题目问周长，我们会发现，剪去小正方形后，原正方形的边长并没有减少，反而在每个角上增加了两条小正方形的边长，所以周长会增加。但面积是明确减少的。（五）等积变形法例题5：如图，在一个平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE，交于点O。已知平行四边形ABCD的面积是48平方厘米，求图中阴影部分（三角形AEO与三角形CFO）的面积之和。思路分析：这道题直接计算两个小三角形的面积比较困难。我们可以利用平行四边形的性质和等积变形的思想。因为E、F是中点，所以AE=EB，CF=FD，且AE平行于CF，四边形AECF也是平行四边形。连接EF，我们会发现一些三角形面积相等的关系。或者，更简便地，我们可以将阴影部分的面积进行转化。由于AF和CE是平行四边形的两条对角线（对于AECF这个平行四边形而言），它们互相平分，所以三角形AEO的面积等于三角形CFO的面积，也等于三角形AOF和三角形EOC的面积。整个平行四边形AECF的面积是原平行四边形ABCD面积的一半（因为高相同，底AE是AB的一半），即24平方厘米。而阴影部分面积之和是平行四边形AECF面积的四分之一吗？不，仔细想想，AECF的面积被AF和CE分成了四等份，所以每一份是6平方厘米，阴影部分是其中两份，即12平方厘米。或者，我们可以将三角形CFO绕O点旋转，使其与三角形AEO拼成一个新的三角形，这个新三角形的面积与三角形AEF的面积有什么关系呢？AEF的面积是AECF面积的一半，即12平方厘米，而阴影部分面积之和恰好等于三角形AEF的面积。解答过程（简化版）：因为E、F是AB、CD中点，所以四边形AECF的面积是平行四边形ABCD面积的一半：48÷2=24（平方厘米）。AF与CE是平行四边形AECF的对角线，它们将AECF分成面积相等的四个三角形：△AEO、△EOC、△CFO、△FOA。所以每个小三角形面积=24÷4=6（平方厘米）。阴影部分面积之和=△AEO面积+△CFO面积=6+6=12（平方厘米）。答：阴影部分的面积之和是12平方厘米。三、解题技巧总结通过以上例题的分析，我们可以总结出求解阴影部分面积的一些常用技巧：1.仔细观察，明确构成：首先要仔细观察图形，看清阴影部分是由哪些基本图形组合、重叠或挖空形成的。2.“公式法”优先：如果阴影部分本身就是一个基本图形（如三角形、圆形等），直接运用公式计算。3.“加减法”为主：若阴影部分不规则，常用“整体面积-空白面积=阴影面积”或“几个基本图形面积之和-重叠部分面积=阴影面积”。4.“转化法”为辅：对于较复杂的图形，尝试运用平移、旋转、对称、等积变形等方法，将阴影部分转化为易于计算的规则图形。5.“辅助线”帮忙：适当添加辅助线，可以帮助我们更好地分析图形间的关系，找到解题的突破口。6.“分步计算，耐心细致”：对于多步骤的计算，要分步进行，注意每一步的准确性，尤其是涉及到π的计算，要按题目要求取近似值。7.“单位统一”：计算前确保所有已知数据的单位统一。四、巩固练习好了，掌握了这些方法和技巧，大家是不是对解决阴影部分面积问题更有信心了呢？下面我们来做一道练习题，检验一下学习成果。练习题：一个直径为10厘米的圆形纸片，在它的直径上分别向上和向下各剪出一个直径为5厘米的半圆（这两个半圆的直径在同一条直线上，且与大圆直径重合）