湖南省娄底市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省娄底市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案CDABBDABACDBCD题号11答案ACD1．C【分析】根据给定条件，利用导数的定义求出函数f(x)在3处的导数值.【详解】函数，求导得，所以.故选：C2．D【分析】利用导数的定义及简单极限运算法则求解即可.【详解】由导数的定义得，所以．故选：D．3．A【分析】由题意求出m的值，再由离心率公式求解即可.【详解】因为椭圆的短轴的长为6，所以，解得，所以，所以离心率.4．B【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解.【详解】由可得，所以，进而可得，故，所以四边形的面积为.5．B【分析】先分析出q≠1，然后由条件求出及的值，再根据在等比数列中仍构成等比数列，列出方程，即可求出.【详解】在等比数列an中,若，则，由，知显然不成立，故.将代入，解得，进而可得.设，在等比数列中，因为仍构成等比数列，所以，即，整理可得，即，解得x=30或.因为，所以.6．D【分析】根据向量的线性运算求出，然后根据向量夹角的余弦公式求出a的值，进而根据正弦定理求出三棱柱外接球的半径，从而求出表面积.【详解】设侧棱长为2a，则，由，得（负值舍去）．底面三角形外接圆半径为，设外接球半径为R，则，所以外接球的表面积为．故选：D．7．A【分析】由题意，根据古典概型的概率计算以及条件概率的计算公式，结合全概率公式，可得答案.【详解】设事件Ai为“取出的球在i号箱中”，事件B则A1,A由题意有，．则由全概率公式，，则在取出的球为红球的条件下，其取自3号箱的概率为．故选：A．8．B【分析】由题易知a≤0时不成立，a>0时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在(0,+∞)上恒成立，利用参变分离，接着求函数最值即可.【详解】当a≤0时，，所以a≤0不符合题意；当a>0由，即，令，，所以gx在上单调递增，，即，在(0,+∞)，令，，所以时，ℎ′x>0，时，ℎ′x<0，即，,故选：B.9．ACD【分析】根据二项式定理和二项式系数及其性质判断选项A、B，用排列数知识判断选项C，用二项分布知识判断选项D.【详解】的展开式的通项为：.令k=2，可得的展开式中x2的系数为:，故选项A正确；选项B：由题意得的展开式至少有四项，所以n≥3.在的展开式中，第二、三、四项的二项式系数分别为，，.由题意，得所以,所以，故选项B错误；选项C：由题意，若四位数为偶数，则其个位数字为或当个位数字为0时，四位数有个；当个位数字为2或4时，四位数分别有个．由分类加法计数原理，得偶数的个数为，故选项C正确；选项D：因为每次投球相互独立，所以投球4次，恰好投进3个球的概率为，故选项D正确.故选：ACD.10．BCD【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、、，该零件为次品为事件D，根据概率乘法公式判断A，根据全概率公式判断B，根据条件概率公式判断C，D．【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、、，该零件为次品为事件D，则，，，，，对于A，任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率，故A错误；对于B，任取一个零件是次品的概率，故B正确；对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率，故C正确；对于D，记取到的零件不是第3台车床加工的为事件，则，则，所以，即如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为，故D正确．故选：BCD．11．ACD【分析】利用等体积法判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积判断B；确定轨迹并求出长度判断C；作出符合要求的正方体的截面并求出面积判断D.【详解】对于A，在正方体ABCD−A1B1C则点P到平面A1B1C1对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设，，，不垂直，因此不存在点P，使，B错误；对于C，连接DB，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则，而又平面，则AC⊥平面，又平面，则.同理得，又平面，则B1D⊥平面，由，得平面，又平面ABCD，因此点轨迹为平面与底面ABCD交线，即为线段AC，又，C正确；

对于D，取AB中点为P1，连接，平面ABCD，由平行于DB，⊂平面ABCD，得，又，则平面ACC1A1，又取DD1中点为Q1，则，有四点共面，则平面平面ACC1平面即为平面α，设平面α分别与交于，由平面平面，平面，平面，则，又都是中点，则R1是中点，同理R是中点，于是平面α截正方体ABCD−A1B所以截面面积为，D正确.

故选：ACD12．1【分析】根据函数求导法则，建立方程，可得答案.【详解】由题意可知，且，则，整理可得，解得a=1.故答案为：1.13．32【分析】根据给定条件，利用相邻问题，再结合C,D不相邻列式求解.【详解】依题意，排，相邻且站在正中间，有种站法；再排C,D，C,D不相邻，而两侧各有2个位置，即C,D不在同侧，在两侧各取1个位置再排列C,D，共有种站法，最后排有种站法，所以不同的站法共有（种）.故答案为：3214．【分析】由题意可借助x、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.【详解】由，则，即，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.15．(1)，(2)（i），（ii）【分析】（1）利用的关系作差结合等比数列的定义计算可求an和bn（2）（i）根据题意利用等比数列求和公式结合分组求和法计算即可，（ii）根据题意先得出，利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.【详解】（1）当n=1时，，当n≥2时，，所以，显然符合上式，所以，由题意，所以.（2）（i）易知，即数列cn的前2024项中有项分别为，其余项均为1，故数列cn的前2024项和；（ii）由（1）知，而，所以，易知，，所以16．（1）答案见解析；（2）不能．【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）代入数据计算的观测值，比较观测值与3.841的大小，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．【详解】解．（1）根据题目所提供的调查结果，可得下列2×2列联表：看电视运动总计女302555男203555总计5060110（2）根据列联表中的数据，可计算，因为，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．17．(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）先证，，得到PC⊥平面，再证EF⊥平面，即可得证；（2）先证PG⊥AB，，得到平面，确定即为平面与平面ABCD所成角，解三角形即可.【详解】（1）因为，所以，所以，即.因为，所以AD⊥CD，又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD，因为平面PCD，所以.因为平面，所以PC⊥平面.连接AC，交BD于，连接EF，易得，，所以，又因为，所以，所以，因为PC⊥平面，所以EF⊥平面，因为EF⊂平面，所以平面平面.（2）取CD的中点G，连接，则平面ABCD，因为，所以，因为，所以PG⊥AB.因为，所以四边形为正方形，所以，又因PG⊥AB.平面，则平面，因为平面，所以，故为平面与平面ABCD所成角或其补角，因为，所以，故，平面与平面ABCD所成角π4.18．(1)单调递增区间是，单调递减区间是(2)(3)证明见解析【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性；（2）方法一：将不等式转化为，构造函数，根据函数单调性可将不等式转化为，分离参数，结合函数单调性可得最值；方法二：将不等式转化为，构造函数，根据函数单调性可将不等式转化为，分离参数，结合函数单调性可得最值..（3）方法一：由（1）可知，0<a<1e，欲证，只需证，在上单调递减，令，则在上单调递减，易知，所以只需证，即证．设，函数，根据导数判断函数单调性，即可得证；方法二：由（1）可知，0<a<1e，所以欲证，只需证证，在上单调递增，令，则在上单调递增，易知，所以只需证，即证，设，函数，求导，根据导数判断函数单调性，进而可得证；方法三：由（1）可知，0<a<1e，所以欲证，只需证．即证，令t=x2x1>1，①，又因为，所以②，可得，，所以只需证，构造函数，求导，设，求导，根据导数判断函数单调性，进而判断函数最值，即可判断单调性，再根据切线不等式可证，即可得证；方法四：由（1）可知，0<a<1e，所以欲证，只需证，因为，，所以，设函数，求导，判断函数单调性，可得，化简可得．因为，所以，即，所以成立．【详解】（1）fx的定义域为0,+∞，当时，f′x>0，函数当时，f′x<0，函数故函数fx的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）由恒成立，可知，方法一：因为，设，函数gx在R上单调递增，所以恒成立，即恒成立，由（1）可知fx的最大值为，所以，即实数m的取值范围是；方法2：因为设，函数gx在0,+∞因为，，所以恒成立，所以，即恒成立，由（1）可知fx的最大值为，所以，即实数m的取值范围是；（3）证明：方法一：由（1）可知，0<a<1e欲证，只需证，即证．在上单调递减，令，则在上单调递减．因为，且，所以欲证，只需证，即证，即证．设，函数，则．令，则当t>1时，，故在上单调递增，所以，所以当t>1时，，在上单调递增，所以，即，即成立，所以成立．方法二：由（1）可知，0<a<1e欲证，只需证，即证．在上单调递增，令，则在上单调递增．因为，且．所以欲证，只需证，即证，即证．设，函数，则．令，则当时，，故在0,1上单调递减，所以，所以当时，，在0,1上单调递增，所以，即，即成立，所以成立．方法三：由（1）可知，0<a<1e欲证，只需证．因为，即证．令t=x2x1>1又因为，所以．②由①、②两式，可解得，，所以只需证．设函数，则．因为t>1，所以，．设函数，则，所以在上单调递增，所以，因此，在上单调递增．设函数，则．当x>1时，ℎ′x<0当0<x<1时，ℎ′x>0所以，即（当且仅当x=1时取等号）．因为t>1，所以，即，．所以，因为t>1，所以，又因为当时，，两边夹可得，当时，，，因为在上单调递增，所以t>1时，，即，所以成立．方法四：由（1）可知，0<a<1e欲证，只需证，即证，即证．因为，，所以，设函数，则，在0,+∞上单调递增，所以，即，即，所以，所以，展开整理，得．因为，所以，即，所以成立．19．(1)1(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）解法一：根据洛必达法则先化简分式，然后求导可得结果；解法二：根据洛必达法则对分子分母求导可得结果.（2）（i）先化简不等式，构造新函数，对新函数求导，判断单调性，根据洛必达法则获取新函数的最值，即可求得a的取值范围；（ii）对函数求导，将其导数构造新函数，对此函数求导判断单调性，可证得，然后对不等式相加求和化简即可证明结论.【详解