离散型随机变量的均值含解析

2.3离散型随机变量的均值与方差

2.3.1离散型随机变量的均值

学习目标核心素养

1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根1.通过离散型随机变量的均

据离散型随机变量的分布列求出均值.(重点)值的学习，体会数学抽象的

2.掌握两点分知、一项分年的均值.(重点)素养.

3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实2.应用随机变量的均值解题

际问题.(难点)提升数学运算的素养.

I.离散型随机变量的均值

(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的王均丞士.

(3)性质：如果x为(离散型)随机变量，则y=〃x+仇其中小〃为常数)也是随

机变量，且P(y=的+。=P(X=M),j=1,2,3,…，n.E(Y)=E(aX+b)=aE(X)-\-b.

2.两点分布和二项分布的均值

(1)若X服从两点分布，则E(X)=a

(2)若X〜B(〃,p),则E(X)=改.

思考：随机变量的均值与样本平均值有什么关系？

［提示］随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均

值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机样本，随着样本

容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值.

1.若随机变量X的分布列为

31111

C[E(X)=Lr^=(-l)X-4-0X-4-lX-=--.l

?=i

2,设E(X)=10,则臼3X+5)=.

35[E(3X+5)=3E(X)4-5=3X10+5=35.]

3.若随机变量X服从二项分布04,；),则石(X)的值为.

414

■j[E(X)=np=4X^=y]

求离散型随机变量的均值

[例1]某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多

有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考

试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考

试通过的概率依次为0.6,0.708,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布

列和X的均值.

[解IX的取值分别为123,4.

X=l,表明李明第一次参加驾照考试就通过了，

故P(X=1)=0.6.

X=2,表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X=2)=(|-

0.6)X0.7=0.?.8,

X=3,表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，

故P(X=3)=(1-0.6)X(l-().7)X().8=0.096.

X=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X=4)=(l-0.6)X(l-

0.7)X(1-0.8)=0.024.

所以李明一年内参加考试次数X的分布列为

X1234

P0.60.280.0960.024

所以X的均值为E(X)=1X0.6+2X0.28+3X0.096+4X0.024=1.544.

求离散型随机变量X的均值的步骤

I.理解X的实际意义，并写出X的全部取值.

2.求出X取每个值的概率.

3.写出X的分布列(有时也可省略).

4.利用定义公式E(X)=X\p\-\-XipiH--\~Xnpn求出均值.

其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的

相关知识.

［跟进训练］

1.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两芋废电池.现在无放回地每

次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值.

［解］X可取的值为123,

3233

则P(X=1)=§p(x=2)=,Xj=而，

P(X=3)=|x：Xl=^.

抽取次数X的分布列为

X123

331

P51010

宓*2离散型随机变量的均值公式及性质

［例2］已知随机变量X的分布列如下:

X-2—1012

1111

Pm

43520

⑴求〃，的值；

⑵求E(X)；

(3)若y=2x-3,求E(K).

［解］⑴由随机变量分布列的性质，得;+:+4+〃?+表=1,

解得"?=:.

⑵E(X)=(-2)X；+(-l)xg+0x/+lx3+2X*一公

(3)法一：(公式法)由公式E(4X+A)=aE(X)+〃，得E(K)=E(2X-3)=2E(X)-3

=2X(-用-3=一学

法二：(直接法)由于y=2x-3,所以y的分布列如下:

I.该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)

=X\p\+X2〃2H------求解.

2.对于aX+b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX+b)=aE(X)

十仇也可以先列出aX+h的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者

较方便.

［跟进训练］

2.已知随机变量X的分布列为

~3[E(X)=1X^4-2x1+3x1=^.

•.♦y=aX+3,・・・石(丹=。七(％)+3=|〃+3=-2.

解得。=-3.］

两点分布与二项分布的均值

【例3】某运动员投篮命中率为〃=0.6.

(1)求投篮1次时命中次数X的均值；

⑵求重复5次投篮时，命中次数y的均值.

［思路点拨］(1)利用两点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解.

［解］(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：

X01

P0.40.6

则E(X)=0.6.

(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数丫服从二项分布，即"8(506),则

E(r)=〃p=5X0.6=3.

1.(变换条件)求重友10次投篮时，命中次数4的均值.

［解］E(c)=10X0.6=6.

2.(改变问法)重复5次投篮时，命中次数为Y,命中一次得3分，求5次投

篮得分的均值.

［解］设投篮得分为变量小则"=3上

所以E(f/)=E(3Y)=3E(Y)=3X3=9.

1.常见的两种分布的均值

设〃为一次试验中成功的概率，则

(1)两点分布E(X)=p；

(2)二项分布顼X)=〃p.

熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度.

2.两点分布与二项分布辨析

(I)相同点：一次试验中要么发生要么不发生.

(2)不同点:

①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为01，二项分布中随机变

量的取值x=0,1,2,…，n.

②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二二页分布则进行〃次试验.

离散型随机变量均值的实际应用

［探究问题I

1.某篮球明星罚球命中率为0.7,罚球命中得1分，不中得0分，若该球星

在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？

Q

［提示］每次平均得分为备=08

2.在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少

吗？为什么？

［提示I在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0X03+1X0.7=

().7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的

数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分

应该是非常接近X的均值的一个分数.

【例4】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二

等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润

分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位:

元)为X.

(1)求X的分布列；

(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；

(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为

70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多

少？

[解KDX的所有可能取值有6,2,1,-2.

[26

P(X=6)=2Q0=063,

P(X=2)=荻=0.25,P(X=1)=砺=0.1,

4

P(X=-2)=255=0.02.

故X的分布列为：

X621-2

P0.630.250.10.02

(2)E(X)=6X0.63+2X0.25+lX0.1+(-2)X0.02=4.34.

(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时I件产品的干均利润为

E(X)=6X0.7+2X(|-0.7-0.01-x)+lXx+(-2)X0.01

=4.76—x(O0WO.29).

依题意，E(X)力4.73,即4.76—工24.73,

解得％W().O3,所以三等品率最多为3%.

1.实际问题中的均值问题

均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，

工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机

变量的均值来进行估计.

2.概率模型的三个解答步骤

(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公

式有哪些.

(2)确定随机变量的分方列，计算随机变量的均值.

(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.

［跟进训练］

3.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的

中奖率为12中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为2刍中奖可以获得3分；未中

奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结

束后凭分数兑换奖品.

(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,

求XW3的概率；

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何

种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

22

［解］(1)由已知得小明中奖的概率为引小红中奖的概,率为小两人中奖与否互

不影响，记“这2人的累计得分XW3”为事件A,

则事件A的对立事件为“X=5”，

224

因为"(丫=5)=?义5=正，

所以P(A)=I-P(X=5)=去.

所以这两人的累计得分XW3的概率为H

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X,都选择方案乙抽奖中奖

的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为£(2M),选择方案

乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).

22

由已知得Xi〜82,yX2〜B2,彳

2424

所以E(Xi)=2Xg=1,E(X2)=2X^=-

所以£(2X)=2风必)=|,

E(3X2)-3F(X2)=y.

因为E(2XI)>E(3X2),

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.

1.求离散型随机变量均值的步骤：

(1)确定离散型随机变量X的取值；

(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；

(3)根据公式写出均值.

2.若x,y是两个随机变量，且y=〃x+A则E(y)=〃E(x)+。；如果一个随

机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.

1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)随机变量X的数学期望石(X)是个变量，其随X的变化而变化.

()

(2)随机变量的均值反映样本的平均水平.()

(3)若随机变量X的数学期望K(X)=2,则E(2X)=4.()

(4)随机变量X的均值E(X)=)

［答案］⑴X(2)X(3”(4)X

2.已知随机变量X的分布列为

X123

P0.20.5m

则X的均值是(

A.2B.2.1

C.2.3D.随/〃的变化而变化

B［由0.2+0.5+/〃=1得机=0.3,

AE(X)=1