鲁教版七年级数学上册复习知识点总结

鲁教版初二上数学知识点梳理

第一章三角形

1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图

形叫做三角形.

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成

的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为

△ABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示,AC可用b表示,BC

可用a表示.

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；

（2）三角形是一个封闭的图形；

（3）AABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义.

2.三角形的分类：

（1）按边分类：

（2）按角分类：

（直角三象形

三角形4

锐角三角形

斜三角形"

,钝角三角形

3.三角形的主要线段的定义：

（1）三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段.

表示法：LAD是AABC的BC上的中线.

1

2.BD=DC=-BC.

2

注意：①三角形的中线是线段：

②三角形三条中线全在三角形的内部；

③三角形三条中线交于三角形内部一点；

④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.

（2）三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段

表示法：I.AD是AABC的NBAC的平分线.

2.Z1=Z2=-ZBAC.

2

注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部;

③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；

④用量角器画三角形的角平分线.

（3）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段./

表示法：1.AD是AABC的BC上的高线./\

2.AD1BCTD./\

3.ZADB=ZADC=90°.BDC

注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有

两条窗在形外；

③三角形三条高所在直线交于一点.

如图5,6,7,三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角

三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角

顶点上.

4.三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短：

（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.

5.三角形的角与角之间的关系：

（1）三角形三个内角的和等于180°;（三角形的内角和定理）

（2）直角三角形的两个锐角互余.

6.三角形的稳定性：图8

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性.

注意：（1）三角形具有稳定性；

（2）四边形没有稳定性.

7.三角形全等：

全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点;

重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.

三角形全等的判定方法：

1.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.

［对应角相等

〔对应边相等

‘边边边SSS

全等形一全等三角形，边角边SAS=＞应用

判定•角边角ASA

角角边AAS

斜边、直角边HL

作图

角平分线

性质与判定定理

三角形全等的应用：测距离

要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）己知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等（AAS）

（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）

第二章轴对称

轴对称现象

1.轴对称图形：（1）如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互

相重合，这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。（注意:对称轴是一条直线，不是线段,

也不是射线）。

（2）轴对称图形至少有一条对称轴，最多可达无数条。

例:①圆的劝称轴是它的直径（X）直径是线段，而对称轴是直线（应说圆的对称轴是过圆

心的直线或直径所在的直线）；

②角的对称轴是它的角平分线（X）角平分线是射线而不是直线（应说角的对称轴是

角平分线所在的直线）；

③正方形的对角线是正方形的对称轴（X）对角线也是线段而不是直线。

I.把一个图膨沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做

|轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（丽万

对称。

2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么

就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应

点，叫做对称点

2.轴对称：（1）对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能够完全重合，那

么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。（成轴对称的两图形本身可以不是轴对称

图形）。

（2）轴对称图形与轴对称的关系：

①联系：都是沿一条直线折叠后能够互相重合;当把成轴对称的两个图形看成一个

整体时，它是一个轴对称图形：

②区别:轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形之间的关系。

用坐标表示轴对称小结：

1.在平面直角坐标系中

①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数；

②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等；

③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；

④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；

⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为_（x,-y）.

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）—.

简单的轴对称图形

有两边相等的三角形叫等腰三角形。

1.三线合一定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线

合一”，它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴）。注意:对于一般的等腰三角形，一定要说

清哪边上的中线、高和哪个角的平分线;等边三角形有三组三线合一，任意一边上的中线和高

及其所对的角的平分线。

2.等角对等边，等边对等角：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等；如

果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等。

3.角平分线定理:角平分线上的任意一点到角的两边的距离（垂线段）相等。

4.中垂线定理⑴概念：既垂直乂平分线段的直线叫垂直平分线,简称中垂线；

（2）定理:垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离（与端点的连线）相等。

（3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等

5.（等腰三角形）知识点回顾

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）

理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。

2.等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

6.（等边三角形）知识点回顾

L等边三角形的性质：

等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。

2、等边三角形的判定：

①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的

一半°

探索轴对称的性质

1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分；

2.轴对称图形对应线段相等，对应角相等。

利用轴对称设计图案

1.画点A关于直线L的对应点A':1.过点A作对称轴L的垂线，垂足为B

2、延长AB至A',使得BA'=AB

3.点A'就是点A关于直线L的对应点

2.画线段AB关于L的对应线段A'B':1.过点A作对称

轴L的垂线AA\使CA=CA'

2.过点A作对称轴L的垂线BB',使DB=DBr

3、连接A'B',A'B’即是关于直线L的对应线段。

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

轴对称图形轴对称

图形A

BCBCCB,

（1）轴对称图形是指（->（1）轴对称是指（两个）图形

区别具有特殊形状的图形，的位置关系，必须涉及

只对（一个）图形而言;（两个）图形；

（2）对称轴不一定只有一条（2）只有（—条）对称轴.

如果把轴对称图形沿对称轴如果把两个成轴对称的图形

联系分成两部分，那么这两个图形拼在一起看成一个整体，那

就关于这条直线成轴对称.么它就是一个轴对称图形.

第三章勾股定理

探索勾股定理

勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形

两直角边的平方和等于斜边的平方。（一个直角三角形，以它的两直角边为边长所作的两正方

形面积之和等于以它的斜边为边长所作的正方形的面积）

在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜

边叫做弦。

注意：电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。

勾股数

1.勾股定理的逆定理:若三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角

形。

在&BC中，a,b,c为三边长，其中c为最大边，

若才十代/,则AABC为直角三角形；

若4,则AABC为锐角三角形；

若才+欣,则AABC为钝角三角形。

2.勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数（即能构成一个直角三角形三边的一组正整数），

称为勾股数（勾股数是正整数）。

规律：••组能构成直角三角形的三边的数，同时扩大或缩小同••倍数（即同乘以或除以同••个

正数），仍能够成直角三角形。

一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数.

常用勾股数：3,4,5（三四五）9,12,15（3,4,5的三倍）5,12,13（5.12记一生）

8,15,17（八月十五在一起）6,8,10（3,4,5的两倍）7,24,25（企鹅是二百五）

勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5；连续的偶数勾股数只有6,8,10。

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c满足团，那么这个三角形是直角三角形。

根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：

（1）确定最大边；

（2）算出最大边的平方，另两边的平方和；

（3）比较最大边的平方与另两边的平方和，如果相等则此三角形是直角三角形。不要盲

目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。

勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有：

（1）已知直角三角形的任两边，求第三边问题；

（2）证明三角形中的某些线段的平方关系：

（3）作长为无理数的线段.

注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。若求直角边，则

利用勾股定理的变形式或；若求斜边，则利用；若不能确定则分以上两种情况讨论。

题型一：直接考查勾股定理

例1.在中，.分析：直接应用勾股定理

⑴已知，.求的长解：⑴

⑵己知，，求的长解：⑵

题型二：应用勾股定理建立方程

例2.⑴在中，,,于，

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为

分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.

有时可根据勾股定理列方程求解

解：⑴，

⑵设两直角边的长分别为，，，

⑶设两直角边分别为，，则，，可得

例3.如图中，，，，，求的长

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来

解：作于，

:.DE=CD=\.5

在MDE中

/BED=90°,BE=>JBD2-DE2=2

RlMCD三RtAAED

：.AC=AE

在中，

例4.如图，，分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面枳

答案：6

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到

另一棵数的树梢，至少飞了

八

分析：根据题意建立数学模型，如图，，，过点作，垂足为，则

在中，由勾股定理得

答案：

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三边长为，，，判定是否为

①，，②，，

解：①，

/.A4BC是直角二角形且NC=9()c

②，，不是直角三角形

例7.三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？

解：此三角形是直角三角形

理由：，且

r.a2+b2=c2所以此三角形是直角三角形

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.已知中，，，边上的中线，求证：

证明：

第四章实数

产整数、

整数J零

->

有理数负整数有限小数或无限循环小数

正分数

分数

负分数小数

1.实数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。

>O)

绝对值

[a|=<O(a=O)

——vO)

无理数

有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都

是有理数。

1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:①无限②不循环)。

练习：下列说法正确的是()

(A)无限小数是无理数；

(B)带根号的数是无理数；

(C)无理数是开方开不尽的数；

(D)无理数包括正无理数和负无理数

2.无理数：(1)特定意义的数，如n；

(2)特定结构的数；如2.02002000200002-

(3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如

3.分类:正无理数和负无理数。

算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于m即小=〃

那么这个非负数x就叫做〃的算术平方根，记为右,

算术平方根为非负数石20

正数的平方根有2个，它们互为相反数

平方根，0的平方根是9

|负数没有平方根

2.无理数的表示？定义：如果一个数的平方等干〃.即/=〃,那么这个数就

叫做。的平方根，记为±&

正数的立方根是正数

立方根■负数的立方根是负数

0的立方根是0

定义:如果一个数X的立方等于小即E=〃，那么这个数」

就叫做〃的立方根，记为妫.

概念有理数和无理数统称实数

'正数

［有理数…

分类，无理数或,

—

［负数

3.实数及其相关概念•

绝对值、相反数、倒数的意义同有理数

实数与数轴上的点是一一对应

实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则

运算规律相同。

平方根

1.定义:如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根(也叫做二次

方根)。

2.表示方法：正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根；另一个是一，它们是一

对互为相反数，合起来是

3.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负

数)。开平方与乘方是互为逆运算。

判断：(1)2是4的平方根()

(2)-2是4的平方根()

(3)4的平方根是2()

(4)4的算术平方根是-2()

(5)17的平方根是()

(6)-16的平方根是-4()

小结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

0只有一个平方根，它是0本身；

负数没有平方根。

立方根

1.定义：如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。

2.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是()。

3.开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(其中,a叫被开方数)。

4.平方根与立方根的联系与区别：

(1)联系:①。的平方根、立方根都有一个是0;

②平方根、立方根都是开方的结果。

(2)区另IJ：①定义不同：②个数不同：③表示方法不同：④被开方数的取值范围不同。

方根的估算

1.估算无理数的方法是(1)通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围；(2)

根据问题中误差允许的范围，在真值的范围内取出近似值。

2.“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差

小于1m,答案在真值左右hn都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到

个位，误差小于10m就是估算到十位。

用计算器开方

实数

知识回顾：1.统称有理数；

2.叫做无理数；

3.有理数分为小数和小数;

4.有理数包括、零、。

1.实数:有理数和无理数统称为实数(正实数,0和负实数)。

2.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的

意义完全一样。

3.每一个实数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上的每一点都表示一个实数，即实数

和数轴上的点是一一对应的。

例:a是一个实数,它的相反数是绝对值是o

如果aWO,那么它的倒数是________o

第五章平面直角坐标系

5.1确定位置

引例：电影票、角、教室座位、经纬度

在平面上确定物体的位置-•般需要两个数据a和b记作(a,b),

a表示:排、行、经度、角度……

b表示:号、列、纬度、距离……

生活中还有哪些确定位置的其他方法？

(1)如果全班同学站成一歹J做早操，现在教师想找某个同学，是否还需要用2个数据呢？

(2)多层电影院确定座位位置用两个数据够用吗？

必须有三个数据(a,b,c),其中a表示层数，b表示排号，c表示座号，即“a层b排c

号”。

(3)确定小区中住户的位置必须有四个数据，分别为楼号a,单元号b,层数c和住户号d,

即“a楼b单元c层d号。”

(4)区域定位法：绘出所在区域代号如B3,D5等。排球比赛队员场上的位置等。

准确定位需几个独立数据？

(1)已知在某列或某行上，只需一个数据定位；

(2)在一个平面内确定物体位置,需两个数据；

(3)在空间中确定物体位置,需要三个独立数据。

5.2平面直角坐标系

1.平面直角坐标系:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。

坐标原点(0,0),第一二三四象限,注意:坐标轴上的点不属于任何象限

2.坐标:在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反之，任意一点的位

置都可以用一对有序实数来表示。这样的有序实数对叫做点的坐标。

规律1：

⑴点P(x,y)在第一象限-->x>0,y>0；点P(x,y)在第二象限--*x<0,y>0；

点P(x,y)在第三象限*x<0,y<()；点P(x,y)在第四象限*--**x>0,y<0。

(2)x轴上的点的纵坐标为D,表示为(x,0),y轴上的点的横坐标为0,表示为(0,y)

点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,到原点的距离是。

例:到x轴的距离为2,到,y轴的距离为3的点有个,它们是o

规律2:

⑴关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数；

⑵关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数；

⑶关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数。

⑷平行于x轴的直线上的点，其纵坐标相同，两点间的距离二；

⑸平行于y轴的直线上的点，其横坐标相同，两点间的距离=；

⑹一、三象限的角平分线上的点横坐标等于纵坐标，可记作：(ni,m)；

⑺二、四象限的角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数，可记作：(m,-m)0

点拨:同一点在不同的平面直角坐标系中，其坐标不同；

根据实际需要，可以建适当的平面直角坐标系。

第六章一次函数

6.1函数

常量:在变化过程中，保持不变取值的量叫常量。

变量:在变化过程中，可以不断变化取值的量叫变量。

函数:一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x和yo如果对于变量x的每一个值，变量

y都有唯一的值与它对应，我们称y是x的函数。其中,x是自变量,y是因变量。

函数中自变量取值范围的求法：

(1)用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

(2)用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

(3)用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

(4)若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再

求其公共范围，即为自变量的取值范围。

(5)对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

6.2一次函数

若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k不为零)的形式，则称y是x的

一次函数。x为自变量,y为因变量。特别地，当b=0时，祢y是x的正比例函数(正比例函数

是特殊的一次函数)。

6.3一次函数的图像

1.函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点

的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

2.用描点法画函数的图象的一般步骤

1.列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）

注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2.描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数

值对应的各点。

3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。

3.函数有三种表示形式：（1）列表法（2）图像法（3）解析式法

4.正比例函数与一次函数的概念：

一般地，形如y=kx（k为常数，且kWO）的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。

一般地，形如产kx+b（k,b为常数，且kWO）的函数叫做一次函数.

当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数,是一次函数的特例.

5.正比例函数的图象与性质：

（1）图象:正比例函数y=kx（k是常数,kWO））的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直

线丫=匕。

⑵性质:当k>0时,直线产kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大;

当k4）时，直线y=kx经过二，四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

6.求函数解析式的方法：

1.待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出

这个式子的方法。

2.一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y=ax+b的值为0.

3.求ax+b=O（a,b是常数,a#0）的解，从“形”的角度看，求直线y=ax+b与x轴交点的横

坐标

一次函数与一元一次不等式：

解不等式ax+b>O（a,b是常数，aWO）.从“数”的角度看，x为何值时函数

y=ax+b的值人于0.

4.解不等式ax+b>O（a,b是常数，a#0）.从“形”的角度看，求直线尸ax+b

在x轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围.

7.