2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期末试题及答案1

2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期末试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A.C.B.D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断即可；【详解】的左视图、主视图是三角形，俯视图是圆，故A不符合题意；的左视图、主视图是长方形，俯视图是三角形，故B不符合题意；的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故C符合题意；的左视图、主视图是长方形，俯视图是圆，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了几何体三视图的判断，准确分析是解题的关键．12.已知为锐角，且sin，则（ꢀꢀ）2A.B.C.90D.【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．1为锐角，且sin【详解】∵，230∴．故选A．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．3.抛物线y3x26x2的对称轴是（B.直线x2）A.直线x2C.直线x1D.直线x=1【答案】C【解析】【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．y3x26x2x5，2【详解】解：∵(1,5)，对称轴为x1．∴抛物线顶点坐标为故选C．ya(xh)k的顶点坐标为（h，k），2【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线对称轴为x＝h．k4.若点1,4在反比例函数y的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）x14141C.,1,2D.A.B.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可．k【详解】解：将1,4点代入反比例函数解析式，得：k144，yx4y∴反比例函数解析式为：．x1xy16当当时，，故A不符合题意，C不符合题意；，故B不符合题意，D符合题意；4x4时，y1故选：D．5.若x＝﹣1是方程xA.﹣12+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ꢀꢀ）B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】设x+x+m＝0另一个根是α，2∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．6.大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（）A6cmB.8cmC.10cmD.12cm【答案】A【解析】【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则x1015，解得：x=6，9即蜡烛火焰的高度为6cm，故答案为：A．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．7.在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（）13142312A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用列表法进行计算即可．【详解】解：设A表示华山、B表示华阳古镇、C表示太白山，列表如下：CAB,A,B,CABB,AC,AB,BB,CC,BC,CC共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，3913P∴；故选B．【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键．8.yax2ybxc的图象如图所示，则二在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数yax2bxc的图象可能是（）次函数A.B.C.D.【答案】D【解析】yax2ybxca0c0，，【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，b0yaxbxc的图象．2从而判断出二次函数yax2【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，a0∴，ybxc∵次函数的图象经过一、三、四象限，c0∴b0，，yaxbxc的图象，2对于二次函数a0∵∵，开口向上，排除A、B选项；a0，b0，bx0，∴对称轴2a∴D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函a0c0是解题的关键．数图象经过的象限，找出，b0，9.如图，点O为的AB边上的一点，OAC经过点B且恰好与边相切于点C，若B30，AC3，则阴影部分的面积为（）33A.C.B.D.2223323322【答案】D【解析】【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，根据等腰三角形的性质求出BBCO30，可求出AOC60，根据切线的性质得出，然后解直角三角形求出【详解】解：连接，S阴影SAOCS扇形COD求解即可．，最后根据∵，B30，∴BBCO30，BBCO60∴∵，OAC相切，与边∴AC，即，ACtanAOC3∴3，3S阴影SAOCS扇形COD∴23133232360π3．2故选：D．10.xx2已知点A（x，y）、B（x，y）在二次函数y＝x12＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，12211yyy12．若对于任意实数x、x都有1≥2，则c的范围是（C.c＜5或c＞6）22A.c≥5B.c≥6D.5＜c＜6【答案】A【解析】xx2【分析】由当＝1，＝3时，y＝y可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解112析式，将函数解析式化为顶点式可得y＋y的最小值，进而求解．21y1yx【详解】∵当＝1，x2＝3时，．21b∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，2∴b＝﹣4，2∴y＝x2﹣4x＋c＝x2＋c﹣4，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），∴当y＝y＝c﹣4时，y＋y取最小值为2c﹣8，1212∴2c﹣8≥2，解得c≥5．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．x23顶点坐标是______.211.抛物线y【答案】3【解析】【分析】根据顶点式写出顶点坐标即可．x23的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．2【详解】抛物线y故答案为：（﹣2，﹣3）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式求顶点坐标的方法是解答本题的关键．12.一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则可估计红球的个数约为________个．【答案】60【解析】【分析】本题考查了根据频率求总数，熟记频率×总数=个数是解题的关键．直接用频率乘以总数即可．【详解】解：由题意可知红球的个数约为2000.360（个），故答案为：60．13.如图，点A、B、C在O上，若140，则ACB的度数为______．【答案】70【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求解．140【详解】解：∵点A、B、C在⊙O上，，1ACBAOB70∴．2故答案为：70．14.如图，BAC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为______．3【答案】##5【解析】【分析】本题考查网格中的三角形函数，找到角所在的直角三角形是解题的关键．AC3，BC4，C90【详解】解：由图可知：，则ABAC2BC5，2AC35cosBAC∴，AB3故答案为：．515.0.5mAMBN如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室BC在地面的影长CN0.4mAC在地面的影长CM2m，则内的光线．若某一时刻，窗户的高度为______．【答案】2m【解析】【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线AM和BN仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似AC三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度．AM∥BN，ACMBCN，ACCM，BCCN0.5m，CN0.4m，CM2m，2.5m，ABACBC2m故答案为：2m．，则窗户的高度为2m，16.如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿，延长交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定FHEF折叠得△HEF1DFAF是直角三角形；②△BEM△HEM；③当M与C重合时，有；④平分正3ABCD的面积；③4FHMHAB2，在以上5个结论中，正确的有______．方形【答案】①②③⑤【解析】【分析】由折叠的性质可得RtEMH≌RtFAFH，EAEH，AFHE90°，由“HL”可FEM90，证，可得，由平角的性质可求，可得AB24，故①和②正确；通过证明，可得AEEB2aCD4a，通过证明故⑤正确；如图1，设．则11a，可得DFAF，故③正确；当AEFBCE，可得，可求23点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．ABCD【详解】解：∵四边形∴AB90，∵E为AB的中点，是正方形，∴，FAFH，EAEH，AFHE90由翻折可知：，B90∴∵，EMEM，EHEB，∴RtEMH≌RtEMB（，∴，FEA，∵1FEMFEHAEHBEH90∴2∴△EFM是直角三角形，故①②正确，FEM90∵∴，FEH90FEHEFH，∴EFHHEM，90又∵，∴，∴，1EHEBAB又∵2∴AB4，故⑤正确，2如图1中，当M与C重合时，AEEB2aCD4a，设．则∵FEM90，AEFCEB90AEFAFE，∴∴，又∵AB90，∴AEFBCE，，12∴a∴∴∴，，3，1DFAF∴，故③正确，3如图2中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，综上所述，正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°．【答案】﹣1.5【解析】【分析】把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可.【详解】2sin30°+3cos60°﹣4tan45°112341=22=-1.5.【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式的计算等考点．18.解方程：x28x90．x9x1【答案】【解析】，21【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：x28x90，分解因式得：x9x0，∴x90或x10，．x9x1解得：，21【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握十字相乘法分解因式，是解题的关键．19.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l、l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=812，DE=3，求DF的长．【答案】7【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．【详解】解：∵AD∥BE∥CF，AB∴，AC∵AB=6，BC=8，DE=3，36∴，DF68∴DF=7．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20.为了传承中国传统文化，某校七年级组织了一次全体学生“汉字听写”大赛，每位学生听写汉字39个，随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理，绘制成如图的统计图表：组别正确字数x人数10ABCDE0x88x161516x242524x32m32x40n根据以上信息完成下列问题：mn_________，__________，并补全条形统计图；（1）统计表中的（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是____________；（3）已知该校七年级共有800名学生，如果听写正确的字的个数不少于24个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数．【答案】（1）30，20；补全图形见解析（2）90（3）估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．【解析】【分析】（1）根据B组人数以及百分比求出总人数，再根据D、E的百分比求出人数即可，再补全图形；（2）根据圆心角=360°×百分比即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【小问1详解】解：总人数=15÷15%=100，∴m=100×30%=30，n=100×20%=20，条形统计图如图所示：故答案为30，20；【小问2详解】25Q´100%=25%,100所以扇形统计图中“C组“所对应的圆心角的度数是360°×25%=90°．故答案为90°．【小问3详解】30+20800´=400（人），100答：估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，从频数分布表与直方图中获取互相关联的信息是解本题的关键．21.每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等，求脐橙的销量增长率是多少．【答案】脐橙的销量增长率是【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设销量增长率为x，根据2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，列出方程，解方程即可．【详解】解：由题意，设销量增长率为x，7.2．2∴51xx或x（不合题意，舍去）．0.220%．∴∴答：脐橙的销量增长率为．22.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角EAD22ABADBAD39，真空管AB的长度为2.5，真空管与水平线的夹角米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：sin390.629cos390.777，tan390.810，sin220.375，cos220.927，220.404，）BCAD（1）求水平横管（2）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）；BC的长度（结果精确到0.1米）．BCAD的距离约为1.6米【答案】（1）水平横管到水平线BC（2）水平横管的长度约为0.5米【解析】【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，（1）作于F，在Rt中，即可得sin391.6；△（2）根据矩形判定和性质求出=CD-CE=1，再在RtVADE中，根据在1AD2.48，可求出AD△ABF的长度，在Rt中，求出中，根据tan220.404AF·cosBAFAD与的长度差．可求出AF的长度，从而可求出【小问1详解】FAFB90解：过B作于，Rt在中，，AB2.5米，，BFABsin392.50.6291.57251.6米．BCAD答：水平横管到水平线的距离约为1.6米；【小问2详解】FBCBCDD90，四边形BCDF为矩形，BCDF，CDBF1.6米，0.6米，DE1.60.61米，DE△tanDAE在中，，AD22,11AD2.48米，tan220.404AF在Rt中，BAF，ABAB2.5米，，AFABcos392.50.7771.94251.94米．DFADAF2.481.940.540.5米．BCDF0.5米，BC答：水平横管的长度约为0.5米．23.如图，已知AB是O的直径，直线是OAE的切线，切点为C，，垂足为EAC，连接．AC平分（1）求证：；34（2）若10，ACEO，求的半径．253【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）连接，根据切线的性质得到，从而可得，再根据等腰三角∥形的性质和平行线的性质，即可证得答案；3ABCACEtantanACEBC（2）连接，先证明，则，根据三角函4BCAB的长，从而得到答案．数的定义，可求得【小问1详解】连接，的长，最后根据勾股定理可求得直线是O的切线，切点为C，，AE，∥，ACO，，ACOOAC，，平分；【小问2详解】BC连接，OAB是的直径，ACB90，CAB90AE，ACE90由（1）得，ABCACE，34tantanACERt△10在中，，34，3503Rt△22在中，，25．324.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线34k9H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．x2（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．3398【答案】（1）k＝9，b＝3；（2）m＝﹣23；（3）（0，﹣）或（0，）4【解析】9【分析】（1）利用待定系数法将点P（2，）分别代入直线l和双曲线H的解析式中，即可2求出k和b的值；3939（2）由题意可得E（m，m+3），D（m，），可得ED＝m+3﹣，利用ED＝BO，建m4m4立方程求解即可；5（3）过点E作EF⊥y轴于点F，运用勾股定理求出BE＝|m|，由于四边形BCDE是菱形，可4得BE＝DE＝BC，建立方程求解即可．9k92k【详解】解：（1）把点P（2，）代入y＝，得：x＝，22解得：k＝9；9339把点P（2，）代入y＝x+b，得：+b＝4，222解得：b＝3；3（2）在直线y＝x+3中，令x＝0，得：y＝3，4∴B（0，3），∴OB＝3，3令y＝0，得：x+3＝0，4解得：x＝﹣4，∴A（﹣4，0），39∵直线x＝m分别与直线y＝x+3和双曲线y＝交于点E、D．4x39∴E（m，m+3），D（m，），4m∵点E在线段AB上，∴﹣4≤m≤0，39∴ED＝m+3﹣，4∵ED＝BO，3m9∴m+3﹣＝3，4m解得：m＝﹣23，m＝23，12经检验，m＝﹣23，m＝23都是原方程的解，但﹣4≤m≤0，12∴m＝﹣23；（3）如图，过点E作EF⊥y轴于点F，39∵B（0，3），E（m，m+3），D（m，），4m3∴F（0，m+3），432∴BE2＝BF2+EF2＝[3﹣（m+3）]42+m2＝m，5∴BE＝|m|，439又有DE＝|m+3﹣|，4m∵四边形BCDE是菱形，∴BE＝DE＝BC，539∴|m|＝|m+3﹣|，44m3解得：m＝﹣3，m＝1，223当m1＝﹣3时，D（﹣3，﹣3），E（﹣3，），434∴DE＝﹣（﹣3）＝4，∴BC＝，43∴C（0，﹣）；43332338当m2＝时，D（，6），E（，），2∴DE＝6﹣1523315＝，88∴BC＝，8398∴C（0，）；3398综上所述，点C的坐标为（0，﹣）或（0，4）．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合题，待定系数法，勾股定理，菱形性质等，熟练掌握反比例函数图像和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．25.综合与探究yxc与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是2如图，抛物线，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．04（1）求抛物线的解析式．（2）P为线段上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，D点坐标为m,0，PCD面积为S．①求PCD的的面积S的最大值．②在上是否存在点P，使PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．yx3x42【答案】（1）1245（2）①5；②存在，点P的坐标为或5【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）①利用待定系数法可得直线的解析式为5yx，由题意得212155PDm10mm252S，运用二次函数的性质可求得答224案；②由于PDC90CPD90时，当，不可能为直角，故分两种情况：当PCD90时，分别求出点P的坐标即可．【小问1详解】yxc与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是2解：∵抛物线，点C的坐标是，04016bc∴，4cb3解得：，c4yx23x4．∴该抛物线的解析式为【小问2详解】29944325yx23x4x23x4x解：①∵，2432524M，∴抛物线的顶点为ykxd设直线的解析式为4kd0，325，则kd245k2，d解得：5yx∴直线的解析式为2532P，m10D0，其中4m由题意得，，25PDm10，m∴，212155PDm10mm225S22450∵，4∴当m2时，S取得最大值为5；②存在，理由如下：PDC90CDO∵∴当，PDC90，不可能为直角；CPD90时，则CPD，∴∥x轴，54m10∴2125m=-解得：，124∴点P的坐标为；5当则PCD90时，过点P作yPKC90COD，轴于K，如图，DCOCDO90PCD90，∴∵∴∴，，DCOPCK90PCKCDO，∴PCKCDO，PKCK∴，PKO90∵，∴四边形是矩形，5PK，PDm10∴∴255CKm104m62252m6mm∴，4解得：12，22，34m∵，2∴m2，5∴PD10522124或5，综上所述，当PCD为直角三角形时，点P的坐标为5【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，直角三角形性质，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质等；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题关键．26.（1）问题发现：如图（1）．在Rt和RtBDE中，ADEB30,BCBERtBDE绕点B逆时针旋转．H为CD边的中点，当点C与点重合时．E与AE的位置关系为，与AE的数量关系为．RtBDE（2）问题证明：在绕点B逆时针旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2的情形给出证明，若不成立，请说明理山，RtBDE（3）拓展应用：在BH2的长．绕点B逆时针旋转旋转的过程中，当DE//BC时，直接写出3334【答案】（1）BHAE,BHAE；（2）成立，见解析；（3）3或63334【解析】【分析】（1）如图1，延长BH交AC于点G，根据直角三角形斜边上的中线的性质及已知条件可得∠BDC=∠ABG=60°，进而得到∠A+∠ABG=90°，即可得到BH⊥AE，根据锐角三角函数3的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质即可得到BHAE；6（2）延长DB至点P，使BP，根据“SAS”证明△DBE≌△PBE，得到30，进而证明，根据30°直角三角形的性质ABBC3333CBP，从而得到，再证明，得到3ABBEBPCP1BH3BHCP,BH//CP，；，根据中位线定理得到，即可得到2AE6（3）分两种情况讨论，①①如图3-1中，当DE在BCAB交DE于点F，根据边角关系以及勾股定理求出AE2，再根据BHAE3，即可解答；②如图3-6BHAE32中，当DE在BC的上方时，同法可得AF，EF的长度，求出求出AE2，再根据，即6可解答．【详解】解：（1）如图1，延长BH交AC于点G，∵点H是Rt△BDC中CD的中点，∴BH=DH，∵A30，∴∠BDC=∠ABG=60°，∴∠A+∠ABG=90°，∴∠AGB=90°，即BH⊥AE，∵在Rt△ABC中，BC=3，∠A=30°，∴AE=2BC=6，在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BC3023∴CD=，∵点H为CD的中点，1CD3∴BH=，2AEBH6∴，33∴BHAE63故答案为：BHAE,BHAE6（2）成立证明如下：延长DB至点P，使BP，EP,CP,CPBE,AE于点G,O，如图2所示.连接分别交在△DBE与△PBE中，BDBPEBDPBE90BEBE≌PBESAS,BEP30BAC30，ABC90ABCEBPABBCBEBPRtCAB30在，BCBCtanCABAB333AB33ABBC3BEBPABEABCCBE,CBPEBPCBE,CBP,ABECBP,AEAB3CPBCH为CD的中点，B为DP中点，1BHCP,BH//CP,2BHAE36AEBCPB,CGE,EOGPBG90，CPAE.//CP,BHAE.∴（1）中的结论仍然成立，（3）①如图3-1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于点F，∵DE∥BC，∴∠ABC=∠BFD=90°，由题意可知，BC=BE=3，AB=33，BD=3，DE=23，1232∴BF=，BFtan30332EF=，32∴AF=33+，32332232)(2)=36+93，∴AE2=2BHAE3∵∴，，6BHAE221123693334∴BH23，1232332②如图3-2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF=33，EF=，3233223)2(2)=3693，∴AE2=293334∴2333334综上所述，BH2为3或3．4【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期末试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A.C.B.D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断即可；【详解】的左视图、主视图是三角形，俯视图是圆，故A不符合题意；的左视图、主视图是长方形，俯视图是三角形，故B不符合题意；的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故C符合题意；的左视图、主视图是长方形，俯视图是圆，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了几何体三视图的判断，准确分析是解题的关键．12.已知为锐角，且sin，则（ꢀꢀ）2A.B.C.90D.【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．1为锐角，且sin【详解】∵，230∴．故选A．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．3.抛物线y3x26x2的对称轴是（B.直线x2）A.直线x2C.直线x1D.直线x=1【答案】C【解析】【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．y3x26x2x5，2【详解】解：∵(1,5)，对称轴为x1．∴抛物线顶点坐标为故选C．ya(xh)k的顶点坐标为（h，k），2【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线对称轴为x＝h．k4.若点1,4在反比例函数y的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）x14141C.,1,2D.A.B.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可．k【详解】解：将1,4点代入反比例函数解析式，得：k144，yx4y∴反比例函数解析式为：．x1xy16当当时，，故A不符合题意，C不符合题意；，故B不符合题意，D符合题意；4x4时，y1故选：D．5.若x＝﹣1是方程xA.﹣12+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ꢀꢀ）B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】设x+x+m＝0另一个根是α，2∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．6.大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（）A6cmB.8cmC.10cmD.12cm【答案】A【解析】【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则x1015，解得：x=6，9即蜡烛火焰的高度为6cm，故答案为：A．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．7.在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（）13142312A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用列表法进行计算即可．【详解】解：设A表示华山、B表示华阳古镇、C表示太白山，列表如下：CAB,A,B,CABB,AC,AB,BB,CC,BC,CC共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，3913P∴；故选B．【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键．8.yax2ybxc的图象如图所示，则二在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数yax2bxc的图象可能是（）次函数A.B.C.D.【答案】D【解析】yax2ybxca0c0，，【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，b0yaxbxc的图象．2从而判断出二次函数yax2【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，a0∴，ybxc∵次函数的图象经过一、三、四象限，c0∴b0，，yaxbxc的图象，2对于二次函数a0∵∵，开口向上，排除A、B选项；a0，b0，bx0，∴对称轴2a∴D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函a0c0是解题的关键．数图象经过的象限，找出，b0，9.如图，点O为的AB边上的一点，OAC经过点B且恰好与边相切于点C，若B30，AC3，则阴影部分的面积为（）33A.C.B.D.2223323322【答案】D【解析】【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，根据等腰三角形的性质求出BBCO30，可求出AOC60，根据切线的性质得出，然后解直角三角形求出【详解】解：连接，S阴影SAOCS扇形COD求解即可．，最后根据∵，B30，∴BBCO30，BBCO60∴∵，OAC相切，与边∴AC，即，ACtanAOC3∴3，3S阴影SAOCS扇形COD∴23133232360π3．2故选：D．10.xx2已知点A（x，y）、B（x，y）在二次函数y＝x12＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，12211yyy12．若对于任意实数x、x都有1≥2，则c的范围是（C.c＜5或c＞6）22A.c≥5B.c≥6D.5＜c＜6【答案】A【解析】xx2【分析】由当＝1，＝3时，y＝y可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解112析式，将函数解析式化为顶点式可得y＋y的最小值，进而求解．21y1yx【详解】∵当＝1，x2＝3时，．21b∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，2∴b＝﹣4，2∴y＝x2﹣4x＋c＝x2＋c﹣4，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），∴当y＝y＝c﹣4时，y＋y取最小值为2c﹣8，1212∴2c﹣8≥2，解得c≥5．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．x23顶点坐标是______.211.抛物线y【答案】3【解析】【分析】根据顶点式写出顶点坐标即可．x23的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．2【详解】抛物线y故答案为：（﹣2，﹣3）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式求顶点坐标的方法是解答本题的关键．12.一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则可估计红球的个数约为________个．【答案】60【解析】【分析】本题考查了根据频率求总数，熟记频率×总数=个数是解题的关键．直接用频率乘以总数即可．【详解】解：由题意可知红球的个数约为2000.360（个），故答案为：60．13.如图，点A、B、C在O上，若140，则ACB的度数为______．【答案】70【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求解．140【详解】解：∵点A、B、C在⊙O上，，1ACBAOB70∴．2故答案为：70．14.如图，BAC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为______．3【答案】##5【解析】【分析】本题考查网格中的三角形函数，找到角所在的直角三角形是解题的关键．AC3，BC4，C90【详解】解：由图可知：，则ABAC2BC5，2AC35cosBAC∴，AB3故答案为：．515.0.5mAMBN如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室BC在地面的影长CN0.4mAC在地面的影长CM2m，则内的光线．若某一时刻，窗户的高度为______．【答案】2m【解析】【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线AM和BN仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似AC三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度．AM∥BN，ACMBCN，ACCM，BCCN0.5m，CN0.4m，CM2m，2.5m，ABACBC2m故答案为：2m．，则窗户的高度为2m，16.如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿，延长交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定FHEF折叠得△HEF1DFAF是直角三角形；②△BEM△HEM；③当M与C重合时，有；④平分正3ABCD的面积；③4FHMHAB2，在以上5个结论中，正确的有______．方形【答案】①②③⑤【解析】【分析】由折叠的性质可得RtEMH≌RtFAFH，EAEH，AFHE90°，由“HL”可FEM90，证，可得，由平角的性质可求，可得AB24，故①和②正确；通过证明，可得AEEB2aCD4a，通过证明故⑤正确；如图1，设．则11a，可得DFAF，故③正确；当AEFBCE，可得，可求23点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．ABCD【详解】解：∵四边形∴AB90，∵E为AB的中点，是正方形，∴，FAFH，EAEH，AFHE90由翻折可知：，B90∴∵，EMEM，EHEB，∴RtEMH≌RtEMB（，∴，FEA，∵1FEMFEHAEHBEH90∴2∴△EFM是直角三角形，故①②正确，FEM90∵∴，FEH90FEHEFH，∴EFHHEM，90又∵，∴，∴，1EHEBAB又∵2∴AB4，故⑤正确，2如图1中，当M与C重合时，AEEB2aCD4a，设．则∵FEM90，AEFCEB90AEFAFE，∴∴，又∵AB90，∴AEFBCE，，12∴a∴∴∴，，3，1DFAF∴，故③正确，3如图2中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，综上所述，正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°．【答案】﹣1.5【解析】【分析】把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可.【详解】2sin30°+3cos60°﹣4tan45°112341=22=-1.5.【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式的计算等考点．18.解方程：x28x90．x9x1【答案】【解析】，21【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：x28x90，分解因式得：x9x0，∴x90或x10，．x9x1解得：，21【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握十字相乘法分解因式，是解题的关键．19.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l、l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=812，DE=3，求DF的长．【答案】7【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．【详解】解：∵AD∥BE∥CF，AB∴，AC∵AB=6，BC=8，DE=3，36∴，DF68∴DF=7．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20.为了传承中国传统文化，某校七年级组织了一次全体学生“汉字听写”大赛，每位学生听写汉字39个，随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理，绘制成如图的统计图表：组别正确字数x人数10ABCDE0x88x161516x242524x32m32x40n根据以上信息完成下列问题：mn_________，__________，并补全条形统计图；（1）统计表中的（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是____________；（3）已知该校七年级共有800名学生，如果听写正确的字的个数不少于24个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数．【答案】（1）30，20；补全图形见解析（2）90（3）估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．【解析】【分析】（1）根据B组人数以及百分比求出总人数，再根据D、E的百分比求出人数即可，再补全图形；（2）根据圆心角=360°×百分比即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【小问1详解】解：总人数=15÷15%=100，∴m=100×30%=30，n=100×20%=20，条形统计图如图所示：故答案为30，20；【小问2详解】25Q´100%=25%,100所以扇形统计图中“C组“所对应的圆心角的度数是360°×25%=90°．故答案为90°．【小问3详解】30+20800´=400（人），100答：估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，从频数分布表与直方图中获取互相关联的信息是解本题的关键．21.每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等，求脐橙的销量增长率是多少．【答案】脐橙的销量增长率是【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设销量增长率为x，根据2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，列出方程，解方程即可．【详解】解：由题意，设销量增长率为x，7.2．2∴51xx或x（不合题意，舍去）．0.220%．∴∴答：脐橙的销量增长率为．22.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角EAD22ABADBAD39，真空管AB的长度为2.5，真空管与水平线的夹角米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：sin390.629cos390.777，tan390.810，sin220.375，cos220.927，220.404，）BCAD（1）求水平横管（2）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）；BC的长度（结果精确到0.1米）．BCAD的距离约为1.6米【答案】（1）水平横管到水平线BC（2）水平横管的长度约为0.5米【解析】【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，（1）作于F，在Rt中，即可得sin391.6；△（2）根据矩形判定和性质求出=CD-CE=1，再在RtVADE中，根据在1AD2.48，可求出AD△ABF的长度，在Rt中，求出中，根据tan220.404AF·cosBAFAD与的长度差．可求出AF的长度，从而可求出【小问1详解】FAFB90解：过B作于，Rt在中，，AB2.5米，，BFABsin392.50.6291.57251.6米．BCAD答：水平横管到水平线的距离约为1.6米；【小问2详解】FBCBCDD90，四边形BCDF为矩形，BCDF，CDBF1.6米，0.6米，DE1.60.61米，DE△tanDAE在中，，AD22,11AD2.48米，tan220.404AF在Rt中，BAF，ABAB2.5米，，AFABcos392.50.7771.94251.94米．DFADAF2.481.940.540.5米．BCDF0.5米，BC答：水平横管的长度约为0.5米．23.如图，已知AB是O的直径，直线是OAE的切线，切点为C，，垂足为EAC，连接．AC平分（1）求证：；34（2）若10，ACEO，求的半径．253【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）连接，根据切线的性质得到，从而可得，再根据等腰三角∥形的性质和平行线的性质，即可证得答案；3ABCACEtantanACEBC（2）连接，先证明，则，根据三角函4BCAB的长，从而得到答案．数的定义，可求得【小问1详解】连接，的长，最后根据勾股定理可求得直线是O的切线，切点为C，，AE，∥，ACO，，ACOOAC，，平分；【小问2详解】BC连接，OAB是的直径，ACB90，CAB90AE，ACE90由（1）得，ABCACE，34tantanACERt△10在中，，34，3503Rt△22在中，，25．324.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线34k9H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．x2（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．3398【答案】（1）k＝9，b＝3；（2）m＝﹣23；（3）（0，﹣）或（0，）4【解析】9【分析】（1）利用待定系数法将点P（2，）分别代入直线l和双曲线H的解析式中，即可2求出k和b的值；3939（2）由题意可得E（m，m+3），D（m，），可得ED＝m+3﹣，利用ED＝BO，建m4m4立方程求解即可；5（3）过点E作EF⊥y轴于点F，运用勾股定理求出BE＝|m|，由于四边形BCDE是菱形，可4得BE＝DE＝BC，建立方程求解即可．9k92k【详解】解：（1）把点P（2，）代入y＝，得：x＝，22解得：k＝9；9339把点P（2，）代入y＝x+b，得：+b＝4，222解得：b＝3；3（2）在直线y＝x+3中，令x＝0，得：y＝3，4∴B（0，3），∴OB＝3，3令y＝0，得：x+3＝0，4解得：x＝﹣4，∴A（﹣4，0），39∵直线x＝m分别与直线y＝x+3和双曲线y＝交于点E、D．4x39∴E（m，m+3），D（m，），4m∵点E在线段AB上，∴﹣4≤m≤0，39∴ED＝m+3﹣，4∵ED＝BO，3m9∴m+3﹣＝3，4m解得：m＝﹣23，m＝23，12经检验，m＝﹣23，m＝23都是原方程的解，但﹣4≤m≤0，12∴m＝﹣23；（3）如图，过点E作EF⊥y轴于点F，39∵B（0，3），E（m，m+3），D（m，），4m3∴F（0，m+3），432∴BE2＝BF2+EF2＝[3﹣（m+3）]42+m2＝m，5∴BE＝|m|，439又有DE＝|m+3﹣|，4m∵四边形BCDE是菱形，∴BE＝DE＝BC，539∴|m|＝|m+3﹣|，44m3解得：m＝﹣3，m＝1，223当m1＝﹣3时，D（﹣3，﹣3），E（﹣3，），434∴DE＝﹣（﹣3）＝4，∴BC＝，43∴C（0，﹣）；43332338当m2＝时，D（，6），E（，），2∴DE＝6﹣1523315＝，88∴BC＝，8398∴C（0，）；3398综上所述，点C的坐标为（0，﹣）或（0，4）．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合题，待定系数法，勾股定理，菱形性质等，熟练掌握反比例函数图像和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．25.综合与探究yxc与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是2如图，抛物线，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．04（1）求抛物线的解析式．（2）P为线段上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，D点坐标为m,0，PCD面积为S．①求PCD的的面积S的最大值．②在上是否存在点P，使PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．yx3x42【答案】（1）1245（2）①5；②存在，点P的坐标为或5【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）①利用待定系数法可得直线的解析式为5yx，由题意得212155PDm10mm252S，运用二次函数的性质可求得答224案；②由于PDC90CPD90时，当，不可能为直角，故分两种情况：当PCD90时，分别求出点P的坐标即可．【小问1详解】yxc与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是2解：∵抛物线，点C的坐标是，04016bc∴