非线性科学简介

PAGEPAGE98绪论以牛顿经典力学为代表的近代科学，确立了现实世界简单性的信念，这个传统一直延续到20世纪初，20世纪60年代以来，简单性观念和方法受到冲击，所谓简单系统和简单过程其实并不简单。现代科学所面临的是简单性思想和方法无法处理的复杂对象。一系列以复杂系统为研究对象的新科学相继产生，现实世界简单性的传统信念需要转变，复杂性是世界应当以复杂性观念来对待。非线性科学就是研究复杂性现象的新科学。经典科学研究的对象只要是线性的、可解析表达的、平衡态的、规则的、有序的、确定的、可逆的、可用逻辑分析的对象，而非线性科学研究的对象主要是非线性的、非解析表达的、非平衡态的、不规则的、无序的、不确定的、不可逆的、不可用逻辑分析的系统。自然界中存在着大量的、复杂的非线性现象，如涌动的气流、飞溅的水花、漂浮的烟雾、起伏的土地、曲折的海岸、分叉的树枝等。在物理学中，非线性主要表现为相干性和偶合作用。天体力学一开始就碰到非线性问题，其复杂性原远超出人们的想象。在生命科学和社会生活领域，也存在着复杂的非线性现象，如生物胚胎的发育、脑神经的活动、心脏的搏动、买卖关系的变化、商品供求的波动、股票价格的涨落等，都随着时间的变化而瞬息万变。因此，非线性问题已经成为自然科学、工程技术、哲学及社会科学的一个热点。实际上，非线性问题并不是一个近期才出现的新问题，也不是一个新的科学概念。但是，由于在确定性的系统中发现了混沌现象，极大地激发了人们去探索自然界和社会中存在的各种复杂性问题，同时逐渐改变了人们观察周围世界的思维方法。近40年来，从自然科学、工程技术、甚至社会科学各领域中，人们广泛深入地开展了非线性问题的研究，并且取得了重大进展。在力学、物理学、数学、化学、地学、生物学等领域发挥了巨大的作用，也渗透到社会科学如经济学、人口学、国际关系学等领域。已经取得的成果显示：非线性研究在深刻地诠释丰富多彩的自然界、复杂多变的周围世界方面，以及在哲学与方法论方面，引起了深刻的变革。20世纪40年代，以一般系统论、信息论、控制论、为代表的“老三论”应运而生；60年代，以耗散结构、协同学、突变沦为主线的“新三论”先后诞生，于超循环理论、广义综合进化论一起，共同组成了自组织理论；70年代以来，以混沌理论、分形几何学和独立子理论为主体的非线性科学的问世，标志着科学的发展进入了一个新的时代。尤其是确定性系统中混沌现象的频频发现，引发了人们对复杂性问题的研究，使人们逐渐认识到非线性因素是这种复杂性问题的集中表现。通过简单的一维非线性映射，发现倍周期分叉现象的普适常数和时间演化中趋向混沌并且出现奇异吸引子等非线性问题的共同特点。由此启发人们突破不同学科的局限性，研究不同学科存在的非线性问题的共性，从而形成了综合性、交叉性相结合的前沿科学——非线性科学。正如非线性不满足整体是部分之和一样，非线性科学也不是非线性数学、非线性物理、非线性力学等分支学科的总和。人们已经发现，在自然科学的各个不同的领域中，各种非线性系统有着共同的规律，使非线性研究从范例的研究走向一个以探索复杂性为目标的新科学——非线性科学。以混沌为核心的非线性科学将会持久地影响自然学科的进程，成为继量子力学、相对论之后的一次新的科学革命。非线性科学不仅具有重大的科学意义，而且对人类社会、生态环境、医学诊断、经济发展规律、信息与决策等等都具有不可估量的影响。不考虑非线性因素，不建立非线性模型，就无法真实而准确的反映客观规律；自相似决不是分形数学游戏。可以肯定地说，人类社会不同阶层具有自相似结构，仅此而言，非线性问题的研究就对社会的进步与发展有积极的推动作用。由混沌现象引发的对复杂性的探索，对整个自然科学和哲学体系带来的冲击，可能成为产生变革的持久的动力。哈肯认为，一座大山将各门学科分隔开，尤其是“软”科学与“硬”科学，他正在用“协同学”挖出一条隧道连通各门学科；普里高津希望用熵来追踪时间的起源，站在宇宙的起点来观察其后的演化；托姆企图用势函数来描绘自然界千变万化的不连续的突变现象，把它们归并到最基本的突变类型之中，……，凡此种种，上升到哲学高度，那就是：自然界的本质到底是什么？只有非线性科学才有可能回答这个问题。从20世纪进入21世纪，科学正在发生根本性的变化，世界正在发生根本性的变化。抓住机遇，与时俱进，人们学习非线性科学，研究非线性科学，发展非线性科学，推动自然科学、社会科学及哲学科学的大发展，推动生产力的大发展，用非线性思想迎接新世纪的种种挑战！第一章非线性科学研究动态1.1非线性科学研究的主要内容当代科学发展的重要特征之一是，在几乎所有的俄领域中都发现了非线性现象。非线性科学正在成为跨学科的研究前沿，它主要研究各门学科中有关非线性的共性问题，特别是那些无法从线性模型稍加修正就可以解决的问题，以及它自身理论发展所需要的概念和方法。换言之，非线性科学现象的共性，发展处理他们的普适方法。非线性问题的研究是极其困难的。过去采用在运转点附近线性化的方法，或者针对具体的非线性防城来寻求个别的解析处理方法。但是，直到目前，对于非线性问题仍然没有系统的处理方法，更多的时机终于典型范例的研究和作某些定量分析。近期非线性科学研究的主要内容有以下几个方面：非线性映射的宏观特性、混沌与分形、动力学系统的时间反演问题、自组织与耗散结构、复杂性探索等。一般认为，混沌、分形和独立子是非线性科学的主题，而且他们三者是彼此联系的。当一个系统或事物里又可调的恒定参量时，参量的不同会引起系统长期动态发生根本性的变化，这是分叉定理所关心的问题；当参量的变化跨越某些临界点时，系统将发生根本性的转变。例如，孤立波的失稳、分形结构的改变、混沌过程变成周期振荡等等。如果在一个系统或事物的岩画中，从时间过程看由混沌，而在空间分布上又有变化着的分形徒刑，就应把时空联系起来研究图形的动力学。1.1.1非线性映射的宏观特性在混沌现象的研究中起着重要作用的失一位非线性映射方程其非线性迭代行为随控制参数之值的变化而变化，以2n方十分叉的倍周期序列和Feigenbaum普适常数，使整个一类非线性映像都无例外遵从的，它与系统具体结构的细节无关，迭代过程所呈现的特征是相同的，这以为从对流液体到非线性振荡电路的实验严格地证明了的普适性。在越过a()之后，xn的值呈现出不规则的图像，即混沌现象，通过改变a的比例尺度，可以使动力系统进入混沌区之后的细部层次构造显现出来。其实。在这些混沌区内，仍然表现出某种规律，在控制参数a的[0～()]区间内，有2n个倍周期分叉区；在[（）～2]区间内，也有2n个混沌带，它们从左右两方面收敛于a。x的迭代值以2n的顺序落入这些窄带区内，在每个带内x的分布则是随机的。这就是所谓的无穷嵌套的自相似结构。这类迭休过程表达了离散时间的演化过程。由于存在非线性，使这类一维映像都不能单值地确定它的逆映像（），非线性将导致系统的耗散结构。所以，可以把一维非线性映射的迭代过程看作是单变量耗散系统的不可逆演化过程。1.1.2混沌与分形在确定性系统中可出现不规则的、非周期的、错综复杂的、具有自相似结构的非线性现象。与迭代过程相比，人们更关心的是由非线性微分方程描述的动态过程的演化特性。1961年，洛伦兹（Lorenz）根据大气运动的实际情况，设定了具体参数，通过计算机对描述大气环流运动的简化模型进行数值积分。变量随时间演化的数字计算结果表明，初始条件只有千分之一误差的二组计算结果却造成了其后完全不同的演化过程。初始条件代表在起始时刻对系统所作的测量，测量越精确，观测者所获得的关于该系统的知识就越多。如果初始条件的微小变化引起的运动轨迹的改变也是微小的，那么初始条件所包含的信息将保留下来，因而可以对系统的动态过程作出预测，这时我们可以说系统对初始条件是不敏感的。相反，洛伦兹模型中初始条件的微小变化造成了轨线的巨大变化，初始条件包含的信息由于指数型发散而丧失，这时便不能预测系统长时间演化的行为，我们可以说系统是敏感初始条件的。失之毫厘，差之千里。洛伦兹由此得出结论：“任何具有非周期行为的物理系统，将是不可预报的。”突破确定论长期禁锢的新的科学概念就这样诞生了。在洛伦兹模型中不稳定的解将使轨线族之间任意相邻二条轨迹以指数方式发散；但是，流体的动力学黏性将使系统在演化过程中耗散能量，运动轨迹将向吸引子收缩。要同时满足这二者，只有通过伸缩与折叠变换，才能使指数型发散的轨迹族维持在有限范围的吸引子上。伸缩变换使诸轨线族维持在有限范围的吸引子上。伸缩变换便诸轨线在相空间中密集和遍历，折叠变换则使吸引子具有层次结构。同时，伸缩变换使初始条件的微小变化增大，折叠又使相距很远的轨迹汇合，丧失了初始条件所包含的关于系统的信息。因此，伸缩与折叠变换是一种混沌操作，这样形成的吸引子称作混沌吸引子或者称作奇异吸引子，它高度敏感初始条件。因此，具有奇异吸引子的系统的长期演化行为是不可预测的。人们惊叹洛伦兹奇异吸引子的和谐与形式美，犹如蝴蝶的翅膀。谁又能预言，一只蝴蝶在巴西扇动翅膀不会在得克萨斯引起龙卷风呢？图1-1是蝴蝶效应的形象化示意图。图1-1蝴蝶效应示意图当我们观察映射和奇异吸引子的复杂图形时，已经隐隐约约地感觉到，这些曾经是陌生的图形是不能用我们熟悉的欧几里得几何学方法来描述的。在平直的欧氏空间中，点、线、面、体和它们构成规则的几何图形都有整数维和测量其大小或几何性质的特征尺度。测量的对象不同，采用的尺度单位也不同。既不便用丈杆量地球，又不宜用米尺测量原子，前者失之太短，后者得之过大，所谓“夫尺有所短，寸有所长”就是这个意思。然而，具有无穷嵌套的自相似结构的映射图形和奇怪吸引子的复杂形态，无论怎样变换尺度，局部仍然保持了整体的性质，观测的特征尺度的作用失效了。这种在尺度变换之下，图形的自相似性保持不变，即图形的复杂结构不变的特点就是无标度性。如何刻画这一类几何图形呢？曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）提出了分数维的概念，建立了分形几何学，从而完成了一个科学概念的转变。他把人们的思维从欧几里得几何学框架的长期禁锢中解脱出来，又重新回到创造出无数绚丽多彩的分形结构的大自然之中。雷鸣闪电的形状。婉蜒曲折的海岸线，令人神往的云梯，波澜起伏的沙丘，树叶枝干的外形结构，美丽的雪花冰晶……都是分形的实例。不能用整数维刻画的形状，无论怎样放大来看，它都和原来同样复杂（在统计的意义上）。用分数维度就意味着完全正确否定了分形的平滑程度。分形是处处不可微分的。漂浮在液体中的花粉形成的布朗运动是处处连续而又处处不可微分的。因为，在尺度变换下每一个层次上的细节放大后都是布朗运动，它具有统计意义上的自相似性。相反，特征长度意味着物体形状具有平滑程度，它平滑了小于特征长度的细节，但保留了整体的特征。我们熟悉的是经验维数，或者说拓扑维数，用d表示。这种维数的特点是，若用n维的测量单元1n去测量某个d维几何形状时，只有n=d时测量结果才是有限值；若n<d,测量值为；若n>d,则为0，这样测得的是整数维。实际上，早在1919年，由豪斯道夫（F.Hausdorff）定义的维数变允许出现分数维数。其他几种定义，如信息维、关联维等等，虽然在数学上是很严密的，可是实际应用却各有局限与不足之处。比较简便的方法是：以半径为r的df维球去包覆分形体，当r0时确定包覆所需球的最小个数N(r)，再由公式（1-1）计算分维数。有了分数维，就可以刻画自相似结构和奇异吸引子的几何特征，对它们的复杂程度给出定量的描述。但分数维并不容易计算。就奇异吸引子的分类和系统的时空演化过程而言，还需要引入指数a作为刻画非线性系统动态特性的一种有效方法。李雅普诺夫指数<0的方向，相体积收缩，运动稳定，且对初始条件不敏感；在>0的方向，轨迹迅速分离，长时间动态行为对初始条件敏感，运动呈混沌状态；=0则对应于稳定的边界，初始误差既不被放大也不被缩小。因为>0则表示系统在取值方向的耗散的，这两种因素对抗的结果就如同前面曾说过的伸缩与折叠操作，形成奇异吸引子的空间几何形状。作为分数维概念的具体应用，也是作为数学中的反演问题，可以通过对某一复杂对象实际观测的时间序列数据重建该系统的动力学。自1981年泰肯斯（Takens）论文发表以来，许多研究人员试图解决这个问题，已经提出了许多加办法，不过都存在许多局限性，仍处于发展初期。1.1.3动力系统的时间反演问题从牛顿的伟大著作《自然哲学的数学原理》发表至今，300多年来，科学已经经历了两个关键时期：一是牛顿的经典力学体系，它支撑在一个均匀的、没有演化的、静止的宇宙模型之上，物质、空间和时间是没有内在联系的。天体的运动、日月星辰的变化都按“上帝”指定的轨道周而复始，未来包含在过去之中，动力学系统的行为是可以预测的，自然界的法则由决定论支配。二是爱因斯坦地相对论的宇宙模型和四维空间，物质和时间紧密地联系在一起，空间与时间就是由物质产生的。自然法则是简单、美丽、和谐的统一，未来是可以预测的，随机性引入科学是我们无知的表现。现在，我们正在步入第三个关键时期。不可逆性遍布于自然界和人类社会的许多方面，正在引起空间、时间和动力学概念上的巨大变化，时间与演化联系在一起。正如当年爱因斯坦把光速C是普适常数作为自然界的一个基本事实一样，热力学第二定律将假定为一个基本的物理事实，熵增加原理和隐含的“时间之矢”的存在意味着空间与时间的对称破缺，未来并不包含在过去之中，这是一个开放的、演化的世界。经典力学的求解问题原则上可以归结为寻找正则变换或者运动积分。但遗憾的是，动力学中可积系统只是极少数个例，况且不可积系统中随机情况又是普遍的，这又增加了经典力学的困难。本世纪之初，庞加莱（H.Poincare）对天体力学中不确定的预见和开创的相空间描述方法推动了经典力学的发展；20世纪60年代前后，由柯尔莫哥洛夫、阿诺德（V.I.Arnold）和莫泽（J.Moser）等人相继研究了哈密顿系统的可解性，也就是可积性，他们取得的结果被世人称之为KAM定理。KAM理论断言：动力系统（当然是确定论的！）可以导致随机运动（混沌的！）。这对经典力学的发展起了关键性的促进作用。之后，由于普里高津（Prigogine）提出了动力系统的耗散结构的演化的哲学观点，把动力学的研究与物理学的时间本质问题的研究联系起来，企图消除动力学描述与热力学描述之间的对立。由此，经典力学的研究进入了一个新的发展阶段。牛顿创立的经典力学体系，尽管是时间反演t-t不变的，在动力学框架内时间的对称的和没有方向的外界参数。但是，我们仍然看到了动力学系统不可积时出现了随机性的混沌。因而，统计的描述、系统的概念架起了动力学与热力学之间的桥梁。热力学把熵与时间的本质紧密联系在一起。牛顿力学描述简单物体的运动与热力学描述复杂体系的运动之间一个本质的差别是它们的时间演化行为。在牛顿力学体系中，空间是均匀的，时间是对称的，运动在时间中保持不变，过去与将来是等价的，运动是可逆的。然而，热力学研究具有大量自由度的复杂体系，它的宏观运动是不可逆的。一个初始温度不均匀分布的物体通过热导总是自发地、单向地趋于一个温度均匀分布的状态。同样，一个初始浓度不均匀分布的状态自然会自发的、单向地趋于浓度均匀分布的平衡状态。如果进行时间反演变换，将t改为-t，则意味着单靠热传导过程或扩散过程温度或浓度可以自发地从均匀状态发展到某种不均匀状态；水中的一滴均匀扩散开来的墨水可以自发重新聚集起来。但是，自然界中不存在这样的自发过程。因此，时间反演是不成立的。热传导和扩散过程是不可逆的，状态的演化发生在单一的时间方向上。这样，热力学第二定律表明了如下的事实：不可逆过程导致一种时间的单向性。正的时间方向对应着熵的增加。问题是：热力学描述与经典力学描述之间的对立，或者说多粒子体系的复杂运动与简单物体的运动在时间发展行为方面的差异如何统一起来？普里高津认为，应当把熵增加原理与它所隐含的时间之矢的存在作为自然界的基本事实。同时，我们把物理世界描绘成一个“半群”才是有意义的。未来对应着t+而不是t-。他建议，把熵作为一个选择原则，它不能从动力学体系推演出来，而是一个客观事实，如同量子力学中的泡利（W.Pauli）不相容原理基于客观事实一样。在非线性科学中之所以把时间问题作为一个重要的研究内容，不仅是因为时间广泛存在于一切自然科学之中，而且也是因为时间这个量把自然界、社会与人类活动联系起来，排除观测者及其影响作用的是牛顿力学体系的理想情况，这个理想情况在现实性中是不存在的。此外，经典力学与热力学之间的对立（还包括生物进化论），微观可逆过程与宏观不可逆过程之间的对立，皆起因于时间反演问题。研究时间反演问题是深入理解混沌现象的关键之一，也是把确定论与随机理论统一起来的关键。时间之矢曾经使多少科学家感到困惑。也许，混沌现象和时间之矢就是21世纪向人类智慧提出的挑战吧！1.1.4自组织与耗散结构在自然界中有两大类有序结构，一类是像晶体中形成的规则有序结构，或者像冰晶、雪花的规则结构，这是人们非常熟悉的。即使在孤立的环境中和在平衡条件下也是可以维持，不需要与周围环境进行物质与能量的交换。这类在自然界中到处可见的有序的结构——平衡结构，可以用玻尔兹曼有序原理进行解释；另一类可呈现出宏观范围的时空有序，但只能在非平衡条件下通过和周围环境进行物质和能量的交换才能维持，生物体是这种有序结构的实例。1944年，薛定谔（E.Schrodinger）在《生命是什么？》一书中试图用热力学、量子力学和化学理论来解释生命的本质，引进了非周期晶体、负熵等概念。不过，几期以来大多数科学家都回避生物体有序对热力学的挑战。但是，科学对人类自身的探索从未停止过，20世纪60年代发现混沌现象之后，又发现了一大批自然界中自发形成宏观有序的现象——自组织现象，激发了人们探讨这种自发有序现象的热情。自组织现象俯拾皆是，不胜枚举。远至木星大气层中的涡旋结构，天空中鱼鳞状排列的云街，近至花岗岩中的环状结构，生活中常见的松花蛋中的松花；早至19世纪发现的碘化钾沉淀的Liesegang环状规则分布，近至1900年观察到Benard流体的对流花纹，20世纪60年代激光器中的自激振荡等，都是丰富多彩的自组织现象的典型实例。Benard在实验室里进行的热对流实验使人们观察到许多令人惊讶的性质，它已成为了解大气和海洋环流以及大陆漂移这样空间大范围运动机理的基础。而就自组织现象来说，又是深入理解非平衡与耗散结构乃至湍流形成机制中许多重要概念的基础。我们已经注意到，自组织现象是在体系与外界环境有物质和能量交换的交换下形成的。普里高津把这种在开放和远离平衡条件下，在与外界环境交换物质和能量的过程中，通过能量耗散过程和内部非线性动力机制，经过突变来形成和维持的宏观时空有序结构称为“耗散结构”。由于他在这一领域的突出贡献而获得1977年诺贝尔奖。1.1.5随机非线性微分方程现在，人们不禁要问，既然在确定性体系中会产生随机现象，为什么不能在确定论地动力学方程中引入随机作用或者补充诸如涨落、噪声等随机因素，使得动力学方程既符合牛顿力学框架的决定论又能满足随机因素的影响而导致非确定性现象的演化过程呢？其实，在20世纪初，朗之万（P.Langevin）在研究布朗运动时，已经这样做了。当时他在布朗粒子的牛顿运动方程中引入了随机力(t),用来表示一种涨落很快、引起粒子无规则运动的力。这就是第一次在物理学中使用随机微分方程，其后在非平衡统计物理中被广泛应用。实际上，朗之万方程是动力系统外在随机性的表现。而混沌现象的发现说明，在某些完全确定论的方程中，并不需要外加任何随机因素（随机初始条件、随机系数、随机外力等等）即能出现随机演化行为，这就是确定论系统的内在随机性，也就是引发人们刻意探索的原因所在。在自然界中，有许多现象并非只有时间渐远时才表现出随机行为，而是本质上既是随机的，又是确定论的，因而描述这一类过程就需要随机微分方程。在非平衡耗散结构的研究中，除了刘维方程加上统计假设的方法外，主要的倒是不需要统计假设，直接从随机微分方程出发，采用半唯象的描述方法。对于随机现象来说，人们关心的是体系当前时刻的状态与前一时刻状态之间的关系以及它在下一时刻将会处于何种状态。对于马尔可夫随机过程来说，已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立无关，了解它的全过程不必求出它的全部有限维分布，而是知道了过程的初始分布后，借助于转移概率来刻画全过程。当我们研究一个动力系统时，事先并不知道它的概率分布，对于动力系统正在进行的过程，如何去寻求它潜在的概率分布形式呢？显然，在过程进行中，在时刻t，系统处于j状态的概率由于在单位时间内从i状态过渡到j状态的转移数而增加；同时又随着在单位时间内离开j状态的转移数而减小，由此我们可以得出一个普遍成立的关系：P(j,t)=入率一出率，习惯上称之为主方程。只要根据具体的动力学系统确定了转移概率的形式，就可以求解主方程以便获得有关随机变量的全部信息，进而全面研究相应的动力学系统的演化过程。1.1.6湍流1883年，著名英国实验液体力学家雷诺（O.Reynold）用在长管里的均匀流动来研究产生湍流的过程，如图1-2所示。在盛水的容器下方装有水平的玻璃管，管端装有阀门以控制水的流速。容器内另有一细管，内盛带颜色的液体，可从下方小口A流出。实验时，先让容器内的水缓慢流动，这时，从细管中流出的有色液体呈一线状，各层流体并不相混，这种流动状态被称为层流（laminarflow）。随着阀门加大，流体的流速也增大，这时，出现有色液体与周围液体互相混杂的情形。用火花放电产生高速闪频的光照明，还可以观察到流动的旋涡状结构。这种流动状态被称为湍流（turbulence）。湍流是气体或液体流动的一种形式。气体和液体统称流体。流体的流动形式可分为两种：一种是层流，一种是湍流。在层流中，流体流动的路径是平稳的，每个地点的流速与方向是均匀的，表现为类似层状的流动。层流的例子为高黏度流体的流动。湍流与此不同。在湍流中，流体中的每一点的流速与方向都不断变化。风和河水的流动，看起来似乎是平稳向前的，其实它们是湍流。河水不断出现大大小小的旋涡，二三级的风也会出现小旋风。自然界中，大部分流体的流动为湍流。血液在血管中的流动、大气和海水的流动、熔岩的流动、船尾和机翼周围的流体的流动都是湍流的例子。粗略地说，划分层流和湍流的界限是一个称为雷诺数的量。1883年。雷诺首先指出，管道中流体的流动，由层流过渡到湍流取决于一个数学量的值。这个值等下流体的平均流速u乘以管道直径L及流体密度并除以流体的黏度v，即R=uL/v(1-2)式中，R为一个无量纲的纯数，称为雷诺数。层流与湍流之间的过渡，并不是发生在某一特定的雷诺数，而是发生在一个范围内，这主要取决于实际条件。如果雷诺数很小，相对来说，流体的黏性起的作用必然很大，黏性使流体变得稳定而成为层流。空气和水与此相反，它们的黏性极小，于是自然界中空气和水的大部分处于湍流状态中。在（1-2）式中，L称为特征长度。与此相似，在飞机的飞行中，机翼长度为特征长度。当圆球在空中飞行时，圆球的直径为特征长度。由于雷诺数正比于特征长度L，当雷诺数R，特征长度L应趋于零。分形没有特征长度。因此可以说，具有无限大雷诺数的理想湍流应具有分形的性质。湍流最终会耗散掉的，湍流运动的能量转变为热能。分析湍流耗散区域，可以得出湍流的分形维。空间的湍流的分形维df大约为2.6。但是，这样得出来的值仍缺少理论依据。湍流中的许多问题，包括它的分形维的确定仍在研究中。在实验室里很容易制造出湍流的图样。搅动碗里的水，随后滴入一滴墨汁，并以一张纸覆盖在水的表面上，几秒种后，把纸揭开，于是在纸上便显示出湍流图样，如图1-3所示，这个形状同云的形状相似，虽然云的形状要比碗里产生的湍流形状大几百万倍。大气中的湍流是引起星光闪烁或者遥远光源明灭不定的原因。大气的折射率由大气密度与湿度所决定。大气的湍流不断使这些量发生抖动，于是我们便看到了夜晚星星闪闪发光的有趣现象。利用遥远光源的明灭不定的现象曾试图测量大气湍流的分形维df。设观察者与光源的距离为L，并以（x2）表示光的起伏。经论证，L与（x2）的关系为(1-3)式中，df为湍流的分形维。令L从250m变到2000m，观测在这个范围中的（x2）随L的变化，则可粗略地估算出湍流的分形维df=2.5。这个值同上述的值是一致的。这些实验值同湍流理论所给出的值有所差异，而且不同理论模型的值也不尽相同。实际上，点燃一支香烟，青烟一缕袅袅腾空。开始烟柱是直的，达到一定高度时，突然变得紊乱起来。这是在热气流加速上升的过程中，层流变湍流的绝妙演示，如图1-4所示。自雷诺在1883年进行有关流体从层流向湍流发展的实验研究到现在一个多世纪过去了。在此期间，湍流这一难题曾吸引和激励着着从物理学、力学、电子学、大气科学到工程领域的几代科学家致力于探索它。100多年来，由于科学技术的进步，探测方法与技术的改进和新的测量仪器的出现，尤其是计算机科学的迅速增长发展，在湍流研究领域获得了可喜的进展。20世纪40年代，朗道（L.Landau）和霍普夫（E.Hopf）分别提出的湍流机制曾为许多科学家所接受，只是到了激光多普勒（Doppler）测量技术成功地测量了湍流发生过程中的频率之后，才确认湍流并不遵从Lamdau-Hopf理论。由此，湍流研究进入一个新的阶段。人们相继进出了许多新的湍流形成机制，形成了“条条道路通湍流”的局面。混沌现象的研究在科学概念上取得了重大突破，确定性过程与随机过程之间的对立已开始消除，重正化群方法在相变研究中取得的成功，非线性动力学的迅速发展，协同学、耗散结构和突变理论在科学方法论方面的变革，已从不同的方面为湍流研究取得突破奠定了基础。其实，湍流并不是只有在科学实验里才能观察和触及的现象。在人类日常活动中，飞机的起飞降落，船舶在激流险滩中的穿行，石油在管道中的流动，河流的污染，大气和海洋的异常变化，漂移和大陆，袅袅的炊烟，宣泄的瀑布，到处都会看到那变幻无常的紊乱的急流和翻滚的波浪，跟着而来的便是吸引着多少探索者欲解其谜的湍流。它既是造成飞机和船舶颠簸航行、出现事故的原因，又是热在空气中迅速传播开来的动力。当今，对于湍流的了解，几乎仍然是凭经验的。在一个多世纪里，只有为数极少的几种湍流预测是从理论上推导出来的。流体力学家把湍流定义为一个连续的不规则流或一个连续不稳定状态。例如，在紊乱的空气和河流里，流体任一点的运动速度和方向，是不断地和不规则地变化着，而流体却沿着固定的方向继续流动。湍流在平稳的层流中的发展演化是一个连续的过程：起初一个或几个不稳定会激起湍流，它继续增强直到更高程度的不稳定，最后完全发展成湍流——发达湍流。理论的研究和实验的观测都是以Navier-Stlkes流体动力学方程为基础的，它是在连续介质假定下用统计平均的方法建立的流体质点运动方程，也就是牛顿第二定律在流体力学中的应用。造成流体动力学复杂性和多样性的原因是N-S方程中的非线性因素。也就是说，流体速度的变化取决于速度本身的平方，同时也取决于压力、动力学黏度或内摩擦，甚至包括边界条件。即使在最简单的湍流中，这种非线性也是引起运动模式在时间和空间两方面复杂性的原因，使方程稳定解换稳。计算方法与功能强大的计算技术的迅速发展，使湍流的数值模拟和实验观测都在更加广阔的范围内顺利开展起来，发现发一批新的现象，世界许多重要的实验室又重新开始了湍流的实验研究。当今，在湍流研究中，更多地是强调湍流的机理，并不急于涉及全湍流的中心问题，而是着重建立能够进行以简单机理研究为主的模型，这种由简到繁的研究路线是为了通过更多的更深入的了解湍流机理来改善统计理论。可以预计，剪切流向湍流的过渡；由热不稳定性引起的向湍流过渡；在简单机械与电气系统中的紊乱特性等三方面可能是今后湍流研究中的重点。湍流是自然界中复杂现象的集中体现。描述流体动力学的方程既包括了无穷维的耗散项，又包括了大中小许多不同尺度的运动，即湍流在空间和时间两方面都表现出随机性。在混沌现象的研究中，人们提出了许多通向湍流的道路。例如：①Landau-Hopf道路；②Ruelle-Takens道路；③倍周期分叉道路；④阵发混沌道路。Spatschek还提出，朗缪(Lamgmuir)孤波随时间演化将导致一个不可积的非线性薛定谔方程，进行数值模拟，可以观察到一条新的通向湍流的道路，即孤波坍塌湍流。由混沌现象引发的对复杂性的研究已在许多不同的学科领域迅速开展起来。等离子和磁约束等离子体中的非线性、声学湍流、化学湍流、固体混沌、生物混沌等等现象，相继被发现和开展发相应的研究。其中，特别值得注意的是大气湍流的研究进展。大气是进行湍流研究的天然实验室，可以在各种不同的尺度上进行观测实验，从而为湍流的理论研究提供了优越的条件。大气湍流研究的成果极大的推动了湍流理论的深入发展。人们还建议用旋度来描述湍流的演化过程，提出了软湍流与硬湍流的概念，发展了湍流的多标度分维结构模型与子波分析法，试图建立普适的混沌理论。其次，人们早已熟悉的单极直流发电机的电学方程类似于洛伦兹系统。由于单极直流发电机结构非常简单，控制参数改变比较容易，因此是研究湍流的最方便的模型之一。正当人们致力于湍流问题的解析研究时，曼德尔布罗特已开始致力于湍流几何学的研究，用分形几何学甚至拓扑学来研究湍流主要通过分形与分维的概念量度湍流的复杂程度和图像，进一步揭示结构与功能的关系。大自然无私地把湍流呈现在科学面前。它的千姿百态、瞬息万变和神秘莫测，由形、线、体编织而成的朦胧奇妙的图像，吸引并激励着几代科学家的努力，已经走过了100多年艰苦而漫长的探索之路。混沌的出现，极大地鼓舞着人们献身于这一事业。1.1.7神经网络系统近年来，研究适应性系统的热点主要在神经网络（neuralnetwork）。神经网络系统可能是我们所面临的高度复杂的非线性动力学系统，也是迄今所知功能最强、效率最高的最完善的信息处理系统，因此，很自然地成为非线性科学研究的重要内容。早在1943年，心理学家W.McCulloch和数学家W.Pitts合作提出神经元的二值逻辑模型，从此开创了从信息论角度出发研究脑和人工智能的时代。计算机的研制成功，控制论和信息论的相继创立，促进了人工智能的研究提供良好的实验条件。此外，与大脑信息加工、人工智能有关的基础理论研究还处于准备阶段。非线性电路仅仅是极少数科学家偶尔涉猎的对象，二值逻辑模型已经称得上是对线性科学思维方式的大胆突破。1949年，D.Hebb提出了改变神经元联结强度的学习规则，这一规则至今仍在各种网络模型中起着重要作用。1962年，F.Posenblatt提出感知机模型，已经具备了并经处理、分布式存贮、连续计算和可学习性等功能，与当时流行的占主导地位地串行离散的以符号推理为基础的人工智能技术和冯诺依曼电子计算机完全不同，吸引了许多研究者的兴趣，掀起了神经网络研究的第一次热潮。1982年，美国物理学家霍普菲尔德（T.Hopfield）提出了一种全新的神经网络模型。它体现了D.Marr的计算神经理论、耗散结构和混沌理论的基本精神，使网络的稳定性有了严格的判据，模型具有联想记忆、分类与误差自校正等智能。两年后研制出模型硬件电路，成功地求解了数学中著名的“旅行推销员问题”，这是一项突破性的进展。与此同时，在神经网络的硬件实现方面，大规模集成电路做成的神经芯片已经包含几百个神经元，各种神经网络仿真器也大量涌现。神经科学、脑科学、思维科学、计算机科学、行为科学的研究成果奠定了神经网络研究的基础。非线性科学的发展，为霍普菲尔德模型的动力学特性的分析提供了有力的研究方法。以美国为发端，掀起了神经网络研究的新热潮。神经元是脑组织的基本单位。人脑由大约1011个神经元组成。神经网络模型是由大量处理单元（神经元、处理元件、电子元件、光电元件等）广泛互连而成的网络。它反映了人脑功能的基本特性，但并不是人脑的真实描写。网络的信息处理由神经元之间的相互作用来实现；知识与信息存贮表现为网络元件互连间分布式的物理联系；网络的学习和识别决定于各神经元连接权值的动态演变过程。神经网络是一个具有高度非线性的超大规模连续时间动力系统，其最主要特征为连续时间非线性动力学、网络的全局作用、大规模并行分布处理及高度的鲁棒性和学习联想能力。同时它又具有一般非线性动力系统的共性，即不可预测性、耗散性、不可逆性、高维性、广泛联结性与自适应性等。因此，它实际上是一个超大规模非线性连续时间自适应信息处理系统。根据人工神经网络对生物神经系统的不同组织层次和抽象层次的模拟，神经网络模型可分为：（1）神经元层次模型：研究工作主要集中在单个神经元的动态特性和自适应特性，探索神经元对输入信息有选择的响应和某些基本存贮功能的机理。（2）组合式模型：它由数种相互补充、相互协作的神经元组成，用于完成某些特定的任务，如模式识别、机器人控制等。（3）网络层次模型：它是由许许多多相同神经元相互连接形成的网络，从整体上研究网络的集体特性。（4）神经系统层次模型：一般由多个不同性质的神经网络构成，以模拟生物神经是更复杂或更抽象的性质，如自动识别、概念形成、全局稳定控制等。（5）智能型模型：这是最抽象的层次，多以语言形式模拟人脑信息处理的运行、过程、算法和策略。这些模型试图模拟如感知、思维、问题求解等基本过程。根据连接方式不同，神经网络可分成以下几种类型：（1）无反馈的前向网络。神经元分层排列，组成输入层、隐层和输出层。每一层的神经元只接受前一层神经元的输入。输入模式经过各层的顺次变换后，得到输出层输出。（2）从输出层到输入层有反馈的前向网络。它可用来存贮某种模式序列。（3）层内有相互结合的前向网络。通过层内神经元间的相互结合，可以实现同一层内神经元之间的横向抑制或兴奋机制，这样可以限制每层内能同时动作的神经元数，或者把每层内的神经元分为若干组，让每组作为一个整体来动作。（4）相互结合型网络。这种网络是在任意两个神经元之间都可能有连接。在无反馈的前向网络中，信号一旦通过某个神经元，过程就结束了。而在相互结合型网络中，信号要在神经元之间反复往返传递，网络在一种不断改变状态的动态过程之中。从某初态开始，经过若干次的变化，才会到达某种平衡状态。根据网络的结构和神经元的特性，还有可能进入周期振荡或其他如混沌等状态。神经网络的信息处理能力包括：网络的信息存贮能力和网络的计算能力。它们对应如下问题：（1）在一个有N个神经元的神经网络中，可存贮多少个位的信息？（2）神经网络具有什么样的计算能力？这两个问题构成了神经网络理论的两个基本的问题。在人工神经网络系统中，信息的存贮与处理是合二为一的，即信息的存贮体现在神经元互连的分布上，并以大规模并行分布方式处理。这种并行处理绝不是简单地以“空间复杂性代替时间复杂性”，而是反映了完全不同的“计算”原理。从数学观点看，可以把神经网络看做是由大量子系统组成的大系统，系统的最终初态向吸引子流动的过程就是寻找记忆的过程。初态可以认为是给定有关记忆的部分信息。换言之，流动的过程就是从部分信息找出全部信息的过程，这就是联想记忆的基本原理。进一步，若视动力系统的稳定吸引子为系统计算能量函数的极小点，系统最终会流向期望的最小点，“计算”也就在运动过程中悄悄地完成了。运动的时间就是计算时间。这就是神经网络计算机的基本原理。神经网络系统与现代数字计算机相比有如下不同的特点：（1）以大规模模拟并行处理为主，而现代数字计算机只是串行离散符号处理。（2）具有很强的鲁棒性和容错性。关于联想、概括、类比和推广，任何局部的损伤不会影响整体结果。（3）具有很强的自学习能力。系统可在学习过程中不断完善自己，具有创新特点，这不同于AI中的专家系统，后者只是专家经验的知识库，并不能创新和发展。（4）它是一个大规模自适应非线性动力系统，具有集体运算的能力，这与本质上是线性系统的现代数字机迥然不同。从广义角度讲，微积分、文字翻译、推理等都是一计算过程。而从数学观点看，计算就是在满足一定公理、定理的条件下，从一空间到另一空间的代数映射；从物理观点看，计算是按照一定的自然规则，在某种“硬件”上所发生的一些物理规则。因此，计算可表示为一动力系统中在状态间变换的轨迹。神经网络的计算就是其中状态的转换，其计算过程可以认为是状态的转换过程。对给定的输入，其计算结果即是系统的稳定状态。神经网络系统可能是我们所面临的高度复杂的非线性动力学系统，也是迄今所知功能最强、效率最高的最完美的信息处理系统。但是，它只是建立脑模型的第一步。就人类的科学认识活动而言，对大脑的研究无疑是一种打挑战，它正越来越强烈地吸引着许多不同领域的科学家参与到脑研究的队伍之中。虽然对大脑的结构近几十年来在细胞和分子水平上已经进行了大量的研究，发现了许多新的现象，但我们仍然未能了解神经系统是怎样使人具有听和看、学习和记忆、甚至推理和评议等高级脑功能的。要取得这方面的科学认识，远比把人类送上月球困难得多。人类探索大脑的功能结构、思维与信息加工的本质的工作从未间断过。伴随着每次科学技术的进步和探测手段的改进，这种愿望就更加强烈。现在，非线性科学的创新的观念和方法有可能开辟一条崭新的途径，对揭开大脑之谜做出应有的贡献。除了神经网络系统，人类的第二信号系统就是免疫系统。实质上免疫是生物体对外来大分子特别是蛋白质和糖类的一种反应。生物体能够把外来原生质同其自身的原生质区别开来，进而对病原菌、毒素等有害的异物产生抗体和中和反应，这是有机体的普遍特性——免疫现象。它的最大特点就是免疫记忆特性、抗体的自我识别能力和免疫的多样性。尽管自然界中所有微生物都能作为抗原起作用，担免疫能抵御它们，促进白细胞的噬菌作用。从信息论的观点来看，免疫系统与神经网络的记忆与识别功能方面极其类似。根据利根川进（SusumuTonegawa）近几年获得诺贝尔奖的研究工作（即免疫多样性的体细胞发生），已初步阐明了人类免疫系统适应外界多样性抗原而形成抗体多样性的机制。Burnet提出了网络理论，初步解释了免疫系统的识别特性，一大批优秀的科学家认为这些成果完全可以应用到脑功能的研究中去。其实，免疫系统的信号识别记忆能力与适应环境的免疫多样性，就其结构的复杂程度和处理信号的功能而言，并不亚于神经网络系统。复杂的自适应系统具有通常动力学系统所熟悉的性质，包括分层结构、多个吸引盆以及许多亚稳态图形之间的竞争。除此之外，它们还必须有一种能应付并利用环境变化的能力。一种自适应系统的研究方法是构造一个明显的时间层次：一个时间尺度描述真实动力学，另一个较慢的时间尺度考虑非线性方程本身在的变化。人类免疫系统的模型、自催化蛋白质网络的模型都是在这种概念指导下提出的，主要目的是研究免疫系统的自适应、识别、学习和演化的非线性动力学行为。借助免疫系统的研究进展，加速脑功能的探索是一条可行之路，只不过是被长期忽视的一条研究途径，非线性科学重新唤起了科学界对这条研究途径的重视。1.1.8孤立子与拟序结构1834年，英国工程师拉塞尔（J.S.Russell）在爱丁堡的格拉斯哥运河中观察到一种他称作大传播波的奇特现象。当时，他骑在马背上追踪观察一个孤立的水波在浅水窄河道中的持续行进，长久地保持着自己的形状和波速，这就是孤立波。1844年，拉塞尔在英国科学促进协会第十四届会议上宣读了他的论文“论波动”，报告了他的这次不寻常的发现。1895年，荷兰著名数学家柯特维格（D.Korteweg）和他的学生德.弗累斯（G.deVries）根据流体力学研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假定下，求得了单向运动的浅水波运动方程，即著名的KdV(Korteweg-deVries)方程，以描述这种不发生畸变的孤立波。1965年N.Zabusky和M.Kruskal在电子计算机上作数学实验时，意外地发现了两个这样的波在碰撞后居然都能保持各自的波形与行进速度不变，这一性质使人们联想起质点粒子和波粒二象性等熟悉现象，只有粒子的碰撞才会有类似的情形出现。也就是说，孤立波的这种奇异而稳定的性质类似粒子的行为，因此就将这种波定名为孤立子，以反映非线性波的粒子性。孤立子的发现是非线性科学在过去30年中取得的关键而重大的成就。孤立子体现了拟序结构的最纯粹的形式，是人们进行理论分析的出发点，了解拟序结构本质的最好范例。在微观尺度上的波粒二象性虽然早为人们所知，但那只是基本粒子理论领域中科学家们与之打交道的事。如今，在宏观世界中人们可以直接观看孤立子特性的演示实验，直观地研究它所表现出的波动与粒子二重特性。理论物理学家对此极为关注，他们尝试用孤立子理论来描述基本粒子，所以孤立子能引起如此广泛的兴趣也就不奇怪了。孤立子系统是无限的自由度的完全可积的保守系统，通常有无穷多个守恒律。孤立子系统是现代数学的一个重要研究对象，在力学、物理、生物和许多技术部门获得广泛的应用。非孤立子的拟序结构（如漩涡、波振面等）的研究也在进一步开展。从20世纪80年代开始，越来越多的非线性理论研究人员开始注意孤立子与混沌之间的关系，认为它们是同一个非线性系统的两种状态，可以相互转变，只是与系统的某个特征参数有关。它们反映在非线性系统中便体现为可积性与不可积性、有序性与无序性的对立统一关系。多维的孤立子与混沌的空间模式具有更加复杂的性质，湍流的演化与孤立子之间存在某些联系，并引起人们的重视，成为今后重要的前沿课题。1.1.9复杂性研究一个动力系统演化到混沌状态是一个复杂过程；天气与气候的预测是一个复杂而困难的任务，洛伦兹吸引子的蝴蝶翅膀已经成为万里晴空的天气预报领域的一朵乌云；蜿蜒曲折的海岸线是具有分维的复杂结构，英国的海岸线有多长？乍一听起来，似乎是很简单的问题，仔细思考才感到难于回答。如果观察世界已经打开了一扇窗户，那是线性的窗户；混沌的出现打开了另一扇窗户，这是非线性的窗户。人们能够用两只眼睛来观察世界了，呈现在眼前的是由简单性与复杂性、确定性与随机性交织在一起的千变万化的自然景象。在简单现象消失的地方，人们看到了复杂性。过去，复杂性往往与生物的各类形态、人类的各种行为联系在一起；而现在，混沌现象的发现，使人们认识到过去曾经熟悉的那些简单现象，如一只单摆，一个简单的迭代运算都不能再看做是简单的事物一。在惊讶之后，自然要问：什么是复杂性？尼科里斯（G.Nicolis）和普里高津在他们的名著《探索复杂性》中写道：“我们的时代是以多种概念和方法的相互冲击与汇合为特征的时代，这些概念和方法在经历了过去完全隔离的道路以后突然间彼此遭遇在一起,产生了蔚为壮观的进展。它阐明了非线性与非平衡这两个要素如何使物质具有高度的灵敏性,展现出长程的秩序并演化出多样化的自组织状态。它使人们可以设想出复杂性如何在自然中出现，以及可在何种程度上被加以探索研究”。探索复杂性，已成为当今科学与时代发展的一个显著特点，非线性科学正是在这种日益增长的强烈愿望的促进下形成的。计算机已经成为研究非线性问题的强有力的工具和手段。混沌现象、自组织现象彻底改变了人们对确定体率的看法。新的科学概念在不断涌现。因此，现在对复杂性问题在研究已经发生了质的变化。谈及复杂性，可以是空间演化的复杂性，时间演化的复杂性，功能结构的复杂性和相互作用的复杂性；也可能是科学概念的转变或出现科学革命时人们所面临的新知识、新观念带来的复杂性，等等。如量子力学的诞生，波粒二象性的提出，相对论的创立，宇称不守恒的了现都曾使人们感到迷惘、困惑和随之而来的难于理解的复杂性。非线性是导致复杂性的根源。探索复杂性就是研究非线性问题。复杂性是一种相对的、比较模糊的概念。如果从信息论的观点来说，任何物理过程中的信息活动都是某种计算，都和其他的运动形式、状态和现象中的信息活动有共性。系统的演化过程可以借助符号动力学表达成随机的符号序列。因此，如果一定要对复杂性作定量的描述的话，可以借用算法复杂性和描述复杂性来表征。1.2非线性科学研究的主要课题国际理论物理中心把非线性问题分为五大类：1.混沌和动力系统；2.斑图形成和孤立子；3.自适应和自组织系统；4.计算方法和数据分析；5.完全可解和可积系统。我国在“八.五计划”中把“非线性科学”作为国家十项重大课题之一，并在“非线性科学”项目里定下15个课题。这些课题分两类。一类是研究已明确各类非线性所共有的那些问题；另一类是某几个特殊的非线性系统，如等离子体、流体力学中的湍流、生命科学中的个别的问题。研究这些“个性”，目的是为了更好地了解“共性”，或者发现一些新的“共性”。第一类有9个课题：1.可积系统的数学理论；2.孤立子实验与物理特性；3.耗散系统混沌的深入研究；4.保守系统的混沌行为；5.量子混沌；6.混沌实验研究；7.分形的数学理论；8.分形的物理机理；9.非线性发展方程描述的无穷维系统。第二类有6个课题：10.时空离散系统的基本机理；11.随机力对非线性系统的作用；12.湍流的动力学途径研究；13.生命系统中若干非线性现象；14.等离子体中相干结构、混沌与湍流相互关系的研究；15.固态物质损伤演化的非线几天动力学。在经费分配方面，第一类和第二类之比为7：3。参加这一重大项目的研究人员，主要来自高等院校和中国科学院各研究所，也有来自国防科工委系统的研究所。研究人员的专业有物理学、数学、力学等。今后，随着研究工作的进展，课题的设置和人员的安排将会有所调整。1.3国内外进展非线性问题的研究是当前国际各学术团体、研究机构、大学、实验室、技术公司的热门课题。混沌研究的开拓者之一费根鲍姆（M.J.Feigenbaum）多次到美国国会作证，要求为非线性科学单独拨款。美国是世界非线性科学的研究中心，洛斯.阿拉莫斯国家实验室1980年建立非线性研究中心；随后，贝克曼研究所、加州大学、得克萨斯州立大学、普林斯顿大学应用数学研究所、休斯顿大学、国际商用机器公司（IBM）等都建立了非线性研究机构，或设立课题，开展了具有特色的研究工作。北美、西欧“非线性研究中心”接踵而建。英国的里兹大学、瓦尔维克大学等相继建立相关课题的“中心”或研究所。英国、法国、意大利、德国等西欧主要工业国以及日本也纷纷设立研究中心，或在大学业组建非线性研究机构，进行自由选题，从各种不同的角度发挥科学家的特长，促进研究向纵深发展。原苏联科学院曾经是世界是继美国之后实力雄厚的高水平的非线性科学研究基地。从20世纪30年代起，一批优秀的科学家，如安德洛诺夫（A.A.Andronov）、柯尔莫哥洛夫、柯雷诺夫（N.M.Krylov）、博格留博夫（N.N.Bogolyubov）、朗道、阿诺德等人就率先开始了非线性振动问题、由微分方程定义的积分曲线问题、运动稳定性问题、相空间描述方法等高深问题的开创性的研究工作，取得了举世瞩目的成果。20世纪70-90年代间，苏联科学家在几乎所有的非线性科学领域中都参与或进行了具有相当水平的科研工作，每两年一次的国际物理学中的非线性与湍流过程专题讨论会（IWN.TPP）就由苏联科学院主办，并由著名的苏联科学家任大会主席。可以说，在理论的严谨、基础的雄厚、问题的根深方面，只有美国才能与之一比。我们不要忽视了苏联科学家在非线性科学方面的功绩，有机会阅读他们的科技文献资料对自己的研究工作肯定是有所裨益的。在1989年的国际物理学中的非线性与湍流过程专题讨论会上，美、苏等24国的470多名代表参加的会议推荐苏联首席非线性问题专家R.Z.Sagdeev院士等人的名著NonlinearPhysicsfromthePendulumtoTurbulenceandChaos作为学习非线性科学的入门专著。1991年4月，由联合国和东京大学共同召开“混沌学对科学和社会的影响”的国际学术讨论会。数学、物理学、生物学、精神病学、生物学、生态学、电力工程、电子工程、土木工程、地震学、地球物理学、气象学、天文学、政治学、社会学、等各个领域的混沌学专家共聚一堂，讨论混沌学对科学和社会影响的现状和今后动向。会议研讨的结果表明，非常多的领域及其有关事物都具有混沌特征。更一般地学，就是都具有非线性动态系统理论的特征。这是因为，在这一世界中，几乎所有系统从本质上说都是非线性的。混沌学正是把非线性看成是司空见惯的普通现象。进入20世纪，科学和技术越分越细、越来越专，也越往深处发展。结果，专家对自己专业以外的领域也就隔行如隔山了。但是，出现了各学科都通用的混沌概念以后，加强了科学和技术各领域的横向联系。正是因为这样，混沌学在科学中占据重要地位。纽约时报把混沌学同相对论、量子力学相提并论，认为是20世纪的三大发现之一。因此，混沌的内在规律性的研究，对科学、技术乃至社会的发展都会产生重大影响。在国内，非线性科学前期的研究曾一直笼统地称为系统科学。国内关于系统科学的研究状况大致可划分为五个学派。现简要的予以介绍：其中最大的一个学派，是以著名科学家钱学森为体表、以系统工程学会为依托的一支队伍。其目标是建立系统工程学，不妨叫做钱学森流派。清华大学、华中理工大学、西安交通大学、大连理工大学四所理工大学轮流组织的系统科学哲学与方法论年会已经连续举行了16届。这股力量中应用研究的色彩较浓，其中研究的相当一部分问题是线性或准线性问题。第二个学派是以探讨自组织理论哲学问题为主题。北京师范大学和西北大学较有实力。这实际上是一个科学研究共同体，没有独立的刊物或学会，也很少有单独的哲学学术会议。但是，其研究成果在哲学界影响较大。这股力量中理论研究色彩、非线性的色彩比较浓烈，实际上研究的就是非线性问题。第三个学派是以研究“广义进化论”为口号的一支队伍，与西方哲学家拉兹洛的研究方式较接近，这主要是哲学界的学者发起的。举行过几次年会，也有相当大的影响，但近年来单独活动的势头已经减弱了。第四个学派是以乌杰的《系统辩证论》作为自己的重要代表作、以中国系统科学研究学会为共同体的一支队伍。这支队伍的核心刊物是《系统辩证学学报》，已经连续举行了多届年会。这股力量形成较晚，但发展势头旺盛。第五个学派主要是研究非线性科学哲学问题。其研究人员包括一大批科技工作者，其中有不少是非线性科学领域的带头人，他们往往探讨的是非线性科学中某一具体理论提出的哲学问题。很显然，国内的研究在整体上是薄弱的、描述性的。学科之间长期处于分割研究状态，以个人和小组方式进行活动，处于分散、孤立、缺乏相互交流的局面，甚至存在低水平重复现象，造成人力物力的浪费，影响了科学潜力的发挥，同时也缺少综合性的研究机构。1983年，郝柏林写了长篇综述“分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其他——关于确定论系统中的内在随机性”，对推动国内非线性科学事业的发展，对培养中青年科技人员迅速了解和掌握非线性科学的基本内容和方法，起了极大的启蒙作用。1991年1月，中国科学院在周光召院长的支持下，由科技政策局主持召开了复杂性科学研究会，这是国内举行的第一次有关复杂性问题的科学研讨会，旨在打破自然科学各学科领域之间甚至自然科学与社会科学之间的壁垒，促进对复杂性进行系统而深入的研究。这次会议对深入开展非线性科学研究与相应的学术活动起了很大的促进作用。《世界科学》期刊以极大的热情投入对非线性科学的宣传、普及与推广工作。高等院校的广大师生、科研单位的广大科技人员都从《世界科学》上刊登的“混沌”系列文章中获得收益。中国科学院理论物理研究所非线性课题组常年举办非线性总是学术讨论会，向全国推荐优秀的非线性科学专著，还包括介绍从牛顿时代到混沌现象的发现期间科学家的科学活动和科学发展变革的史实，极大地推动了国内非线性科学研究工作的进展，加强了学术交流。在科研经费十分短缺的情况下，能这样做足以说明他们献身于我国非线性科学事业的决心。1992年，国家“攀登计划”项目把“非线性科学”列为30个项目之一。“八五”期间，国家自然科学基金委员会采纳了郝柏林等科学家的建议，把“非线性科学”作为国家十项重大课题之一，由长期从事科研和教学工作的中国科技大学校长、学部委员谷超豪教授出任这一课题的首席科学家，担当起培养从事跨学科研究的一代年轻大学生的重任。目前，国内已有一批科研机构，主要是中国科学院的理论物理所、力学研究所、数学所、应用数学所、大气物理所、系统研究所、声学研究所、生物物理所、物理研究所、紫金山天文台等；高等院校中有北京大学、南京大学、武汉大学、中国科技大学、复旦大学、天津大学等，先后成立了非线性研究中心课题组，或开设选修课，开展了一定的研究工作，近几年进展较快，取得了一批有较高水平的成果。例如，一维映射的符号动力学、临界慢化现象研究、吸引子分维计算、孤立子理论、非线性光学双稳器件的动态特性、大气动力学中的复杂性与预测理论，大气环流的多重平衡态、等离子湍流、微分动力系统等等。国内在非线性科学的发展中，逐渐形成了自己的科研队伍和学科带头人。著名科学家郝柏林、曾庆存、谷超豪和廖山涛等人长期从事非线性科学研究，他们分别在符号动力学、大气动力学与数值模拟、偏微分方程与孤立子理论以及微分动力系统等领域获得了世界先进水平的成果，鼓舞着在这些领域工作的中青年科技人员，为加速非线性科学在我国的发展而不懈努力。总之，在过去的30年中，从研究非线性自然现象和建立它们的数学模型发展到探索自然界中种种复杂的非线性问题及其共同特征的一门激动人心的科学——非线性科学，已经大大改变了人们观察世界的方法和思维方式。这30年中取得的研究进展使人们已经认识到，人类正处在一个开放的、变革的、演化的、复杂化的时代，探索复杂性已经成为全社会的共同愿望。混沌现象的发现，无疑将载入科学史册，成为20世纪末人类思想发生深刻改变的一次伟大的科学发现。第二章非线性概念、特性及应用2.1从线性到非线性以往的科学实质上是以线性系统为研究对象的线性科学。数学的发展已为线性系统的研究提供了包括代数、线性微分方程、傅里叶分析、线性算子理论和随机过程的线性理论在内的强有力的解析方法和工具。正如人的认识发展道路是从认识简单事物开始一样，近代科学的产生和发展也是从研究线性系统这种简单对象开始的。物理学家首先考察没有磨擦的理想摆、没有黏性的理想流体；数学家首先研究线性函数、线性方程，等等。这本来是合理的、必然的。线性模型是一大批现实系统的良好近似。事实上，线性科学在理论和实践上都有其光辉的成果，迄今许多令人注目的重大理论和技术创造都是线性科学的贡献。但在线性科学成功发展的同时，也在自然观上形成了一种线性观。它主要表现为：1.把线性系统视为客观世界的常规现象、正常状态或本质特征，把非线性系统视为例外情形、病态现象或非本质特征，非线性系统仅仅是线性系统的扰动等等。2.认为只有线性现象才有普遍规律，可以提出一般原理，制定普适的方法。而非线性现象没有普遍规律，不能成立一般原理和普适的方法。这种线性观在传统的教科书中得到充分的反映。加州大学圣克鲁兹分校的法默（J.D.Farmer）曾对浒的教科书及其他科学著作作过这样的评论：“‘非线性’这个词你只能在书末看到。一位物理系学生可能选一门数学课，最后一章可能讲非线性方程。你可能跳过这一章，即使不跳，那里讲的不过是如何把这些方程约化为线性方程。”他说，作为一个被这种教程“洗过六七年脑筋”的学生，“非线性会给模型带来什么真正的的差别，我们对此毫无概念”。同时，这种线性观也广泛地渗透到科学共同体的工作作风中。在科学研究中，人们总是力求在忽略非线性因素的前提下建立系统模型，能够建立线性模型被当做科学研究得成功的标志；倘若不能在建模过程中把非线性因素排除掉，总是力求对非线性模型作线性化处理，用线性模型局部地代替非线性模型，或者借助于对线性行为的微小扰动来认识非线性效应，即只有在万不得已的情况下，才对某些非线性问题作特殊的线性化处理。3.线性观掩盖了世界，特别是掩盖了宏观复杂现象领域的真实图景。客观世界被看成是一种以线性关系为基本特征的集合，世界本质上是线性的，科学对象世界被描绘成一个线性叠加的世界，没有间断、没有改变、没有分叉，也没有混沌。世界的图景是简单的，更是单调的。20世纪70-80年代，分形、混沌等探索所刮起的“非线性风暴”，横扫了线性观的各个角落，将过去颠倒了的认识重新颠倒过来。现在，人们终于明白：现实世界中的非线性特性不是细枝末节而是基本特征和本质的存在，线性特性才是非本质的存在和次要方面；线性系统只不过是一部分简单非线性系统在一定条件下的近似。非线性观代表的是一种崭新的自然观，它把简单性与复杂性、有序性与无序性、确定性与随机性、必然性与偶然性等统一在新的绚丽多彩的自然图景之中。混沌理论、分形几何学等非线性研究告诉人们：分叉、突变、对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预见性、自相似性等，是非线性系统的通有性质；分数维、标度律、普适性等，是对非线性系统作定量描述的普适概念。非线性问题是有普遍成立的规律和原理，有普遍适用的方法和工具，可望建立系统的理论体系，这就是非线性科学。美国洛斯.阿拉莫斯国家实验室非线性中心主任康贝尔（D.K.Campbell）说：“非线性科学是研究那些不是线性的数学系统和自然现象的学科”。中国科学院数理学部委员、中国科技大学校长谷超豪教授认为，非线性现象虽然复杂多姿，但拥有各种类型的共性，非线性科学是研究非线性现象共性的一门学问。虽然目前非线性科学尚处于形成阶段，但它代表了科学发展的未来。2.2世界在本质上是非线性的科学总是定量化方向发展。研究对象间量的关系需要用数学公式表达出来，形成定量化的定理或定律，从而揭示出事物变化的一般规律，并以此为根据来有效地改造自然，发展生产力。经典物理学从牛顿力学开始，最基本的方程就是牛顿定律f=ma(2-1)即质点的加速度和所受的力成正比，这是一个线性关系。电磁规律的发现是19世纪物理学的重大进展之一，电磁场的变化由麦克斯韦方程组所刻划，这是一个线性的微分方程组(2-2a)(2-2b)(2-2c)(2-2d)20世纪初，物理学又发生了重大变革，发现了微观粒子的波粒二象性，描述它们的波函数满足薛定谔方程(2-3)这也是一个线性的偏微分方程。线性方程的一个特征是叠加原理成立。如果是薛定谔方程的两个解，那么也是它的一个解。换言之，两个态的线性叠加，仍然是一个态。人们在线性关系的基础上解决了许多科学技术的重大问题，例如弹性体的振动、电磁波的传播和原子的结构等等，极大地促进了现代科学和技术的迅速发展。另一方面，线性关系毕竟是很简单的数学关系。人们早就发现许多物理量之间的关系并不是线性的。牛顿引力理论的基本定律就是平方反比关系；牛顿在解决两体问题（如日地运动）时所用的微分方程已经是非线性的了；对微观系统，已经建立起非线性薛定谔方程；热力学中，气体的密度和压强服从公式()(2-4)也不是线性的；流体运动中，反映动量变化的欧拉方程(2-5)也是非线性的。2.2.1非线性振动系统的非线性微分方程的常见类型工程系统中广泛存在着非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、科氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性。因此工程实际中的振动系统大多为非线性系统。最一般的形式(2-6)非自治的小参数形式(2-7)(2-8)非自治的非小参数形式(2-9)自治的小参数形式(2-10)(2-11)自治的非小参数形式(2-12)普通数学摆(2-13)范德波（VanderPol）方程(2-14)库伦（Coulomb）磨擦振动方程(2-15)希尔（Hill）方程(2-16)10.马奇乌（Mathieu）方程(2-17)分岔序列和混沌行为的常微分方程目前，已经观察到分岔序列和混沌行为的常微分方程有三类：自洽方程洛伦兹模型(2-18)力武双盘发电机模型(2-19)此模型与洛伦兹模型很接近，应有相似的动力学行为。非自洽方程在外力作用下的范德波振子(2-20)Duffing方程(2-21)强迫非简谐振子(2-22)非线性马奇乌方程(2-23)强迫的布鲁塞尔振子(2-24)3．单变量的延时方程(2-25)2.2.3其他领域的非线性方程在其他领域，也存在着大量非线性现象。如非线性电路中，RLC回路的方程组为(2-26)描述光学湍流的动力学方程为(2-27)固体物体中，射频驱动的约瑟夫森结中的反噪声系统为(2-28)混沌神经元模型为(2-29)切削机床的混沌振动为（2-30）打印机的混沌振动为（2-31）卫星的混沌振摆为