2．3　函数的奇偶性、周期性 专题讲义 -学生版

2．3函数的奇偶性、周期性课标要求考情分析1．了解函数奇偶性的概念和几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．◎考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称性及其应用．函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是高考热点，常以选择题的形式出现．◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象．1．函数的奇偶性(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．函数的周期性对f(x)定义域内任一自变量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f(x))，则T＝2a(a＞0).(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.1．(多选)下列函数中为偶函数的是()A．f(x)＝x＋eq\f(1,x) B．f(x)＝eq\f(1,x2)C．y＝|lnx| D．y＝2|x|2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)3．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上()A．单调递增，且有最小值f(1)B．单调递增，且有最大值f(1)C．单调递减，且有最小值f(2)D．单调递减，且有最大值f(2)4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))时，f(x)＝－x3，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＝________．5．已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2026)＝________．考点一函数奇偶性的判断重难考点师生共研判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝eq\f(lg(4－x2),|x－2|＋|x＋4|)；(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x＞0，,x2＋2x－1，x＜0.))判定函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法(2)图象法1．(多选)下列函数是奇函数的是()A．f(x)＝tanx B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝eq\f(ex－e－x,2) D．f(x)＝ln|1＋x|2．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)考点二函数的奇偶性的应用多维探究发散思维角度1利用奇偶性求值(解析式)(1)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sinx，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋f(4)＝()A．－eq\r(3)＋2 B．1C．eq\r(3)＋2 D．3(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2－x＋1，则函数f(x)的解析式为________________．角度2利用奇偶性解不等式若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为()A．(－∞，－1)∪(2，5) B．(－∞，－1)∪(0，5)C．(－1，0)∪(2，5) D．(－1，0)∪(5，＋∞)函数奇偶性的应用类型及解题策略求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式求函数值利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解求参数值利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解解不等式利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解1．已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝()A．－2 B．－1C．1 D．22．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2·3x，则函数f(x)＝________．3．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是________．考点三函数的周期性重难考点师生共研定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝________．函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．1．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则()A．f(2027)＝0B．f(x)的值域为[－1，2]C．f(x)在[4，6]上单调递减D．f(x)在[－6，6]上有8个零点2．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋m，－1<x<0，,\r(x)，0≤x≤1，))其中m∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，则m＝________．A级基础过关1．下列函数是偶函数的是()A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝x3 D．y＝3x2．已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋3)＝eq\f(1,f(x))，且f(3)＝eq\f(1,3)，则f(2025)＝()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．－1 D．13．函数f(x)＝eq\f(9x＋1,3x)的图象()A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称4．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－eq\f(a,x).若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)＝()A．－4 B．－3C．－2 D．15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝()A．3 B．－3C．2 D．－26．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是()A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1)C．f(2)＜f(－1)＜f(1) D．f(－1)＜f(2)＜f(1)7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x＞0，,ax3＋b，x＜0))为偶函数，则2a＋b＝________．8．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝________．B级能力提升9．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则()A．f(3)＝0 B．f(3)＝f(5)10．函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋2ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为()A．e B．eq\r(5)C．2eq\r(2) D．2eq\r(5)11．已知f(x)＝xh(x)，其中h(x)是奇函数且在R上为增函数，则()12．(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的一个周期为4B．f(2024)＝1C．当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x)D．函数f(x)在[0，2023]内有1011个零点13．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(lnx)＋f(lnx－1)＞0的解集是________．14．已知函数f(x)＝eq\f(x3＋(x＋1)2,x2＋1)在区间[－3，3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________．C级拓广探索15．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do4(k