第01讲集合的概念、关系及运算（知识清单+5典例精讲+3方法技巧+分层训练）（解析版）

第01讲集合的概念、关系及运算（知识清单+5典例精讲+3方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值集合交集运算、一元二次不等式解集单项选择题5集合并集、补集综合运算单项选择题5有限集交集、元素特征单项选择题5集合交并运算、区间集合单项选择题5集合交集、绝对值不等式解集单项选择题5集合子集关系、参数范围单项选择题5补集与交集综合、二次不等式单项选择题5有限集并集运算单项选择题5集合交集、简单函数定义域集合单项选择题5集合补集、元素个数计算单项选择题5区间集合交并综合运算单项选择题5集合包含关系、参数取值单项选择题5【知识点01】集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR【例题1】已知集合A={1,a,a2−1}，若0∈A，求实数a解：由0∈A，结合集合元素的确定性，分三种情况讨论：当a=0时，集合A={1,0,−1}，元素满足确定性、互异性、无序性，符合题意；当a2−1=0时，解得若a=1，集合A={1,1,0}，元素重复，违背互异性，舍去；若a=−1，集合A={1,−1,0}，元素满足互异性，符合题意。综上：a=0或【知识点02】集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.【例题2】设A={x∣−2<x≤3}，B={x∣m−1<x<m+2}，若B⊆A，求m的取值范围。解：利用数轴法分析子集关系，结合端点取舍规则（包含用≤,≥，不包含用<,>），可得：{解不等式组，得：−1≤m≤1故m的取值范围为[−1,1]【知识点03】集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA【例题3】设全集U=R，A={x∣x>1}，B={x∣−1≤x≤2}，求：A∩B,A∪B,解：结合数轴法进行交、并、补运算：A∩B={x∣1<x≤2}A∪B={x∣x≥−1}【题型一】集合的概念【例1】（2025·黑龙江·模拟预测）下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系对选项逐一判断即可.【详解】对于A，0是自然数，，故A错误；对于B，不是有理数，，故B错误；对于C，Z是整数集，Q是有理数集，Z是Q的子集，故C错误；对于D，是方程的解集，，故D正确.故选：D.【例2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（）A．B．C．存在，使得D．存在，使得【答案】BD【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案.【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数，即代入……可得.对于A，由上分析可知错误；选项B，由上分析可知正确；对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中；对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中，例如.故选：BD【例3】（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则______.【答案】/0.5【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出.【详解】在中，，则且，而，，显然，因此，解得，所以.故答案为：【变式1】（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误；对于B，是无理数，是有理数集，故B错误；对于C，左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误；对于D，由集合的无序性可得D正确.【变式2】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________．【答案】3【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案.【详解】因为，所以分为以下两种情况：①或，当时，集合满足题意；当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去；②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去；综上所述，.故答案为：3.【变式3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________．【答案】3【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案.【详解】因为，所以分为以下两种情况：①或，当时，集合满足题意；当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去；②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去；综上所述，.故答案为：3.【题型二】集合的表示法【例4】（2026·吉林延边·三模）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得，结合集合交集的定义与运算，即可求解.【详解】由集合，可得，根据集合交集的定义与运算，可得.【例5】（2026·四川宜宾·一模）已知集合，集合，则集合的元素之和等于__________.【答案】80【分析】根据题意利用列举法表示集合，进而求集合的元素之和.【详解】因为集合，集合，可得，所以集合的元素之和为.故答案为：80.【例6】（2024·山东菏泽·二模）已知，集合．则集合中所有元素之和为____________．【答案】5【分析】根据题意，求出，即可得集合中所有元素之和．【详解】由题意，得，则集合中所有元素之和为.故答案为：5【变式1】（2026·陕西宝鸡·三模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：已知集合，，．【变式2】（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为__________．【答案】2【分析】利用列举法求解集合，即可求解.【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足，当时，时可满足，时，，时，均不满足，当时，可满足，时，，时，均不满足，所以，故集合的元素有2个，故答案为：2【变式3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为______．【答案】【分析】根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.【详解】由题意，所以或，则或，所以实数的取值集合为.故答案为：.【题型三】集合间基本关系【例7】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.【例8】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则可以取3【答案】AC【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误；对于CD，由，得，解得，C正确，D错误.故选：AC.【例9】（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______.【答案】3【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解.【详解】方程可化为，解得或1，则，故集合的真子集的个数为【变式1】（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由子集的定义，解不等式可得结果.【详解】由，可得，解得.故选：D.【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（

）A．的取值有个 B．C． D．所有子集的个数为【答案】BCD【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，且，则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；对于B选项，，，所以，故B正确；对于C选项，，，故C正确；对于D选项，，所以，，则，其的子集的个数为，故D正确．故选：BCD.【变式3】（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”.【答案】【分析】化简集合，根据“集合”的定义分2个元素，3个元素，4个元素讨论求解.【详解】解方程，解得，结合，因此：，集合共9个元素.（1）2个元素的“集合”：设为，当时，可取5，6，7，8，9，共5个；当时，可取6，7，8，9，共4个；当时，可取7，8，9，共3个；当时，可取8，9，共2个；当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的.则2个元素的“集合”总数：.（2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4.最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9.（3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围，因此不存在4个及以上元素的“TB集合”.综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：.【题型四】集合的基本运算【例11】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合后结合交集的定义可求.【详解】，故，故选：D.【例12】（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可.【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图：由，得，而，结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集，因此选项AD错误，选项BC正确.故选：BC【例13】（2026·云南红河·模拟预测）已知全集，集合均为的子集，且，则满足条件的集合的个数是_____【答案】【详解】，，，满足条件的集合的个数为.【变式1】（2026·广东深圳·三模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】，，.【变式2】（多选）（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】通过讨论，得到集合，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误.【详解】已知集合，当时，；当时，；当时，，对于A，由对集合分析知，故A不正确，对于C，由对集合分析知，故C正确；对于B，当时，，此时，故B正确；对于D，当时，，故D正确.故选：BCD.【变式3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合为集合的非空子集，且，若，则______．【答案】【分析】根据集合交并补的运算结果以及集合间的关系求解即可.【详解】由，则，又，所以.故答案为：.【题型五】集合运算与不等式综合【例14】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．【例15】（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，则_______．【答案】【分析】先求出集合A，再结合集合并集的概念求解即可.【详解】由题意知，，所以．故答案为：【例16】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.(1)若时，求；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)或或；(2)【分析】（1）求定义域得集合，解不等式得集合，再由交集合的运算法则计算；（2）分，，解不等式得集合，根据充分条件的定义列不等式组求解．【详解】（1）（1）由，解得且，所以集合且，不等式可化为当时，不等式可化为为，所以，故集合，又或，所以或或；（2）因为是的充分条件，所以是的子集，又且，当时，，满足题意，当时，，所以或，结合解得，，当时，，所以，得.综上，实数的取值范围为.【变式1】（2026·河北承德·模拟预测）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，，则.【变式2】（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则__________．【答案】0【分析】由题意可得和2是方程的两根，利用根与系数的关系求得，可求的值.【详解】由得，，因为或，所以，所以和2是方程的两根，所以，解得，所以．故答案为：.【变式3】（2024·宁夏·模拟预测）已知集合.(1)若，且是的必要不充分条件，求的取值范围；(2)若函数的定义域为，且，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可；（2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为，最后结合二次函数的值域即可求参.【详解】（1）由题意知，解不等式，解得，所以，因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集，所以且等号不同时成立，

解得，即的取值范围是；（2）因为，所以在上有解，所以，令，则，所以，即的取值范围是.【解题大招】元素互异性验证法（规避低级失分）【例题1】已知集合A={1,a,a2−1}，若0∈A解析：（互异性验证步骤）①由0∈A分情况讨论：a=0或a2−1=0；②求出参数：a=0、a=1、a=−1；③代回验证：解答：当a=0时，A={1,0,−1}，满足互异性；当a=−1时，A={1,−1,0}，满足互异性；a=1舍去。故a=0或a=−1。【解题大招】数轴法（万能解题法，高考首选）【例题2】设A={x∣−2<x≤3}，B={x∣m−1<x<m+2}，若B⊆A，求m的取值范围。解析：（数轴法步骤）①画出数轴，标注集合A的区间；②结合B⊆A，将B的区间放在A内部；③确定端点约束条件，列不等式组；④求解不等式组，得出范围。解答：由数轴分析，得{m−1≥−2m+2≤3，解得−1≤m≤1，故m的取值范围为【解题大招】空集优先法（子集含参易错点突破）【例题3】设A={x∣−1≤x≤4}，B={x∣a≤x≤2a+1}，若B⊆A，求a的取值范围。解析：（空集优先步骤）①讨论B=∅：a>2a+1，解得a<−1；②讨论B≠∅：列不等式组{a≤2a+1解答：综上，a的取值范围为[−1,3【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是.故选：C2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【分析】根据补集的定义即可求出．【详解】因为，所以，中的元素个数为，故选：C．3．（2026·河北衡水·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可得，或，所以二、多选题4．（2026·湖北十堰·一模）已知集合，若集合满足，则可以是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据题意化简集合，结合交集运算逐项分析判断.【详解】对于选项A：若，满足，符合题意，故A正确；对于选项B：若，则，不符合题意，故B错误；对于选项C：若，满足，符合题意，故C正确；对于选项D：因为，则，不符合题意，故D错误；故选：AC.三、填空题5．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________.【答案】或【分析】根据集合元素互异性可得，由可得，然后分类讨论即可求得参数.【详解】由题知，，因为，所以，则当时，，而；当时，(舍)或，所以或.故答案为：或6．（2025·山东潍坊·一模）已知集合，，若，则实数________．【答案】或2【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性求参数的值.【详解】因为，所以.根据集合中元素的互异性，可知且.若，此时，，满足.若或（舍去）.此时，，满足.综上或2.故答案为：或27．（2026·河南濮阳·一模）已知全集，则__________.【答案】【分析】由交、并、补集的定义求解即可.【详解】，所以.故答案为：四、解答题8．（2025·河南·模拟预测）已知集合．(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据指数函数的单调性化简，即可由交集的定义求解，（2）根据，对讨论即可求解.【详解】（1）当时，，，所以．（2）由，可得．因为，所以当时，，解得，满足题意；当时，解得．综上，的取值范围为．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（

）A．64 B．16 C．6 D．4【答案】A【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数.【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素.故集合的子集有：个.2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，解得或，所以.因为，所以或，解得或或.经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾.所以实数的取值集合为.二、多选题3．（2026·山西临汾·二模）若集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】易知，即.，即.A.，成立.B.因为，所以，不成立.C.或，，成立.D.或，或，成立.三、填空题4．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为__________.【答案】【分析】设，则，利用二项式展开，根据等式左侧为3的倍数，右侧也为3的倍数可得答案.【详解】设，则，等式左侧为3的倍数，为3的倍数，所以也为3的倍数，故为大于1的奇数，所以.故答案为：.5．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________.【答案】【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解.【详解】，，且且且，或，当时，且，，.当时，解得，且，不成立.综上可得，.故答案为：.四、解答题6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合，.(1)若，求实数m的取值范围；(2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，分和两种情况讨论即可；（2）由p是q的充分不必要条件可得真包含于，根据包含关系列出不等式组即可.【详解】（1）由可得，当时，则，解得；当时，则，解得.综上，实数的取值范围是.（2）若p是q的充分不必要条件，则真包含于，这等价于且，由可得2−m≤12+m≥4，解得，又（即且）无解，故恒成立，所以实数的取值范围是.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，故，，故.2．（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，，所以，故A正确；对于任意，则，又，所以，所以，故B正确；若，则，又，则，则，与矛盾，所以，同理，，故，故C正确；若时，可得不成立，故D错误.二、多选题3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（

）A． B．C．中元素个数为 D．【答案】BD【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项.【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根