第1讲 集合及其运算【10个核心题型归纳】2027届高三数学一轮复习【原卷版】

2027届高考数学一轮复习题型全归纳2/45第1讲集合及其运算题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】元素与集合的关系核心知识集合元素的确定性互异性无序性是判断元素与集合关系的基础元素与集合的关系只有两种：属于（）或不属于（）常见数集符号：（自然数集）（正整数集）（整数集）（有理数集）（实数集）方法技巧1.代入验证法：判断一个元素是否属于集合直接代入集合的描述条件验证即可2.互异性检验：若集合含参数求出参数后必须回代检验集合元素是否重复3.符号区分：注意区分“属于（元素与集合）”和“包含（集合与集合）”符号避免混淆【经典例题1】（2026·湖北武汉·三模）设集合U=1,2,3,4,5,6，集合B满足∁UB={1,3,5}A．2∈B B．4∉B C．3⊆B D．【经典例题2】（2026·北京丰台·二模）已知集合A=0,1，A∪B=−1,0,1,2，则（A．−1∈B B．−1∉BC．2∈A∩B D．2∉B【巩固练习1】（2026·上海嘉定·二模）已知集合A={a,a2}，且1∈A，则【巩固练习2】（2026·安徽滁州·一模）已知集合A=x∣x2−x−6≤0，若a∈A，且a+3∈A，则A．[−2,3] B．[−3,−1] C．[−2,0] D．[−3,2]【巩固练习3】（2026·湖南湘潭·二模）设不等式x2+3x≤10的解集为M，则（A．3∈M B．−6∈M C．1∉M D．【题型2】集合中元素的特征核心知识 确定性：给定集合任何对象都能明确判断是否属于该集合 互异性：集合中的元素互不相同是集合的核心性质也是高频易错点 无序性：集合中元素的顺序不影响集合本身方法技巧1.互异性优先：涉及含参集合时先根据条件列方程求解参数再检验元素是否重复2.分类讨论：当集合中元素的形式不确定（如含字母分式根式）时按元素类型分类讨论3.排除法：利用元素的确定性和互异性排除明显不符合条件的选项【经典例题1】（2026·江西宜春·模拟预测）若集合A=2,a,a2，B=2,4，且B⊆A，则A．4 B．2或4 C．−2或4 D．±2或4【经典例题2】（2026·山东烟台·二模）已知集合A={1,m}，B=1,3,m2，若A⊆B，则实数mA．0或−1 B．0或1 C．0或3 D．1或3【巩固练习1】（2026·江苏·一模）设集合A={−2,1,a}，B=−1,a2，若A∪B含有4个元素，则a=A．−1 B．0 C．1 D．2【巩固练习2】（2025·陕西榆林·一模）已知集合M=1,2a+3,N=1,a2，若M=NA．−1或3 B．0或−1 C．3 D．−1【巩固练习3】（25-26高一上·黑龙江鸡西·月考）已知a∈R，b∈R，若集合a,baA．−2 B．1 C．−1 D．2【题型3】集合间的基本关系核心知识 子集：若集合的所有元素都属于集合则称是的子集记作 真子集：若且则称是的真子集记作 空集：不含任何元素的集合记作是任何集合的子集是任何非空集合的真子集 集合相等：若且则方法技巧1.定义法判断：判断集合关系核心是判断一个集合的元素是否全部属于另一个集合2.数轴/韦恩图辅助：数集用数轴表示抽象集合用韦恩图表示直观判断包含关系3.空集优先：含参集合讨论子集关系时必须先考虑集合为空集的情况避免漏解4.符号辨析：区分“”和“”前者包含的情况后者不包含【经典例题1】（2026·河南·模拟预测）已知集合A=x∣x2−14x+40=0，B=4,a+1,a2A．9 B．−3,3 C．−3,9 D．−3,3,9【经典例题2】（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合A=1,a，B=0,a2,−a−2．若A⊆BA．0 B．2 C．3 D．-1【巩固练习1】（2026·山东济南·三模）已知集合A=x1x<1，A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．BÜA D．AÜB【巩固练习2】（2026·湖南长沙·二模）已知集合M=x,yx2+y−12=0，N=A．M=N B．M⊆N C．M⊇N D．M∩N=∅【巩固练习3】（2026·江西·模拟预测）设集合A=1,2,a2，B=1A．0或−1 B．0或2 C．2或−1 D．0或2或−1【题型4】子集真子集的个数核心知识 若集合含有个元素则： 子集个数：个 真子集个数：个（去掉集合本身） 非空子集个数：个（去掉空集） 非空真子集个数：个（去掉空集和集合本身）方法技巧1.先数元素个数：计算子集个数前先化简集合明确集合中元素的个数2.特殊集合处理：空集的子集个数为1（只有它本身）单元素集合的真子集个数为1（只有空集）3.易错点规避：注意题目是否要求“非空”“真”避免直接用作答【经典例题1】（2026·河南商丘·模拟预测）已知全集U=x∈Nx+2x−6<0，集合A=A．3 B．7 C．15 D．31【经典例题2】（2026·陕西榆林·三模）集合A=xx3【巩固练习1】（2026·西藏林芝·二模）若2,0,1⊆A⊆0,2,1，则A的真子集个数为（A．8 B．7 C．6 D．3【巩固练习2】（2026·湖北襄阳·二模）已知集合A={x∈Z|12<2x<8}，BA．2 B．6 C．7 D．8【巩固练习3】（2026·河南开封·模拟预测）已知集合A=x∈Nx+1x−4<0，B=A．3 B．6 C．7 D．8【题型5】集合的交并补运算核心知识 交集：由同时属于集合和集合的所有元素组成的集合记作 并集：由属于集合或属于集合的所有元素组成的集合记作 补集：设全集为由不属于集合但属于的所有元素组成的集合记作 运算性质：方法技巧1.定义法直接运算：根据交、并、补的定义直接找出符合条件的元素2.数轴法（数集专用）：对于区间型集合画数轴表示通过区间重叠部分快速确定交、并集3.补集思想：当正面计算复杂时利用“正难则反”先求补集再转化求解4.运算律应用：灵活使用分配律、德摩根律简化运算【经典例题1】（2026·天津河东·二模）已知全集U=0,1,2,3,4,5，集合A=0,1,4，集合B={x|x∈A}，则A．2 B．0,1 C．3,5 D．2,3,4,5【经典例题2】（2026·山西大同·三模）已知全集U=R，集合M=x2x−3≥3，N=x3xA．3,+∞ B．−∞,0 C．0,3【巩固练习1】（2026·浙江宁波·三模）已知集合A=y|y=−x2A．A∩B=B B．A∪B=RC．(∁RA)∪B=B【巩固练习2】（2026·河南·三模）已知集合A=x∣x2−5x≤0A．(5,9] B．[5,9] C．{6,7,8,9} D．{5,6,7,8,9}【巩固练习3】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知集合A=x∈N*∣x2−4x≤0，集合∁A．1,4 B．1,+∞ C．1,2,3,4 D．【题型6】Venn图运算核心知识 Venn图用封闭曲线直观表示集合通过图形的重叠、包含关系体现集合运算 核心关系：对应两圆重叠部分对应两圆覆盖的所有部分对应全集内、集合外的部分方法技巧1.标注元素法：将集合中的元素标注在Venn图的对应区域直接读取运算结果2.区域分析法：根据Venn图的区域划分理解“属于不属于”“属于不属于”等区域的含义3.容斥原理结合：利用Venn图理解解决计数问题【经典例题1】（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集U及其两个非空真子集A,B，则图中阴影部分所表示的集合是（

）A．A∩BB．A∪BC．A∩D．B∩【经典例题2】（2026·河北唐山·一模）已知全集U及其两个非空真子集M，N，则∁U(M∪N)=（A．∅ B．M∩N C．(∁UM)∩(【巩固练习1】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集U=R，集合A={x∣x<4},B={xA．(−∞,3]∪[4,+∞) B．(−∞,4]∪[5,+【巩固练习2】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知U为全集，集合M，N，P均为非空集合，M∩N≠∅,M∩(∁UN)=A．M⊆P B．N⊆P C．∁UM⊆P 【巩固练习3】（2025·辽宁·模拟预测）已知集合A、B、C是全集U的三个真子集，A、B、C的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A．A∩B∩C B．A∩C+B∩CC．A∩C+B∩C−A∩B∩C D．【题型7】由集合的基本关系求参数范围核心知识 已知（或）结合集合的描述（如区间、方程的解）求参数的取值范围 核心逻辑：集合的所有元素都必须属于集合转化为不等式或方程的恒成立问题方法技巧1.分类讨论（空集优先）：先讨论集合的情况此时参数满足使方程无解的条件2.数轴法列不等式：若集合为区间型画数轴表示两集合的包含关系列出端点满足的不等式3.端点验证：列出不等式后必须验证端点是否可取避免漏写或多写等号4.互异性检验：若集合含参数求出参数后需回代检验集合元素的互异性【经典例题1】（2026·陕西·二模）已知集合A=xx−ax+1≤0a>0,B=x∈NA．6,+∞ B．6,+∞ C．2,+∞【经典例题2】（2026·青海西宁·二模）已知集合M=x|x2−ax<0,N=x|logA．−∞,1 B．−1,0 C．0,1 【巩固练习1】（2026·湖北十堰·二模）已知集合A=x∣(x−a)(x+1)≤0(a>0),B=x∈N∣tx=6,t∈N∗，若B⊆AA．[6,+∞) B．(6,+∞) C．【巩固练习2】（2026·湖北·二模）已知集合M=x∣x2−2x+a≤0，N={x∣y=ln(x−4)}，若A．(−8,−4] B．(−8,+∞) C．[−4,+∞【巩固练习3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知集合A=xx2−x−2<0，B=xx2A．−∞,1 B．0,1 C．−∞【题型8】由集合的交并补运算求参数范围核心知识 已知集合运算的结果（如、、等）反求参数的取值范围 核心转化：将运算结果转化为集合的包含关系如转化为、无公共元素转化为方法技巧1.运算转包含： ：两集合无公共元素（数集用数轴看区间无重叠） ： ：2.补集转化：利用转化为已知包含关系求参数3.端点临界分析：重点关注区间端点的取值避免因端点等号导致集合出现公共元素4.多情况讨论：当集合为方程的解时需讨论方程无解、有一解、有两解的情况【经典例题1】（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合A=xx+3x−2≥0，B=x3p−2≤x≤2p−1，B⊆A．−13,+∞ B．−13【经典例题2】（2025·新疆喀什·二模）已知集合A=x|x≤2，B=xx2−2x−3≥0，C=xx>aA．−1,+∞ B．C．−∞,−1 【巩固练习1】（2026·上海普陀·二模）设a∈R，集合M=−1,−2,−a，N=x|x2−ax≤0，若集合A⊆M∩N，且满足条件的【巩固练习2】（24-25高一上·上海·月考）已知集合A=xx2−2x−3≥0,B=xx【巩固练习3】（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合A={x1≤x≤4}，(1)若A∩B=B，求实数m的取值范围；(2)设p:x∈A，q:x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【题型9】容斥原理及其应用核心知识 两个集合的容斥原理： 三个集合的容斥原理： 本质：计算并集元素个数时减去重复计数的部分再加回多减的部分方法技巧1.韦恩图辅助计数：将题目中的数据标注在Venn图的各个区域直观理解重复部分2.公式直接套用：明确题目涉及的集合个数直接套用对应的容斥原理公式3.逆向思维：当直接计算并集困难时用“总数-都不属于的元素个数”求解4.重复部分分析：重点关注“同时属于多个集合”的元素这是容斥原理的核心易错点【经典例题1】（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高三某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为（

）A．5 B．6 C．8 D．10【经典例题2】（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对A,B两个事件的态度，有如下结果：24人赞成A，其余的不赞成；27人赞成B，其余的不赞成；另外，对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的三分之一多1人，则对A,B都赞成的学生有__________人.【巩固练习1】（25-26高一上·四川巴中·月考）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（

）A．7人 B．8人 C．9人 D．10人【巩固练习2】（2027高三·全国·专题练习）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人．【巩固练习3】（2025高三·全国·专题练习）（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（

）A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人【题型10】集合中的新定义问题【经典例题1】（2026·河南开封·二模）定义集合A−B=x|x∈A且x∉B，已知集合A=1,a，B=2,b，若A−B=1A．a=2 B．b≠1 C．A∩B=2 D．【经典例题2】（2026·福建漳州·三模）已知A1,A2是集合A的非空子集，若A1∩A2=∅，则称A1,【巩固练习1】（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合A=xy∣x2+y【巩固练习2】（2026·山东德州·模拟预测）已知A，B，C为集合M=1,2,⋅⋅⋅,n①A∩B=A∩C=B∩C=∅，A∪B∪C=M；②x∈M|x=3k,k∈N∗⊆A，B③A，B，C中所有元素的和分别记为S1，S2，S3，且S1=【巩固练习3】（24-25高三上·陕西·期中）【多选题】已知集合An=x∈N∣A．An中有2B．C10C．当n为偶数时，Cn中有2D．当n为奇数时，Cn中的元素之和为课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（

）A．∅∈0 B．C．1⊆1,1 2．（25-26高一上·重庆渝中·期末）已知集合A=x|x2<4，集合B=NA．1,2 B．0,1 C．−2,2 D．0,23．（2026·云南·模拟预测）已知集合A=xx2−5x+6=0，B=xA．1,2,3,4 B．2,3 C．1,2 D．14．（2026·四川成都·三模）设全集U=x∈Z|x≤3，集合A=−3,2,3,B=A．−3,0,2,3 B．−2,−1,1 C．−3,2 D．0,35．（2026·山西·二模）集合A=xlnx≤2，B=y∈N2A．3,e2 B．3,4,5,6,7,8 C．4,5,6,7 6．（2026·安徽安庆·三模）设集合A={x∣−1<x<1},B={x∣x>a}，若A∩B=A，则a的取值范围（

）A．a≥1 B．a≤−1 C．a<1 D．a>17．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合A=1,2,3，B=xx≤t，若A∩B恰有4个子集，则tA．2,3 B．2,3 C．2,3 D．2,48．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合M=xx+1x−7<0，N={x∣2x>a}，若M⊆NA．(−∞,14] B．−∞,14 C．9．（2026·广东江门·二模）已知集合A={x|−1<x<a}，B={x|x≤2a−1}，且A⊆B，则a的取值范围是（

）A．(−1,1] B．1,+∞ C．1,+∞ 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合A=y|y=12x，集合B=x∈Z∣A．−1,3 B．0,3 C．1,2 D．0,1,211．（2026·陕西榆林·三模）已知集合A={x∣2x+5<11}，B=x∈N∣x≤4A．1,2 B．−C．0,1,2 D．0,1,2,312．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合A=1,4,a+2，B=1,a2，且A∩B=B，则A．1 B．−1 C．2 D．−213．（2026·山东威海·二模）已