第02讲 常用逻辑用语（原卷版及参考答案）

第02讲常用逻辑用语TOC\o"1-2"\h\u题型一充分、必要条件的判定 2题型二已知充分、必要条件求参 3题型三含量词的命题的否定 4题型四 含量词的命题的真假判断 6题型五 含量词的命题的应用 8课时精练 9【基础回顾】知识点1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p知识点2.全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示。（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示。知识点3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立简记∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定∃x∈M,¬p(x)∀x∈M,¬p(x)【必备知识】1.充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}。（1）若p是q的充分条件，则A⊆B；（2）若p是q的充分不必要条件，则A⫋B；（3）若p是q的必要不充分条件，则B⫌A；（4）若p是q的充要条件，则A＝B.2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”。3.命题p与p的否定的真假性相反。题型一充分、必要条件的判定充分、必要条件的三种判定方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断。（2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断，小集合⇒大集合。（3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止。【例题精讲】1．（2026·山东泰安·模拟预测）若x∈R，下列选项中，使x2−2x−3<0A．−1<x<3 B．−1≤x≤3 C．−1<x<2 D．−2<x<32．（2026·江苏·二模）已知a>0,b>0,0<c<1，则“ac<bc<1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2026·重庆·一模）“x2+x−2<0”是“2xx−2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2026·辽宁沈阳·三模）命题“x−22x+1<0”的一个充分不必要条件是（A．−1<x<2 B．−12<x<2 C．−5．（2026·重庆渝中·模拟预测）对于实数a、b，则“a>b”是“a2>A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2026·天津河东·二模）已知x∈R，“1−2x≥3”是“x2−A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．（2026·河北衡水·二模）“log2a<log2bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（多选）8．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．∃x∈RB．若x∈R，则“x>23”是“C．x2D．若ac2（多选）9．（2026·江西宜春·模拟预测）用x表示不超过x的最大整数，则（

）A．xB．x=y是C．函数fx=D．方程4x2（多选）10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若a,b∈R，则a>b成立的充分不必要条件可以是（

）A．a>b B．a2>b2 题型二已知充分、必要条件求参求参数问题的解题策略（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解。（2）要注意区间端点值的检验。【例题精讲】1．（2026·重庆·模拟预测）已知p：x2−1<0，q：x≥m，若p是q的既不充分又不必要条件，则实数m的取值范围是（A．−1,1 B．−1,1 C．−1,+∞ D．2．（25-26高三上·福建·月考）已知集合A=x|x2−2x<0，B=x|x≥m，若“t∈B”是“t∈A．−2 B．0 C．1 D．33．（25-26高一上·天津·月考）已知条件p:x<2，条件q:x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（A．a|a>2 B．a|a≥2C．a|a<−2 D．a|a≤−24．（25-26高三·天津·一轮复习）已知集合A=xx2−4x+3≤0，B=xx>m．若“x∈∁A．−∞,1 B．1,3 C．[3,+∞5．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知p:x>1，q:x<m，若p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（A．−∞,1 B．−∞,1 C．6．（22-23高一上·安徽滁州·月考）若“−1<x<1”是“x−ax−3−a<0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（A．{a|a≤1或a≥2} B．aC．a−2≤a≤−1 D．{a|a≤−2或7．（22-23高三上·河南安阳·月考）若“x+1=2”是“log2x+A．3 B．2 C．1 D．0（多选）8．（2026·云南昆明·模拟预测）若“sinα+cosα=m”是“1+sin2αA．0 B．1 C．2 D．2题型三含量词的命题的否定全称命题的否定（∀→∃，并否定结论）原命题：∀x∈M，P（x）（所有x属于M，都满足P(x））否定命题：∃x∈M，¬P（x）（存在x属于M，不满足P(x））存在命题的否定（∃→∀，并否定结论）原命题：∃x∈M，P（x）（存在x属于M，满足P(x））否定命题：∀x∈M，¬P（x）（所有x属于M，都不满足P(x））【例题精讲】1．（2026·浙江温州·二模）已知命题p:∃x∈R，x2−x+1≤0，那么¬pA．∀x∈R，x2−x+1>0 B．C．∀x∈R，x2−x+1≤0 D．2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知命题p:∀x>0，log2x>0；命题q:∃x<0，|x+1|>1.则（A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题3．（2026·陕西咸阳·三模）命题“∀x>1，x2A．∀x≤1，x2C．∃x>1，x24．（2026·天津和平·二模）命题“∀x∈Z，∃n∈N∗，使得n≥xA．∃x∈Z，∃n∈N∗，使得n<x3 B．∀x∈ZC．∃x∈Z，∀n∈N∗，使得n<x3 D．∀x∈Z5．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（

）A．命题p:∀x∈R，x2>0，则命题p的否定是：B．“a>1”是“1aC．方程x2−4x+a=0D．0<k<4是关于x的不等式kx2−kx+1>06．（25-26高二下·陕西西安·期中）命题p:∀x∈0,1，x2+x>0A．∃x0∈0,1，x0C．∃x0∈0,1，x07．（25-26高三上·浙江金华·期末）命题“∃x∈R，x2+x−1>0”的否定是（A．∀x∈R，x2+x−1>0 B．∀x∈RC．∃x∈R，x2+x−1<0 D．∃x∈R（多选）8．（25-26高一上·湖南常德·期末）下列说法正确的有（

）A．对任意实数x都有xB．若2<a<5,3<b<10，则−18<a−2b<−1C．当x>1时，x+1D．若p:∃n∈N,（多选）9．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（

）A．∀x∈R，xB．“∃x∈R，|x−1|+1<0”是假命题C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题D．“∀x∈R，x+4x4≥0”的否定是“∀x∉R（多选）10．（2025·四川泸州·一模）下列命题正确的有（

）A．f(x)=|x|x与B．“x<1”是“x2C．命题“∀x∈R,x2−x+2⩾0D．若f(x)=|x−1|−|x|，则f题型四 含量词的命题的真假判断一、全称命题（∀x∈M，P(x））的真假判断定义：命题“对所有x属于M，P(x)成立”。判断方法：为真：需证明论域M中的每一个元素x都满足P（x）。为假：只需找到至少一个反例（即存在x∈M，使得P(x)不成立）。二、存在命题（∃x∈M，P(x））的真假判断定义：命题“存在x属于M，使得P(x)成立”。判断方法：为真：只需找到至少一个实例（即存在x∈M，使得P(x)成立）。为假：需证明论域M中没有任何元素x满足P（x）（即∀x∈M，¬P(x)为真）。【例题精讲】1．（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（

）A．∀x∈B．∃x∈C．任何实数都有算术平方根D．任意两个无理数之和仍为无理数2．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题p:∀x∈R,x2+2x+2>0，则命题pA．真，¬p:∀x∈R,x2+2x+2≤0C．假，¬p:∀x∈R,x2+2x+2≤03．（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，x≠0，则x+1x>2，命题A．p和q都是假命题 B．p是真命题，q是假命题C．p是假命题，q是真命题 D．p和q都是真命题4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，x+1>1；命题q:∃x>0，2xA．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题5．（2026·四川巴中·一模）下列命题中为真命题的是（

）．A．∃x∈R，x2+1<0 B．∀x∈RC．∀x∈Z，x∈N D．∃x∈R，6．（2026·河北·一模）已知命题p:∀x∈R,5x−2A．p和q都是假命题 B．p是真命题，q是假命题C．p是假命题，q是真命题 D．p和q都是真命题7．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题p:“∃x∈R，使得不等式ax2+2ax+2<0成立”为假命题，则实数A．0, 4 B．2, 4 C．（多选）8．（25-26高三·全国·一轮复习）下面四个命题错误的是（）A．∀x∈R，xB．∃x∈Q，C．∃x∈R，D．∀x∈R，（多选）9．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知命题p：平行四边形的对角线相等，q:∃x∈1,2,−2A．p是存在量词命题B．q是存在量词命题C．¬p：有些平行四边形的对角线不相等D．q是真命题（多选）10．（25-26高三上·广东梅州·期中）设集合M=xi∈N∣1≤i≤n,i∈N*,n≥3，若∃x,y,z∈M，使得y2A．若1,9,x是Ω集，则x=3或81B．若集合A是Ω集，集合B是非空数集，则A∪B是Ω集C．若集合A是Ω集，集合B=yj∈N∣1≤j≤m,j∈D．∀p∈N*，∃q∈N*且q≥3，使得题型五 含量词的命题的应用含量词命题的解题策略（1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可。当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假。（2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围。【例题精讲】1．（25-26高三上·北京·月考）已知命题“∀x∈R,x2+ax+A．−∞,−1∪C．(−1,1) D．−1,12．（25-26高一上·云南大理·月考）命题：“∀x∈R，都有一元二次不等式ax2−2ax−3<0”为真命题，则实数A．a−3<a<0 B．a−3<a≤0 C．aa<−33．（25-26高一上·天津河东·月考）已知命题p:“∀x∈1,4，x2−mx+4<0”，若命题p是真命题，则实数mA．m>5 B．m≥5 C．m>4 D．m≥44．（2025·广东江门·模拟预测）若命题“∀x∈R,x2+x+a≠0”的否定是真命题，则实数aA．12,+∞ B．12,+∞5．（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“∃x0∈R，x02A．−∞,−14 B．−∞,6．（25-26高一上·江西赣州·期末）使命题p:“∃x∈1,2,m≤xA．m≥4 B．m>5 C．m≤2 D．m≤57．（2025高一上·吉林长春·专题练习）命题p：“∃x∈R，ax2+2ax−4≥0”为假命题，则aA．−4<a≤0 B．−4≤a<0 C．−3≤a≤0 D．−4≤a≤08．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知命题“存在x∈{x|−1<x<2}，使得等式3x−m=0成立”是假命题，则实数m的取值范围是_____________9．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若“∃x∈1,2,ax2−x≤010．（2026·青海西宁·二模）已知命题p:∀x∈R,ax2−3x≥−5，若p为真命题，则a课时精练一、单选题1．（25-26高一上·江苏淮安·月考）命题“∀x>1，x2−x<0”的否定是（A．∀x≤1，x2−x<0 B．∀x>1C．∃x>1，x2−x≥0 D．∃x≤12．（25-26高二下·贵州遵义·月考）命题“∀x>1，x2−1>0”的否定形式是（A．∀x>1，x2−1≤0 B．∀x≤1，x2−1≤0 C．∃x>1，x23．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（

）A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形4．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题为假命题的是（）A．有些实数是无限不循环小数B．每一个末位是0的整数都是5的倍数C．至少有一个整数n，使n2D．对任意负数x，x25．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：∀x∈0,+∞，x2+x−1>0；q：∃x∈−3,0A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，¬q是真命题C．¬p是真命题，q是真命题 D．¬p是真命题，¬q是真命题6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“∀x∈R,x2−mx+2>0”是真命题，则实数mA．−22,22 B．−22,227．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x2=x，则（A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题8．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知命题p:∃x∈R, x2A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题二、多选题（多选）9．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列命题中，正确的是（

）A．命题“∃x∈R，x>1”的否定是“∀x∈R，B．“至少有一个x，使x2C．“∀x≥0，x−2>xD．“a+1>b−2”是“a>b”的必要不充分条件（多选）10．（25-26高二上·江西宜春·期末）下列命题中正确的是（

）A．若命题“∀x∈R，x2+4ax+3a>0”为真命题，则实数B．不等式x−2x+1≤0C．若a=log617，b=D．当x>−1时，x2−3x（多选）11．（25-26高一下·湖南长沙·期末）以下四个命题中，是真命题的是（

）A．∀x∈B．存在整数x，y，使得2x+4y=5C．∀a∈R，二次函数y=x2+2aD．若命题p:∀x>0,x2+x+1≥0，则三、填空题12．（25-26高一上·山东德州·期末）若“∀x∈R，ax2−2ax+6>013．（25-26高一上·河南许昌·期末）若命题“∀x∈−1,4，x2−2x−a>0”为真命题，则实数a14．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）若“∀x∈0,2，2x−1+2−x−m<0四、解答题15．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题p:∀x∈R，使得不等式mx2−mx+2>0恒成立；命题q:∃(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p､q有且只有一个是真命题，求实数16．（25-26高一上·四川南充·期中）（1）已知命题p：存在实数x∈R，使x2−ax+a+3≤0成立.若命题p是真命题，求实数（2）已知命题q：任意实数x∈2,3，使x2+4x−a<0恒成立.若命题q17．（25-26高一上·湖南·期中）已知命题p:∀x∈R，ax2+ax+1>0，命题q:∃x∈(1)若p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）设x，a∈R(1)解关于x的不等式ax(2)设命题p：∃x>1，x2−a+1x+a<−2x，若19．（25-26高一上·河北承德·期末）设全集U=R，集合A={x|a−3<x<2a−1}，B={x|x−5x−1≤0}(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围；(2)若命题“∃x∈A，使得x∈∁RB

第02讲常用逻辑用语题型一充分、必要条件的判定1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】AC9．【答案】BCD10．【答案】AC题型二已知充分、必要条件求参1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】BC题型三含量词的命题的否定1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】AB9．【答案】AB10．【答案】BD题型四 含量词的命题的真假判断1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】ABC9．【答案】BCD10．【答案】ACD题型五 含量词的命题的应用1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】{m|m≤−3或【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解.【详解】由已知命题“存在x∈{x|−1<x<2}，使得等式3x−m=0成立”是假命题，等价于“任意x∈{x|−1<x<2}，使得等式3x−m≠0成立”是真命题，又因为−1<x<2，所以−3<3x<6，要使3x≠m，则需m≤−3或m≥6.所以实数m的取值范围为{m|m≤−3或m≥6}故答案为：{m|m≤−3或9．【答案】−【分析】根据特称命题证明方法，构造函数，根据定义域，对函数解析式进行参变分离，求出参数范围.【详解】设f(x)=ax∃x∈1,2,ax2−x≤0则ax2−x≤0，由x∈当x∈1,2时，1x∈12故答案为：−∞10．【答案】[【分析】根据题意，分a=0、a≠0两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解.【详解】ax2−3x≥−5由题意可知，∀x∈R当a=0时，原不等式为−3x+5≥0，解得x≤5当a≠0时，依题意得a>09−20a≤0，解得a≥综上所述，a的取值范围为[9课时精练1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】ACD10．【答案】ACD11．【答案】AC12．【答案】0,6【详解】当a=0时，6>0恒成立，或当a>0Δ=4a综上，a的取值范围是0,6.13．【答案】−2（不唯一）【分析】分离参数后，求出x2−2x的最小值为−1，得出【详解】由题意，x2−2x>a，对任意因为x2−2x=x−12−1，所以当x∈所以a<−1，故答案为：−2（不唯一）14．【答案】−【分析】先求出原命题为真命题的时候m的范围，再取其补集即可.【详解】假设若“∀x∈0,2，2x−1+令t=2x，不等式即为m>t2+由对勾函数单调性可知，函数ft=t2+故其最大值在端点处取得，比较f(1)=32与可知f(t)max=f(4)=所以若“∀x∈0,2，2x−1+2−x故答案为：−15．【答案】(1)0,8(2)−4,0【分析】（1）分m=0和m≠0两种情况进行讨论即可；（2）分p真q假和p假q真两种情况进行讨论求解，再取并集即可．【详解】（1）因为p:∀x∈R,mx所以当m=0时，不等式为2>0，在R上恒成立，符合题意；当m≠0时，m>0,Δ=m综上，实数m的取值范围为0,8．（2）若q为真命题，即q:则对于0≤x≤3,(2x−2)由于0≤x≤3,2x−2∈−2,4所以m≤4，解得−4≤m≤4又因为p,q有且只有一个是真命题，所以当p真q假时，0≤m<8,解得4<m<8；当p假q真时，m<0解得−4≤m<0．所以实数m的取值范围为−4,0∪16．【答案】（1）−∞,−2∪【分析】（1）把存在问题转化为判别式大于等于零，再解一元二次不等式即可；（2）方法一：根据不等式恒成立得出∀x∈2,3，a>x2【详解】（1）p：存在实数x∈R，使x2则Δ=解得a≤−2或a≥6所以实数a的取值范围为−∞（2）方法一：任意实数x∈2,3，使x2+4x−a<0恒成立⇔∀x∈因为x∈2,3时，x则a>21，根据命题q为假命题，则a≤21，故实数a的取值范围为−∞方法二：∀x∈2,3，x因为x∈2,3时，x则21−a<0即a>21，根据命题q为假命题，则a≤21，故实数a的取值范围为−∞17．【答案】(1)−(2)0,【分析】（1）由p为真命题求出实数a的取值范围，则其补集就是p为假命题实数a的取值范围；（2）分p真q假、p假q真两种情况求解.【详解】（1）若p为真命题，则当a=0，不等式变为1>0解集为R，满足；若a≠0，则a>0Δ=