第03讲 等式性质与不等式性质（原卷版及参考答案）

第03讲等式性质与不等式性质TOC\o"1-2"\h\u题型一数(式)的大小比较 2题型二判断不等式正确性 7题型三利用不等式求值或取值范围 11课时精练 16【基础回顾】知识点1．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)．知识点2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点3．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．【必备知识】不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a<b<0⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；③a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质（糖水不等式）eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；②假分数的性质eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)，eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．题型一数(式)的大小比较比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．【例题精讲】1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（

）A．7−5>C．2ln3<3ln2．（2026·山东聊城·二模）已知正数a,b,c满足logac>logA．c>1 B．a<bC．ac>b3．（2026·广东揭阳·二模）已知a，b，c∈R，且a>b，则下列说法正确的是（

）A．1a<1b B．ac24．（2026·四川攀枝花·二模）若正实数a，b满足a>b，且lna⋅lnb>0A．logab<0 B．a−1b>b−15．（2026·甘肃·一模）已知a,b∈R，则“a>b>0”是“b+1a+1>bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．若a>b>1，则e1a>e1b；C．若a<b<0，则a2<ab<b2； D．若7．（2026·天津南开·一模）已知a<b<0, c>d>0，则下列结论不成立的是（A．ac<bd B．a2c>b2d （多选）8．（2026·陕西·模拟预测）如果a,b,c,d∈R,ab≠0，则下列说法正确的是（

）A．若a>b，则1B．若ac2C．若a>b,c>d，则ac>bdD．若b>a>0,c>0，则b+c（多选）9．（2026·安徽合肥·一模）已知正实数a,b,c满足a<b<c，且a−1>c−1>A．a<1 B．b>1 C．ac<1 D．bc>1（多选）10．（2026·黑龙江大庆·二模）下列命题正确的是（

）A．若a>b，则aB．若a>b,c<d，则a−c>b−dC．若a>b>0，则3D．若a>b，则1题型二判断不等式正确性判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．【例题精讲】1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数a，b满足a>b，且1a>1A．ab>0 B．a+b>0 C．a+b<0 D．ab<02．（2026·青海西宁·二模）已知a>b>0>c，则下列不等式一定正确的是（

）A．ac>bc B．a(a+c)>b(b+c) C．a(b−c)>b(a−c) D．13．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知实数a,b,c满足a>b>1>c，则下列结论一定正确的是（

）A．ac>bc B．bC．logab+log4．（2026·上海杨浦·二模）设a>b，下列不等式中恒成立的是（

）A．1a<1b B．a2>5．（2026·重庆·二模）已知a<b<c，则（）A．ac<bc B．ac<C．2a+b<2b+c D．b−a<c−b6．（2026·辽宁抚顺·一模）若a∈R且a>1，则下列结论正确的是（

）A．ac>c B．ac2>c2 7．（2026·山东日照·一模）已知lna>lnb>0A．2a<2C．a+b2<ab（多选）8．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．∃x∈RB．若x∈R，则“x>23”是“C．x2D．若ac2（多选）9．（2026·山西吕梁·二模）若a>b>c>d，则下列不等式正确的是（

）A．ac2>bc2 B．a+c>b+d （多选）10．（2026·河北沧州·二模）若a>0，b>0，a+b=4，则（

）A．a−4b≥0C．a+b≤2题型三利用不等式求值或取值范围利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点(1)必须严格运用不等式的性质．(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．【例题精讲】1．（25-26高一上·江西·月考）已知−2<a+2b<5，−3<a−b<1，则a+b的取值范围是（

）．A．−296,C．−296,2．（25-26高一上·河南·开学考试）已知maxa,b,c表示a,b,c中的最大者，若a>0,b>0，则max1aA．2 B．3 C．4 D．53．（2025·河北沧州·模拟预测）已知2<a≤4，−1<b≤0，则2a−b的取值范围（

）A．4,9 B．4,9 C．5,8 D．5,84．（25-26高一下·四川成都·期中）若1<a+b<4,−2<a−b<4，则a+3b的取值范围是（）A．−5<a+3b<1 B．−2<a+3b<10 C．−2<a+3b<9 D．−5<a+3b<105．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知−1≤x+y≤1，1≤x−y≤2，则4x−2y的取值范围是（

）A．2,7 B．3,8 C．2,8 D．5,106．（2026·山东·模拟预测）当0<x≤13时，满足8x<logA．0,33 B．33,1 C．7．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0a，b，A．（−∞,−10] B．[−10,+∞) C．−6,+（多选）8．（25-26高三上·云南楚雄·期中）已知3<a<10，5<b<30，则下列结论正确的有（

）A．2<ba<10C．2<b−a<20 D．23（多选）9．（25-26高二上·广东·期中）已知1m+2A．若m>n>0，则m>B．若m>0>n，则n<−C．当m>0,n>0时，2m+n的最小值为4D．当m>0,n>0时，mn的最小值为2（多选）10．（25-26高一上·湖北十堰·期中）下列是真命题的是（

）．A．已知x>0,y>0，且4x+y=1，则y2B．已知2<x<4，−1<y<0则x−y的取值范围为2,5C．已知a>b>c且2a−b+1b−cD．若x>0,y>0,x+8x+2y+课时精练一、单选题1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知a>b>0，c>0，d<0，则下列正确的是（

）A．ca>cb B．da>2．（2026·上海松江·模拟预测）若实数a､b满足a2A．a>b>0 B．a>0>bC．a>b D．3．（25-26高一下·贵州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若a>b，c>d，则ca>db C．若c>a>b，则1c−a<1c−b D．若a>b>04．（2026·山东德州·二模）已知a,b为正实数，c为实数，则“a>b”的充要条件可以是（

）A．ac>bc B．aC．a+1a>b+5．（25-26高一下·浙江·期中）设a、b、c∈R，则“c>a>b”是“1c−a>1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若a>b，c>d，则a+b>c+d B．若a2>C．若c>a>b>0，则1c−a>1c−b D．若a>b>07．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）设a，b，c为非零实数，且a>c，b>c，则（

）A．a2+bC．2a2b8．（25-26高一上·山东济南·期末）若a>b>0，c<0，则下列不等式成立的是（

）A．a+c<b+c B．ac>bcC．ca>c二、多选题（多选）9．（25-26高一下·河南信阳·期中）下列命题正确的是（

）A．“a=1”是“1aB．若命题p:∃n∈N，n2>C．若A∩B=∅，则A=∅或B=∅D．若a>b，且c>d，则ac>bd（多选）10．（25-26高二下·浙江舟山·期中）下列命题正确的是（

）A．若a>b>0且c>0，则aB．“a>1”是“−1C．若x≥3，则x+D．不等式kx2+kx+1>0对一切实数（多选）11．（25-26高三下·江西抚州·月考）若a,b是任意正实数，且1a>1A．a2026<bC．(b−a)a>1 三、填空题12．（25-26高一下·山东德州·月考）已知1≤2x−y≤2,−1≤2x+3y≤1，则6x+y的取值范围为______13．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知x,y∈R，x>0，y>0，且x+2y=1，则下列命题中正确的是____（1）xy的最大值为18；（2）1x+（3）x2+y2的最小值为14．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记maxa,b,c表示a,b,c中最大的数，已知a+b+c=0,abc=4，则maxa,b,c的最小值为

第03讲等式性质与不等式性质题型一数(式)的大小比较1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】BD9．【答案】AC10．【答案】BC题型二判断不等式正确性1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】AC9．【答案】BC10．【答案】BCD题型三利用不等式求值或取值范围1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】BD9．【答案】ACD10．【答案】BCD课时精练1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】AB10．【答案】AC11．【答案】ABD12．【答案】[1,5]【分析】利用不等式待定系数配凑求解【详解】设6x+y=m展开得6x+y=对比系数列方程得2m+2n=6−m+3n=1，解得所以6x+y=2因为1≤2x−y≤2，−1≤2x+3y≤1所以2×1≤22x−y≤2×2−1≤2x+3y≤12≤2(2x−y)≤4，两不等式相加得2−1≤6x+y≤4+1，即13．【答案】（1）（3）【分析】对于（1）和（2），根据条件，利用基本不等式，即可求解；对（3）根据条件得x2【详解】对于命题（1），因为x>0，y>0，且x+2y=1，则xy=12x⋅2y≤所以命题（1）正确，对于命题（2），因为1x当且仅当x+2y=1xy=对于命题（3），因为x+2y=1，则x=1−2y，且x