第二章 §2.4 函数的周期性和对称性（原卷版及解析版）

第第页第二章函数§2.4函数的周期性和对称性【高考考向预测】近三年高考函数周期性与对称性考查频次偏高，多在选择填空压轴位置出现，常结合奇偶性、单调性综合命题，重点考查周期推导、对称关系转化以及利用性质求值与分析图像特征；预测2027年仍会维持高频考查态势，命题偏向多性质融合设问，侧重抽象函数周期与对称关系式互推，强化利用性质求解函数值、判断区间解析式等题型，着重考查逻辑转化与数形结合解题能力。【双基自测●明考向】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.()(2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称.()(3)函数y=ln(-x)与y=lnx的图象关于x轴对称.()(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称.()2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2026.5)等于()A.1716 B.54 C.23.下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是()A.y=ex-1 B.y=e1-xC.y=e2-x D.y=lnx4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点.

【核心梳理●明考点】1.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.奇函数、偶函数的对称性(1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称；(2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点(a，0)对称.(3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x=a；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0).3.两个函数图象的对称(1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.1.熟记函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|；(2)若f(x+a)=1f(x)，则(3)若f(x+a)=-1f(x)，则2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|.【题型突破●明方向】题型一函数的周期性例1(1)(2025·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，且当x∈(-2，0)时，f(x)=log2(x+3)，则f(2025)-f(2028)等于()A.1 B.-1C.1-log23 D.-1-log23(2)(2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2.则f

2025A.92 B.52 C.-94【跟踪训练】1(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是()A.f(x+6)=f(x)B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6C.f(2023)+f(2025)=f(2024)D.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=3题型二函数的对称性命题点1自对称中的轴对称例2(多选)(2025·延边模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是()A.f(x)的最大值是1，最小值是0B.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称D.f(x)在区间(3，5)上单调递增命题点2自对称中的中心对称例3(多选)下列说法中，正确的是()A.奇函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x-4)-f(x)=0，则函数f(x)的图象关于点(4，0)对称B.函数f(x)=2xC.函数f(x)=lnx−3D.函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称命题点3互对称问题例4已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象()A.关于直线x=1对称B.关于直线x=3对称C.关于直线y=3对称D.关于点(3，0)对称【跟踪训练】2(1)(多选)(2026·茂名模拟)已知函数f(x)=sinx-1sinA.f(x)的一个周期为πB.f(x)的一个周期为2πC.y=f(x)的图象关于点(π，0)对称D.y=f(x)的图象关于直线x=π2(2)(多选)已知函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)=2x−1x−1，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2026(x2026，yA.f(x)的图象关于点(2，2)对称B.g(x)的图象关于点(1，2)对称C.x1+x2+…+x2026=2026D.y1+y2+…+y2026=2026抽象函数的性质的综合应用函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题.函数的奇偶性、对称性和周期性三者之间知二可求一，解题中常常需要函数性质之间的相互转化，以及整体代换思想、赋值法等.另外函数的性质还常和导数一起考查，由复合函数的求导法则可知，在函数有意义的前提下，奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数等一些常用结论可快捷解题.典例(1)(多选)(2025·菏泽模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，且∀x∈R，都有f

x+12=f

32−x，定义在R上的函数A.4为f(x)的一个周期 B.f(x)为偶函数C.f'(x)为偶函数 D.f'12=-f'(2)(多选)(2025·徐州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则下列结论正确的是()A.f(3)=1B.函数f(x)的图象关于直线x=4对称C.函数f(x)在[-6，-2]上单调递减D.若m∈(0，1)，则关于x的方程f(x)-m=0在[0，6]上的所有根之和为4【限时训练】（30分钟）一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.函数y=-ex与y=e-x的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称2.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f

−A.-12 B.-14 C.143.(2025·泰州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，且f(x)在[-2，2]上单调递增.设a=f

74，b=f

72，A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a4.(2025·沧州期末)定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论错误的是()A.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称B.函数f(x)的图象关于点(1，0)对称C.函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称D.函数g(x)的图象关于点(2，0)对称二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(2026·武汉模拟)已知函数f(x)=2sinx-2cosx，下列说法中正确的是()A.f(x)是周期函数B.f(x)在0，πC.函数f(x)为偶函数D.函数f(x)的图象关于点π46.(2025·汕头模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=tanπ4xA.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f

43C.f(x)在区间[2023，2025]上单调递增D.当x∈[0，20]时，方程f(x)=33三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=.

8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3-2x，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点.若△OPM的面积为2，则△MNQ的面积为.四、解答题(共26分)9.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.(1)证明：f(x)是周期函数；(6分)(2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(6分)10.(链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2T13)(14分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分)(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(5分)[每小题6分，共12分]11.(多选)(2025·漳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，都有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则()A.f(0)=1B.f(x)是偶函数C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称D.2π是f(x)的一个周期12.(多选)(2025·福州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(-x)=1，则()A.f(x)的图象关于点(2，2)对称B.f(x)是以8为周期的周期函数C.g(x+8)=g(x)D.2024Σk=1f(4k

第二章函数§2.4函数的周期性和对称性【高考考向预测】近三年高考函数周期性与对称性考查频次偏高，多在选择填空压轴位置出现，常结合奇偶性、单调性综合命题，重点考查周期推导、对称关系转化以及利用性质求值与分析图像特征；预测2027年仍会维持高频考查态势，命题偏向多性质融合设问，侧重抽象函数周期与对称关系式互推，强化利用性质求解函数值、判断区间解析式等题型，着重考查逻辑转化与数形结合解题能力。【双基自测●明考向】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.()(2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称.()(3)函数y=ln(-x)与y=lnx的图象关于x轴对称.()(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称.()【答案】（1）√（2）√（3）×（4）√2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2026.5)等于()A.1716 B.54 C.2【答案】B【解析】由f(x+2)=f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，∴f(2026.5)=f

2026+12=f

123.下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是()A.y=ex-1 B.y=e1-xC.y=e2-x D.y=lnx【答案】C【解析】记f(x)=ex，则关于直线x=1对称的是f(2-x)=e2-x，即y=e2-x.4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点.

【答案】(-1，2)【解析】y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称，y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1，2).【核心梳理●明考点】1.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.奇函数、偶函数的对称性(1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称；(2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点(a，0)对称.(3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x=a；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0).3.两个函数图象的对称(1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.1.熟记函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|；(2)若f(x+a)=1f(x)，则(3)若f(x+a)=-1f(x)，则2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|.【题型突破●明方向】题型一函数的周期性例1(1)(2025·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，且当x∈(-2，0)时，f(x)=log2(x+3)，则f(2025)-f(2028)等于()A.1 B.-1C.1-log23 D.-1-log23【答案】B【解析】根据题意，函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，则f(x)=f(x+4)，即f(x)是周期为4的周期函数，又2025=506×4+1，2028=507×4，所以f(2025)=f(1)，f(2028)=f(0)，又由函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，f(1)=-f(-1)=-log2(-1+3)=-1，所以f(2025)-f(2028)=-1.(2)(2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2.则f

2025A.92 B.52 C.-94【答案】B【解析】方法一f(x+1)为奇函数，故f(-x+1)=-f(x+1)，又f(x+2)为偶函数，故f(-x+2)=f(x+2)，在f(-x+2)=f(x+2)中，用x-1代替x得f(-x+3)=f(x+1)，结合f(-x+1)=-f(x+1)得f(-x+1)=-f(-x+3)，即f(x)=-f(x+2)，又f(x+2)=-f(x+4)，故f(x)=f(x+4)，所以f(x)的一个周期为4，又当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2，且f(-x+1)=-f(x+1)，则f(1)=-f(1)，则f(1)=0，则a+2=0，所以a=-2，则当x∈[1，2]时，f(x)=-2x2+2，故f

20252=f

4=-f

32=-−2×方法二因为f(x+1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，因为f(x+2)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，设f(x)的周期为T，则T4=2-1=1，所以T=4又f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(1)=0，解得a=-2，所以当x∈[1，2]时，f(x)=-2x2+2，所以f

20252=f

4=-f

32=【思维升华】(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.【跟踪训练】1(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是()A.f(x+6)=f(x)B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6C.f(2023)+f(2025)=f(2024)D.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=3【答案】ACD【解析】因为f(x-3)=-f(x)，所以f(x)=-f(x+3)，则f(x-3)=f(x+3)，所以f(x+6)=f(x)，故A正确；当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则当x∈[-6，-3]时，x+6∈[0，3]，f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(x+6)=x2+9x+18，故B不正确；由f(x+6)=f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2023)=f(1+337×6)=f(1)=-2，f(2025)=f(3+337×6)=f(3)=0，f(2024)=f(2+337×6)=f(2)=-2，所以f(2023)+f(2025)=f(2024)，故C正确；由A选项知，f(x)=-f(x+3)，又f(x)=-f(-x)，则f(x+3)=f(-x)，所以函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=32，故D正确题型二函数的对称性命题点1自对称中的轴对称例2(多选)(2025·延边模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是()A.f(x)的最大值是1，最小值是0B.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称D.f(x)在区间(3，5)上单调递增【答案】BCD【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，又对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确；因为f(2-x)=f(x)=-f(-x)，即f(2+x)=-f(x)，所以f(4+x)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，又当x∈[0，1]时，f(x)=x2单调递增，所以f(x)在[-1，0]上单调递增，则f(x)在[-1，1]上单调递增，由f(x)的图象关于直线x=1对称，得f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[-1，3]上的最大值是f(1)=1，最小值是f(-1)=-f(1)=-1，故A错误；当3≤x≤4时，0≤4-x≤1，则f(x)=-f(-x)=-f(4-x)=-(4-x)2，故B正确；由f(x)在[-1，1]上单调递增，且周期为4，则f(x)在区间(3，5)上单调递增，故D正确.命题点2自对称中的中心对称例3(多选)下列说法中，正确的是()A.奇函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x-4)-f(x)=0，则函数f(x)的图象关于点(4，0)对称B.函数f(x)=2xC.函数f(x)=lnx−3D.函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称【答案】AC【解析】对于A，因为f(x-4)-f(x)=0，所以f(x)的一个周期为4，又f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，因为周期为4，所以f(x)的图象也关于点(4，0)对称，A正确；对于B，f(x)=2x−1x+2=2(x+2)−5x+2=2-5x+2，其图象可以由y=-5x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y=-5x的图象关于原点对称，故f对于C，因为f(2-x)=ln2−x−32−x+1=ln−x−1−x所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，C正确；对于D，因为f(x-1)为奇函数，所以f(x-1)=-f(-x-1)，所以f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，D错误.命题点3互对称问题例4已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象()A.关于直线x=1对称B.关于直线x=3对称C.关于直线y=3对称D.关于点(3，0)对称【答案】A【解析】设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称，所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称.【思维升华】(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x)；若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b(2)函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x)；若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b【跟踪训练】2(1)(多选)(2026·茂名模拟)已知函数f(x)=sinx-1sinA.f(x)的一个周期为πB.f(x)的一个周期为2πC.y=f(x)的图象关于点(π，0)对称D.y=f(x)的图象关于直线x=π2【答案】BCD【解析】对于A，因为f(π+x)=-f(x)≠f(x)，所以π不是f(x)的一个周期，A错误；对于B，因为f(2π+x)=f(x)，所以2π是f(x)的一个周期，B正确；对于C，可知f(x)=sinx-1sinx的定义域为因为f(2π-x)=sin(2π-x)-1sin(2π−x)=-sinx+1sinx所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，故C正确；对于D，因为f(π-x)=sin(π-x)-1sin(π−x)=sinx-1sinx所以直线x=π2是f(x)图象的一条对称轴，故D正确(2)(多选)已知函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)=2x−1x−1，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2026(x2026，yA.f(x)的图象关于点(2，2)对称B.g(x)的图象关于点(1，2)对称C.x1+x2+…+x2026=2026D.y1+y2+…+y2026=2026【答案】BC【解析】函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，则有f(-x+1)-2=-f(x+1)+2，即f(-x+1)+f(x+1)=4，又(−x+1)+(x+1)2=1，42=2，所以函数y=f(x)的图象关于点(1，2)对称，无法判断是否关于点(函数g(x)=2x−1x−1=2+1x−1，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，g(x)的函数图象也关于点(f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1，2)对称，不妨设x1<x2<…<x2026，则有x1+x2026=x2+x2025=…=x1013+x1014=2，y1+y2026=y2+y2025=…=y1013+y1014=4，所以x1+x2+…+x2026=2026，C选项正确；y1+y2+…+y2026=4052，D选项错误.抽象函数的性质的综合应用函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题.函数的奇偶性、对称性和周期性三者之间知二可求一，解题中常常需要函数性质之间的相互转化，以及整体代换思想、赋值法等.另外函数的性质还常和导数一起考查，由复合函数的求导法则可知，在函数有意义的前提下，奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数等一些常用结论可快捷解题.典例(1)(多选)(2025·菏泽模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，且∀x∈R，都有f

x+12=f

32−x，定义在R上的函数A.4为f(x)的一个周期 B.f(x)为偶函数C.f'(x)为偶函数 D.f'12=-f'【答案】ACD【解析】由f

x+12=f

32−x，可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以由函数f(x)的对称性可知，f(-x)=-f(x+4)，又周期为4，所以f(x+4)=f(x)，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，B错误；因为f(-x)=-f(x)，两边求导可得-f'(-x)=-f'(x)，即f'(-x)=f'(x)，所以f'(x)为偶函数，故C正确；因为f(x+1)=f(1-x)，则f'(x+1)=-f'(1-x)，令x=-12则f'12=-f'32，故D(2)(多选)(2025·徐州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则下列结论正确的是()A.f(3)=1B.函数f(x)的图象关于直线x=4对称C.函数f(x)在[-6，-2]上单调递减D.若m∈(0，1)，则关于x的方程f(x)-m=0在[0，6]上的所有根之和为4【答案】ACD【解析】f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，又f(x)满足f(x+4)=-f(x)，所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期函数，它的一个周期是8.对于A，由f(x+4)=-f(x)得f(3)=-f(-1)=f(1)=log2(1+1)=1，A正确；对于B，因为f(x)+f(8-x)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)的图象关于点(4，0)中心对称，B错误；对于C，因为f(x+4)=-f(x)=f(-x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则根据f(x)的性质画出函数f(x)的部分图象如图，由图可知，函数f(x)在[-6，-2]上单调递减，C正确；对于D，在区间[0，6]上，y=f(x)与y=m，m∈(0，1)的图象有两个交点，所以关于x的方程f(x)-m=0有两个不相等的实根x1，x2，且两实根关于直线x=2对称，所以x1+x2=4，D正确.【限时训练】（30分钟）一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.函数y=-ex与y=e-x的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称【答案】C【解析】根据两函数图象即可判断出其图象关于原点对称.2.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f

−A.-12 B.-14 C.14【答案】A【解析】由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，于是f

−34=f

34=f

113.(2025·泰州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，且f(x)在[-2，2]上单调递增.设a=f

74，b=f

72，A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a【答案】D【解析】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，则f(x)的图象的一条对称轴是直线x=2，所以f(x)=f(4-x)=-f(-x)，则f(x+4)=-f(x)，则f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)的一个周期是8，所以b=f

72=f

12，c=f(-13)=f(3)=因为f(x)在[-2，2]上单调递增，所以b=f

12<c=f(1)<a=f4.(2025·沧州期末)定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论错误的是()A.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称B.函数f(x)的图象关于点(1，0)对称C.函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称D.函数g(x)的图象关于点(2，0)对称【答案】D【解析】函数f(x+1)的图象向右平移一个单位长度得到函数f(x)的图象，函数g(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，且函数f(x+1)与g(x-1)的图象关于直线x=1对称，所以函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称，故A正确；因为f(x+1)是奇函数，即f(x+1)的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；由函数f(x+1)与g(x-1)的图象关于直线x=1对称，且f(x+1)的图象关于点(0，0)对称知，函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称，所以函数g(x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确，D错误.二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(2026·武汉模拟)已知函数f(x)=2sinx-2cosx，下列说法中正确的是()A.f(x)是周期函数B.f(x)在0，πC.函数f(x)为偶函数D.函数f(x)的图象关于点π4【答案】ABD【解析】对于A，因为f(x+2π)=2sin(x+2π)-2cos(x+2π)=2sinx-2cosx=f(x)，所以f(x)是周期函数，故A正确；对于B，因为y=sinx在0，π2上单调递增，y=cosx在且y=2x在0，π2上单调递增，可知y=2sinx在0，π2上单调递增，y=2cosx在0，π2上单调递减，所以f(x)=2sinx-2cos对于C，f

π4=222-222=0，f

−π4=2−2所以函数f(x)不是偶函数，C错误；对于D，因为f

π2−x=2sinπ2−x-2cosπ2−所以函数f(x)的图象关于点π4，0对称，故D6.(2025·汕头模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=tanπ4xA.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f

43C.f(x)在区间[2023，2025]上单调递增D.当x∈[0，20]时，方程f(x)=33【答案】ACD【解析】由f(x+2)=-f(x)=f(-x)知，f(x)的图象关于直线x=1对称，A正确；所以f

43=f

23=tanπ6奇函数f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)=0，所以f(x)在[-1，1]上单调递增，由f(x+4)=-f(x+2)=f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，又2023=4×506-1，2025=4×506+1，所以f(x)在区间[2023，2025]上单调递增，C正确；画出函数f(x)的图象(图略)，方程f(x)=33在[0，4]上有两根，且两根关于直线x=1对称，所以两根和为2，故f(x)=33在[0，20]上所有根的和为2×(1+5+9+13+17)=90，D三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=.

【答案】2【解析】因为函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x)，所以f即0=8(4+2a+经检验，符合题意，所以a+b=2.8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3-2x，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点.若△OPM的面积为2，则△MNQ的面积为.【答案】22【解析】因为函数y=x3-2x为奇函数，所以曲线C的图象关于原点对称，又两条直线l1和l2均过坐标原点O，则P，Q关于原点对称，M，N关于原点对称，则四边形PNQM为平行四边形.又S△OPM=2，则S△MNQ=22四、解答题(共26分)9.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.(1)证明：f(x)是周期函数；(6分)(2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(6分)(1)【证明】因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+2)=f(2-x)，即有f(-x)=f(x+4)，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，有f(-x)=f(x)，所以f(x+4)=f(-x)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数.(2)【解析】当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，又f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[2，6]时，x-4∈[-2，2]，所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1，所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6].10.(链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2T13)(14分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分)(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)