第二章 §2.5 二次函数与幂函数（原卷版）

第第页第二章函数§2.5二次函数与幂函数【高考考向预测】近三年高考二次函数与幂函数考查频次稳定，二次函数为必考核心内容，广泛融入大小题之中，侧重图像性质、区间最值、含参讨论及方程不等式综合应用，幂函数多以基础小题形式考查图像与简单性质；预测2027年高考将延续该考查模式，二次函数依旧侧重区间值域、恒成立问题与数形结合应用，幂函数侧重基础图像辨识与数值比较，命题注重二者与其他函数知识融合，着重考查分类讨论与数形结合思想。【双基自测●明考向】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=12x12是幂函数.((2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.()(3)二次函数y=a(x-1)2+2的单调递增区间是[1，+∞).()(4)若幂函数y=xα是偶函数，则α为偶数.()2.(2026·唐山模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，则f(4)等于()A.2 B.2 C.16 D.±23.函数f(x)=2x2-x-1(-1≤x≤1)的值域是()A.[0，1] B.−C.[1，2] D.−4.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，-3]上单调递减，则实数a的取值范围是.

【核心梳理●明考点】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，+∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减；④当α为奇数时，y=xα为奇函数；当α为偶数时，y=xα为偶函数.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域4ac−∞对称轴x=-b顶点坐标−b奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在−∞，−b在−b2在−∞，−b在−b21.幂函数的性质(1)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上单调递减.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.2.谨防三个易误点(1)幂函数f(x)=xmn(m，n互质)，当m为偶数时，函数为偶函数；当m为奇数，(2)二次函数在区间单调，求参数取值范围时等号的处理.(3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论.【题型突破●明方向】题型一幂函数的图象与性质例1(1)(多选)下列命题中正确的是()A.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)B.幂函数的图象一定经过第一象限，一定不经过第四象限C.若幂函数y=(m2-m-1)x-m+1在(0，+∞)上单调递减，则实数m的值为2D.“α为奇数”是“幂函数f(x)=xα为奇函数”的充分不必要条件(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的nA.-2，-12，12，2 B.2，12C.-12，-2，2，12 D.2，1【跟踪训练】1(1)(2026·沧州模拟)已知点2，14在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(log23)，b=f(log32)，c=f(5)，则a，b，A.b>a>c B.a>b>cC.b>c>a D.a>c>b(2)(2025·江门模拟)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm的图象关于y轴对称，则f(2m+2)等于()A.12 B.14 C.18题型二二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.【跟踪训练】2已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x=2，且方程f(x)=0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为.

题型三二次函数的图象与性质命题点1二次函数的图象例3(多选)(2025·潮州模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴是直线x=-1，则下列四个结论中，正确的是()A.abc<0 B.a+b+c=0C.3a+c=0 D.4a+c>2b命题点2二次函数的单调性与最值例4(2026·福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1.(1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.【跟踪训练】3(1)二次函数y=x2+(2a-1)x-3在区间[-1，3]上的最大值为1，则实数a的值为()A.-12 B.-C.-12或-13 (2)(2025·宝鸡模拟)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，m]上的值域是[2，3]，则实数m的取值范围是()A.[1，+∞) B.(0，2]C.[2，+∞) D.[1，2]【限时训练】（30分钟）一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限，则α的值可以是()A.-2 B.2 C.12 D.2.(2025·石家庄统考)已知a=215，b=325，A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<a<b3.(2025·苏州期末)设幂函数f(x)=xα，则“α<0”是“f(x)在定义域内单调递减”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2026·郑州模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+1，若∀x∈[-1，2]，都有f(x)<4，则实数a的取值范围是()A.(3，+∞) B.−∞，12C.−1，−145.若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A.f(x)=x3B.f(x)=xC.f(x)=x−D.f(x)=26.(2025·湖南长郡中学模拟)已知二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则a+2c+A.6 B.8 C.10 D.12二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为()8.(2025·金华期末)已知f(x)=xα(α∈R)，则下列说法正确的是()A.当α=3时，f(π)>f(3)B.若函数f(x)的图象与y轴没有交点，则α<0C.当α=12时，[f(x)]2D.若α=2，则对任意实数x1，x2，有f

x1三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2025·昭通模拟)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称，且函数g(x)=f(x)-2ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是.

10.(2026·南阳模拟)若函数f(x)=x2-2x+3在区间[m，n]上的值域为[2，18]，则n-m的最大值为.

四、解答题(共28分)11.(13分)(2025·咸阳模拟)已知函数g(x)=ax2-4ax+1+b(a>0)在区间[1，3]上有最大值4和最小值1.(1)求a，b的值；(7分)(2)若函数g(x)在区间(m-1，2m)上不单调，求实数m的取值范围.(6分)12.(15分)已知幂函数f(x)=(2k-