2025四川单招考试真题数学及答案解析

2025四川单招考试真题数学及答案解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A=1,2,A.1B.2C.2D.12.已知复数z=（其中i为虚数单位），则复数zA.B.C.5D.103.“x>1”是“A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量→a=(1,2)A.2B.−C.D.−5.函数f(A.π，[−+kB.2π，[−+C.π，[−+kD.，[−+kπ6.在等差数列中，若=2，+=16，则该数列的前7项和A.42B.49C.56D.637.不等式5xA.xB.xC.xD.x8.若变量x,y满足约束条件{xyA.1B.2C.3D.49.已知球的直径为4，则该球的表面积为（）A.12B.24C.36D.4810.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率是（）A.B.C.D.11.曲线y=2xA.xB.xC.xD.x12.已知双曲线=1(aA.B.C.2D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算：lo14.若函数f(x)=+2x15.在△ABC中，若角A,B16.已知点P(2,1)是圆+三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B（1）求角B的大小；（2）若b=，求△18.（本小题满分14分）已知等比数列的前n项和为，且=7,=（1）求数列的通项公式；（2）设=lo，求数列·的前n项和19.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=，AD（1）证明：CD（2）求直线PC与平面A20.（本小题满分15分）已知椭圆C:+=1(（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F(1,0)作直线l交椭圆于A,B21.（本小题满分15分）已知函数f(x)（1）当a=1时，求函数（2）若f(x)≤0参考答案及详细解析一、选择题1.答案：B解析：首先化简集合B。解不等式4x因式分解得(x由于二次函数y=4x+3开口向上，且两根为1故B=集合A=求A∩B，即求属于A且在区间A中元素1不在(1,3)内，2在(1,3)内，所以A∩故选B。2.答案：B解析：复数z=。计算复数z分子分母同时乘以分母的共轭复数1+z分母利用平方差公式：(1分子利用多项式乘法展开：(因为=−1，所以分子=2所以z=复数z=a+此处a=|z故选B。3.答案：A解析：判断充分必要条件，需要分别判断两个命题的真假。命题p:命题q:(1)若p成立，即x>1，则>=1，即q成立。所以p⇒(2)若q成立，即>1，解得x>1或x<−1。此时不能保证x>1一定成立（例如x=−2综上所述，“x>1”是“故选A。4.答案：A解析：向量→a=(若→a⊥→数量积公式：→a所以1·即x2=0故选A。5.答案：A解析：函数f((1)求最小正周期T。公式T=，这里ω所以T=(2)求单调递增区间。正弦函数y=sinu令u=−解这个不等式：−−−−所以单调递增区间为[−+k综合选项，故选A。6.答案：C解析：等差数列，公差为d。已知=2由通项公式=+==已知+=(46d求前7项和。公式=n==14故选C。7.答案：A解析：解不等式5x首先求对应方程5x因式分解(x−2因为二次项系数为正，抛物线开口向上。不等式<0表示抛物线在x所以解集为x|故选A。8.答案：D解析：这是一个简单的线性规划问题。约束条件：1.x2.x3.x画出可行域：由x≥0和y≤直线x+y=2与y=直线x+y=2与x轴(原点(0所以可行域是一个三角形，顶点为O(0,0)目标函数z=将三个顶点坐标代入：===比较可知，最大值为4。故选D。9.答案：D解析：球的直径d=半径R=球的表面积公式S=S=故选D。10.答案：B解析：从1,2,==事件A：两个数之和为偶数。两个数之和为偶数有两种情况：(1)两个数都是奇数。(2)两个数都是偶数。在集合1,奇数有1,偶数有2,情况(1)的组合数：==情况(2)的组合数：=1所以满足条件的组合数共有3+概率P(故选B。11.答案：C解析：曲线y=求在点(1首先验证点是否在曲线上：当x=1时，求导数：=(切线的斜率k等于该点处的导数值。k=利用点斜式方程y=yy即xy整理得xyA:xy故选A。（注：选项A正确）。12.答案：C解析：双曲线=1渐近线方程为y=已知一条渐近线为y=x，所以双曲线的离心率e=在双曲线中，=+所以e=代入=：e=故选C。二、填空题13.答案：3解析：lo4表示2的多少次方等于4。因为=4lne是以e为底的对数，所以原式=214.答案：ℝ(或全体实数)解析：函数f(其对称轴为x=二次函数在(−∈f题目要求f(x)无论a取何值，该函数的减区间始终是(−所以a的取值范围是全体实数ℝ。15.答案：4解析：在△ABC所以2B又因为A+B+已知边a=3,由余弦定理=+===所以b=（注：此处计算复核，9+25=34，修正答案：。16.答案：-5解析：点P(2,将点坐标代入圆方程：+4(7−k=（注：重新计算4+修正答案：1。三、解答题17.解：（1）在△ABC所以a=将2b2消去2R2因为A+B+将si2展开右边：2两边减去2s0提取公因式sinCs因为sinC≠q因为B∈(0（2）由正弦定理=2R，得所以a=△ABS=因为A+C=S========因为A∈(0当2A=，即A=时，s所以=。18.解：（1）设等比数列的首项为，公比为q。由题意知：=+==由②得=，代入①：(444设=t，则4解得(2t+3)即q=2或当q=2时，当q=−时，所以数列的通项公式为=1·=或（2）若=：=l设=·求和=(利用错位相减法：=2两式相减（下式减上式）：=====(若=9=l由于涉及负数的对数，此分支在实数范围内通常舍去，除非题目隐含复数背景，但单招数学通常在实数域。故主要考虑第一组解=。综上，=(19.解：（1）证明：在梯形ABCD中，AD/又因为侧面PAD⊥底面A因为AB⊥AD且AB⊂底面因为PA⊂平面PA在△PAD中，P在直角梯形中，取AD中点O，连接PO，则由面面垂直性质定理，PO⊥底面连接OC要证CD几何法：取AD中点E，连接P因为△PAD因为平面PAD⊥平面ABC故PE在梯形ABCD中，AB⊥AD=2,BC=4。取BCCF在△CEFCDDEC+D=修正思路：题目要求证明CD我们来计算→C建立空间直角坐标系。以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP在平面PA(0,0,0)△PAD为等边三角形，边长为2。P在平面yOzPA长度为2，高度为。P(0,1,)（因为→C→P→C这表明题目可能有误，或者我的理解有误。重新审题：“侧面PAD⊥若AB⊥AD，则→PA在平面PA→CD=→C所以→C因为→AB⊥证明：因为AB⊥AD，AB又因为平面PAD⊥平面ABCD，且所以AB⊥平面因为PA⊂平面PA在梯形ABCD中，AD/向量→AB=→A→CC(2,4,A(0,0,显然→CD不平行再次修正：只有当BC=2AD梯形ABCD题目数据：ABA(因为AD//BC，且BC=4，所以C(→CP点坐标：PAD是等边三角形，P在AD中垂线上，高为。P(→P点积→C结论：在此数据下，CD不垂直于P但通常真题是正确的。检查是否C点坐标错了。若AD//BC，A(0,0题目BC=4那么只能假设题目求的是CD⊥平面或者题目是CD→P→C按题目要求强行解答（假设题目正确，可能是CD若CD⊥P设P(0,→C点积2=这意味着P在AB推测题目意图：可能是求线面角。我们直接解答第（2）问。（2）求直线PC与平面A平面ABCD即z向量→P设线面角为θ，则sico所以si20.解：（1）椭圆C:离心率e==，即由=+得(椭圆经过点(0,)所以=3进而3==4所以椭圆方程为+=（2）由（1）知a=点F(设直线l的方程为x=my+1（因为过(1,联立方程{x=代入消元：+3(设A(Δ=+=△OAB|=====所以S=令t=(t≥1S(S(因为t≥1，函数y=所以当t=1时，分母最小，==此时t=1⇒所以△OAB21.解：（1）当a=1时，f(求导：(x因为x>0，所以(x当x>1时，当0<x<所以单调递减区间为(0,1（2）若f(x)即ax≤l设g(x)则问题转化为求a≤(x令(x)=当0<x<当x>e时，所以g(x)注意：题目要求a≤g(x)不等式方向是a≤观察g(x)的图像：g(x)在值域为(−要使a≤g(x)对所有x不，g(x)这意味着不存在实数a使得a≤g(重新审题：f(x)通常这类题是f(x)≥0或者是ax如果题目确实是axln由于li=−修正推测：题目可能是f(x)如果是ax≥l如果题目确为f(可能是x在某个区间？题目说(0那么只能回答“不存在这样的实数a”。但通常考题会有解。让我们检查f(如果a≤0，ax如果题目是f(x)此时a≥鉴于f(x)=axlnxa>0时，(xf(要使f(x)同时还要考虑边界？当x→，ax→所以f(结论：题目极有可能是f(x)若按f(f(当x→，f当