2025-2026学年广东省江门市蓬江区棠下中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省江门市蓬江区棠下中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知函数f（x）在x=x0处的导数为12，则=（）A.-36 B.-4 C.4 D.362.随机变量ξ的分布列如表格所示，其中2b=a+c,则b等于（）ξ-101PabcA. B. C. D.3.公差不为零的等差数列{an}的前为n项和为Sn，若S15=5（a2+a6+ak），则k=（）A.8 B.12 C.16 D.94.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.30种 B.35种 C.42种 D.48种5.（1-2x）（1+3x）4的展开式中x2的系数是（）A.-26 B.26 C.-30 D.306.若函数f（x）=-x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列.则（）A. B. C. D.8.甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用A1，A2，A3表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列错误的是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.一组数据x1，x2，x3，…，x10满足xi-xi-1=2（2⩽i⩽10），若去掉x1，x10后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（）A.极差变小 B.平均数变大 C.方差变小 D.第25百分位数变小10.如图，正方形ABCD的边长为5cm,取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，{an}的前n项和为Sn，则（）

A. B. C. D.11.已知函数f（x）=exln（x+1），则（）A.曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=2x

B.f′（x）在（0，+∞）上单调递增

C.对任意的x1，x2∈（0，+∞），有f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）

D.对任意的x1，x2，x3∈（0，+∞），x1＜x2＜x3，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等差数列{An}的首项为2，公差为8，在{An}中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}，数列{an}的通项公式an=______．13.将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答）14.小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知离散型随机变量X的分布列如表所示：X012P0.251-qq2求：

（1）常数q的值；

（2）E（X）和D（X）.16.(本小题15分)

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-及x=1处取得极值.

（1）求a,b的值；

（2）若方程f（x）=0有三个不同的实根，求c的取值范围.17.(本小题15分)

某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为ξ.

（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率；

（2）求离散型随机变量ξ的分布列与期望.18.(本小题17分)

已知数列{an}的首项为，点（an，an+1）在函数的图象上.

（1）求证：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）若，求数列{bn}的前n项和Sn.19.(本小题17分)

f（x）是定义在R上的连续可导函数，f′（x）是f（x）的导函数，f′（0）=1，且∀x,y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）+ex+y-ex-ey.

（1）求f（0）与f′（1）；

（2）求f（x）的解析式；

（3）关于x的方程f（x）-kx-a=0（k＞0，a＞1）有两个不同的实数根x1，x2，证明：x1+x2＜2lnk.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】2n,（n∈N+）

13.【答案】150

14.【答案】

15.【答案】q=0.5

E（X）=1，D（X）=0.5

16.【答案】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c,得f′（x）=3x2+2ax+b,

∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-及x=1处取得极值，

∴和1是方程3x2+2ax+b=0的两根，则，解得a=-1，b=-1；

（2）由（1）得f（x）=x3-x2-x+c,

f′（x）=3x2-2x-1，结合（1）可知，该函数的零点为，1，

由f′（x）＜0，得＜x＜1，由f′（x）＞0，得x＜或x＞1，

∴f（x）的极小值为f（1）=c-1，极大值为f（）=+c,

若方程f（x）=0有三个不同的实根，只需，

解得-＜c＜1，

∴c的范围是（-，1）．

17.【答案】；

18.【答案】根据题意，点（an，an+1）在函数的图象上，

则，变形可得①，

则，即，

又，所以是首项为2，公差为1的等差数列，

所以，整理得

19.【答案】f（0）=1，f′（1）=e

f（x）=ex

证明：设g（x）=f（x）-kx-a=ex-kx-a，因此g′（x）=ex-k，

结合k＞0，g′（x）＞0⇒x＞lnk，g′（x）＜0⇒x＜lnk，

从而g（x）在（-∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，

又x→-∞，g（x）→+∞，x→+∞，g（x）→+∞，

f（x）-kx-a=0有两个不等实根，因此g（lnk）=k-klnk-a＜0，

设x1＜x2，因此x1＜lnk＜x2，

要证：x1+x2＜2lnk，即证x1＜2lnk-x2，因lnk＜x2，因此2lnk-x2＜lnk，

结合g（x）在（-∞，lnk）上单调递减，

要证x1＜2lnk-x2，即证g（x1）＞g（2lnk-x2），

又g（x1）=g（x2）=0，

要证g（x1）＞g（2lnk-x2），即证：g（x2）＞g（2lnk-x2）⇔