2025-2026学年湖南省衡阳市常宁市第一中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省衡阳市常宁市第一中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数，则|z+i|=（）A.1 B. C. D.32.已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则=（）A.4 B.5 C.6 D.73.“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”.计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（）A.60 B.90 C.120 D.1504.已知l,m,n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若1∥m,l∥α，则m∥α B.若l⊂α，α⊥β，则l⊥β

C.若l∥α，1∥β，则α∥β D.若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n5.某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（）A.95 B.93.5 C.92.5 D.926.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（）A. B. C. D.7.在△ABC中，D为BC的中点，点E在边AC上，且.若AD与BE相交于点P，则=（）A. B. C. D.8.已知正方形ABCD的边长为，将△ABC沿对角线AC翻折，使二面角B-AC-D的大小为，则平面BCD截三棱锥B-ACD的外接球所得截面的面积为（）A. B. C.4π D.8π二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复平面内表示复数（m3-m）+（m2+m）i的点在虚轴上，则实数m的值可以是（）A.-1 B.0 C.1 D.210.为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（）A.样本中日均体育锻炼时长在[60，80）内的学生人数为30

B.样本数据的极差一定小于100

C.样本数据的中位数约为53

D.估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5%11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知c+2acosC-2b=0，a=2，则（）A. B.b-c的取值范围是（-1，2）

C.△ABC周长的最大值为6 D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量与垂直，则tanθ=

.13.如图所示的△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，已知A′B′=4，，则在△ABC中，AC=

.

14.有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设，是两个不共线的向量.

（1）若向量，，的起点相同时，它们的终点共线，求实数k的值；

（2）若，且与的夹角为，t∈R，求的最小值.16.(本小题15分)

某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[40，50），[50，60），…，[90，100]（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中a的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表）

（2）若样本在[60，70）内的平均质量是65克，方差是6，在[70，80）内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差s2.17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AA1，CC1，A1B1的中点，平面D1EF与平面ABCD的交线为l,过A，C，G三点的平面将正方体分成体积为V1，V2的两部分，且V1=kV2（0＜k＜1）.

（1）求l与CD1所成角的大小；

（2）求实数k的值.18.(本小题17分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面是等腰梯形，CD=4，AB=6，AD=BC=2，侧面PCD是等边三角形，H为AB的中点，且PH=3.

（1）求证：PH⊥平面ABCD；

（2）求二面角A-BC-P的余弦值；

（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.19.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知acosC+（2b+c）cosA=0，D为边BC上一点.

（1）求A；

（2）若AD是∠BAC的平分线，a=7，△ABC的周长为15，求AD的长度；

（3）若，AD=kCD，求实数k的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】ABC

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】a=0.030；74

28.2

17.【答案】

18.【答案】证明：在四棱锥P-ABCD中，如图，取CD的中点E，连接PE，EH．

因为△PCD为等边三角形，所以CD⊥PE，

又在等腰梯形ABCD中，H为AB的中点，可知EH为等腰梯形