矩阵二次型题目及答案

矩阵二次型题目及答案考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高三数学

矩阵二次型题目及答案

一、选择题

1.设矩阵A为2阶实对称矩阵，且A的特征值为1和-1，则二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A的规范形为

A.[1,0;0,-1]

B.[1,0;0,1]

C.[0,0;0,0]

D.[-1,0;0,-1]

2.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3通过正交变换化为标准形f=y1^2+5y2^2，则原二次型的矩阵A的特征值为

A.1,2,3

B.0,1,5

C.1,1,5

D.0,0,5

3.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵A的秩为

A.1

B.2

C.3

D.0

4.已知二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3在正交变换下可以化为标准形f=y1^2+4y2^2+7y3^2，则a和b的值分别为

A.a=1,b=2

B.a=2,b=1

C.a=-1,b=-2

D.a=-2,b=-1

5.设矩阵A为n阶实对称矩阵，且A的特征值全为正数，则二次型f(x)=x^TAx对任意非零向量x

A.总是正定

B.总是负定

C.可能正定也可能负定

D.总是半正定

6.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3的矩阵A的特征值之和为

A.6

B.7

C.8

D.9

7.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的正惯性指数为2，负惯性指数为1，则a和b的取值范围分别为

A.a>0,b>0

B.a<0,b<0

C.a>0,b<0

D.a<0,b>0

8.设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3，则二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形为

A.y1^2+2y2^2+3y3^2

B.y1^2+y2^2+y3^2

C.2y1^2+2y2^2+2y3^2

D.y1^2+4y2^2+9y3^2

9.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵A的特征值中有0，则a和b的取值分别为

A.a=0,b=0

B.a=1,b=-1

C.a=-1,b=1

D.a=0,b=1

10.设矩阵A为2阶实对称矩阵，且A的特征值为1和-1，则二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A的惯性指数为

A.(2,0)

B.(0,2)

C.(1,1)

D.(1,0)

二、填空题

1.设二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3对应的矩阵A为

[1,1,1;1,2,2;1,2,3]，则矩阵A的特征值为________，惯性指数为________。

2.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3在正交变换下可以化为标准形f=y1^2+4y2^2+7y3^2，则a和b的值分别为________，矩阵A的秩为________。

3.设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3，则二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形为________，矩阵A的惯性指数为________。

4.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的正惯性指数为2，负惯性指数为1，则a和b的取值范围分别为________，矩阵A的秩为________。

5.设矩阵A为2阶实对称矩阵，且A的特征值为1和-1，则二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A的规范形为________，矩阵A的惯性指数为________。

三、多选题

1.设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3，则下列说法正确的有

A.二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形为y1^2+2y2^2+3y3^2

B.矩阵A的惯性指数为(2,1)

C.矩阵A是正定矩阵

D.矩阵A的秩为3

2.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵A的特征值中有0，则下列说法正确的有

A.a=0,b=0

B.矩阵A的秩为2

C.二次型f可能正定也可能负定

D.矩阵A的惯性指数为(1,1)

3.设矩阵A为2阶实对称矩阵，且A的特征值为1和-1，则下列说法正确的有

A.二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A的规范形为[1,0;0,-1]

B.矩阵A的惯性指数为(1,1)

C.矩阵A是正定矩阵

D.矩阵A的秩为2

4.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3对应的矩阵A的秩为3，则下列说法正确的有

A.二次型f一定是正定二次型

B.矩阵A的特征值之和为6

C.矩阵A的惯性指数为(2,1)

D.矩阵A的特征值中有正有负

5.设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3，则下列说法正确的有

A.二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形为y1^2+2y2^2+3y3^2

B.矩阵A的惯性指数为(2,1)

C.矩阵A是正定矩阵

D.矩阵A的秩为3

四、判断题

1.设矩阵A为2阶实对称矩阵，若A的特征值为1和-1，则二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A是正定矩阵。

2.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3对应的矩阵A的特征值之和为6，则该二次型一定是正定二次型。

3.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的正惯性指数为2，负惯性指数为1，则矩阵A的秩一定为3。

4.设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3，则二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形为y1^2+2y2^2+3y3^2。

5.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵A的特征值中有0，则该二次型一定是半正定二次型。

6.设矩阵A为2阶实对称矩阵，且A的特征值为1和-1，则二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A的惯性指数为(1,1)。

7.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3对应的矩阵A的秩为3，则该二次型一定是正定二次型。

8.设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3，则矩阵A的惯性指数为(2,1)。

9.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的正惯性指数为2，负惯性指数为1，则a和b的取值范围分别为a>0,b<0。

10.设矩阵A为2阶实对称矩阵，且A的特征值为1和-1，则二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A的规范形为[1,0;0,-1]。

五、问答题

1.已知二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3，求其对应的矩阵A，并求矩阵A的特征值和惯性指数。

2.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3在正交变换下可以化为标准形f=y1^2+4y2^2+7y3^2，求a和b的值，并求矩阵A的秩。

3.设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3，求二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形，并判断该二次型是否为正定二次型。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A为[1,0;0,-1]。矩阵A的特征值为1和-1，因此其规范形为[1,0;0,-1]。

2.B

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3对应的矩阵A的特征值之和为1+2+3=6。通过正交变换化为标准形f=y1^2+5y2^2，说明特征值为0,1,5。

3.C

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵A为[1,1,1;1,1,1;1,1,1]。矩阵A的秩为1，因为其行向量线性相关。

4.D

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3在正交变换下可以化为标准形f=y1^2+4y2^2+7y3^2，说明矩阵A的特征值为1,4,7。因此a=2,b=1。

5.A

解析：设矩阵A为n阶实对称矩阵，且A的特征值全为正数，则二次型f(x)=x^TAx对任意非零向量x总是正定。

6.B

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3对应的矩阵A的特征值之和为1+2+3=6。

7.C

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的正惯性指数为2，负惯性指数为1，说明矩阵A的特征值中有两个正数和一个负数。因此a>0,b<0。

8.A

解析：设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3，则二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形为y1^2+2y2^2+3y3^2。

9.D

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵A的特征值中有0，说明矩阵A的秩为2。因此a=0,b=1。

10.C

解析：设矩阵A为2阶实对称矩阵，且A的特征值为1和-1，则二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A的惯性指数为(1,1)。

二、填空题答案及解析

1.1,2,3；(2,1)

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3对应的矩阵A为[1,1,1;1,2,2;1,2,3]。矩阵A的特征值为1,2,3，惯性指数为(2,1)。

2.a=2,b=-1；3

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3对应的矩阵A的特征值为1,4,7。因此a=2,b=-1。矩阵A的秩为3。

3.y1^2+2y2^2+3y3^2；(2,1)

解析：设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3，则二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形为y1^2+2y2^2+3y3^2，惯性指数为(2,1)。

4.a>0,b<0；3

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的正惯性指数为2，负惯性指数为1，说明矩阵A的特征值中有两个正数和一个负数。因此a>0,b<0。矩阵A的秩为3。

5.[1,0;0,-1]；(1,1)

解析：设矩阵A为2阶实对称矩阵，且A的特征值为1和-1，则二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A的规范形为[1,0;0,-1]，惯性指数为(1,1)。

三、多选题答案及解析

1.A,B,D

解析：设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3。二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形为y1^2+2y2^2+3y3^2，矩阵A的惯性指数为(2,1)，秩为3。

2.B,C,D

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵A的特征值中有0，说明矩阵A的秩为2。二次型f可能正定也可能负定，惯性指数为(1,1)。

3.A,B,D

解析：设矩阵A为2阶实对称矩阵，且A的特征值为1和-1。二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A的规范形为[1,0;0,-1]，惯性指数为(1,1)，秩为2。

4.B,C,D

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3对应的矩阵A的秩为3，特征值之和为6。二次型f不一定是正定二次型，惯性指数为(2,1)，特征值中有正有负。

5.A,B,D

解析：设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3。二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形为y1^2+2y2^2+3y3^2，矩阵A的惯性指数为(2,1)，秩为3。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：设矩阵A为2阶实对称矩阵，若A的特征值为1和-1，则二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A不是正定矩阵，而是半负定矩阵。

2.错误

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3对应的矩阵A的特征值之和为6，但该二次型不一定是正定二次型，可能半正定。

3.错误

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的正惯性指数为2，负惯性指数为1，则矩阵A的秩可能为2或3。

4.正确

解析：设矩阵A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1,2,3，则二次型f(x)=x^TAx在正交变换下的标准形为y1^2+2y2^2+3y3^2。

5.错误

解析：若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+ax2^2+bx^3+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵A的特征值中有0，则该二次型可能是半正定或半负定，不一定是半正定。

6.正确

解析：设矩阵A为2阶实对称矩阵，且A的特征值为1和-1，则二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2对应的矩阵A的惯性指数为(1,1)。

7.错误

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3对应的矩阵A的秩为3，但该二次型不一定是正定二次型，可能半正定。

8.正确