历年全国高中数学联赛试题分类汇编九二项式定理计数概率与统计

1981年〜2019年全国高中数学联赛试题分类汇编

计数问题、概率与统计部分

2019A5、在1,2,3,，,，10中随机选出一个数在-1,-2,-3,…,-10中随机选出一个

数人则片+〃被3整除的概率为.

37

♦答案：—

100

★解析：首先数组(。力)有10x10=100种等概率的选法.考虑其中使片+〃被3整

除的选法数M①若。被3整除，则〃也被3整除.此时a1各有3种选法，这

样的(a⑼有

3x3=9组.若〃不被3整除，则/三i(mod3),从而〃三-1(mod3).此时〃有7种

选法，〃有4种选法，这样的(4〃)有7x4=28组.因此N=9+28=37.于是所

求概率为上L.

100

2019A8,将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为

0),则产生的不同的8位数的个数为.

♦答案：498

★解析：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A,记同为A的元素个数。

易知同=5x5!=600.将A中2的后一项是0,且1的后一项是9的排列的全体记为

B；4中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C;A中1的后

一项是9,但2的后一项不是()的排列的全体记为。.易知网=4!,恸+|C|=5!,

|B|+|£)|=4x4!,

即恸=24,|C|=96,画=72.由。中排列产生的每个8位数,恰对应B中的2x2=4

个排列(这样的排列中，20可与“2,0”互换，19可与“1,9”互换).类似地,

由。或。中排列产生的每个8位数，恰对应C或D中的2个排列.因此满足

条件的8位数的个数为

|A\(5UCUD)|+匿也=600-18-48-36=498.

2019B5.将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，护成一个8位数(首位不为

0),则产生的不同的8位数的个数为.

♦答案：95

★解析：易知2,0,1,9,2019的所有不以。为开头的排列共有4x4!=96个.其中，除

了(2,0,1,9,2019)和(201920,1,9)这两种排列对应同一个数20192019,其余的数互

不相等.因此满足条件的8位数的个数为96-1=95.

2019B6.设整数〃>4,的展开式中炉t与邛两项的系数相等，则〃的值

为•

♦答案：51

★解析：注意到1+2”-其中£一4项仅出现在求和指标

'r=O

厂=4时的展开式中，其X一项系数为(-1『0而冷，项仅出现在

求和指标「二〃_1时的展开式中，其盯顼系数为CTCT(-1广，

因此有(-1)4屐=。丁。3(-1尸，注意至“〃>4,化简得-3=(-l)i48,故只能

是〃为奇数且〃-3=48.解得〃=51.

2018A3、将1,2,3,4,56随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f,则nbc+c的是偶数的概率为_

9

♦答案：—

10

★解析：先考虑。反+时为奇数时，mc,珂一奇一偶，①若。儿为奇数，则。也。为1,3,5

的排列，进而为2/1,6的排列，这样共有6x6=36种；②若出?。为偶数，由对称性得，

7?I19

也有6x6=36种，从而出?。+的、为奇数的概率为不=而，故所求为1一记=正

2018B3、将1,2,345,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,.f,则。儿+法疗是奇数的概率为—

♦答案£

★解析：由为奇数时，abc.戊/*一奇一偶，①若。历为奇数，则力,c为1,3,5的

排列，进而d,ej为2,4,6的排列，这样共有6x6=36种：②若。反为偶数，由对称性得，

79I

也有6x6=36种，从而abc+def为奇数的概率为而=后。

2017A6.在平面直角坐标系X。)，中，点集K={(.%)，)|乂)，=-1,0,1},在K中随机取出三个

点，则这三个点中存在两点距离为后的概率为

4

♦答案：->

7At

★解析：由题意得K有9个点，故从中取出三个点共有C；=84种。

将K中的点按右图标记为A,A2，…，4，°，其中有8对点之间的距

离为石，由对称性，考虑取A，4两点的情况，则余下的一个点有

7种取法，这样有7x8=56个三点组（不考虑顺序）。对每个%（i=l,2,…,8）,K中恰有

A-3,AM两点与之的距离为迷（这里下标按模8可以理解），因而恰有｛4，A*,A*｝这8个

三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56—8=48,进而所求的概率为、=一。

847

2017B6、在平面直角坐标系X。），中，点集长=｛（即），）1乂），=-1。1｝，在K中随机取出三个

点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为

♦答案：』

14

★解析：注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C；=84种，

当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：

（I）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，

（2）三点是边长为1,1,&的等腰直角三角形的顶点，有4x4=16种情况，

（3）三点是边长为正,&,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于（0,0）的有4个,

直角顶点位于（±1,0）,（0,±1）的各有一个，共有8种情况.

综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6+16+8=30,进而所求概率为

30=^_

84-14,

2016A4,袋子A中装有2张1Q元纸币和3张1元纸币，袋子E中装有4张5元纸币和3张1元

纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩卜.的纸币面值之和大于8中剩卜.的纸

币面值之和的概率为_________________

♦答案:■

★解析：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值。小于从B中取走的两

张纸币的总面值〃，从而。＜Z?K5+5=10.故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取

法数为C；=3.又此时〃＞。=2,即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有

C；—C；=18种取法.因此，所求的概率为2=工

:要10x2135

2016B5＞将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A,RC,Q,E中，恰有两个球放在同

一盒子的概率为__________________

12

♦答案：—

25

★解析：样本空间中有5,=125个元素.而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为

C；x代=60.过所求的概率为p=丝=丑.

112525

2015A5、在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为

9

♦答案：—

55

★解析：设止方体为ABCD-EFGH,它共有12条棱，从中任意取出3条楼的方法共有G；=220

种.

下面考虑使3条核两两异面的取法数.由于正方体的核共确定3个互不平行的方向（即

AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同

的方向.可先取定AB方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB,则AD方向只能取

梭EH或核FG,共2种可能.当AD方向取楂是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG

Q2

或DH.由上可知，3条梭两两异面的取法数为4X2=8,故所求概率为一=—.

22055

2015B8、正2015边形44…4（心内接于单位圆。，任取它的两个不同顶点儿，A,,

则网+0A,\>1的概率为

4Ke671

♦答案：-----

1007

★解析：因为ROA,|=1,所以

2

|OA+OA,F=|04I+1F+2OAiOAi=2（1+cos</>）.

故|西+西21的充分必要条件是cos<。4，。4>2-7，即向量&的夹角不

超过半.对任意给定的向量。4,满足条件口A+0A,21的向量可的取法共有：

24.2%2015x1342671

x2=1342种，故pAj+OA/21的概率是：p

T"20152015x2014-7667

2014A8、设A3,C,D是空间四个不共面的点，以』的概率在每对点之间连一条边，任意两

2

对点之间是否连边是相互独立的，则4,8可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接

的概率为__________

♦答案：-

4

★解析：母对点之间是否连边有2种可能，共有2“=64种情况。考虑其中A,B可用折线连

接的情况数。有AB边：共种2、=32情况。

①无AB边，但有CD边：此时A,B可用折线连接当且仅当A与C,D中至少一点相连，且

B与C,D中至少一点相连，这样的情况数为Q2—1）（22—1）=9。

②无AB边，也无CD边：此时AC,CB相连有2?种情况，AD,DB相连也有22种情况，

但其中AC,CB,AD,DB均相连的情况重复计了一次，故A,B可用折线连接的情况数

为22+22-1=7。

483

以上三类情况数的总和为32+9+7=48,故A,B可用折线连接的概率为;=?。

644

2014B7、将一副扑克牌中的人小王去掉，在剩下的52张牌中随机地抽取5张，其中至少有两

张牌上的数字（或者字母J,Q,K,A）相同的概率是（要求计算出这个概率的数值，

精确到0.001）

♦答案：0.4929

★解析:记所求事件为，则A的对立事件A为“所抽取的5张牌上的数字各不相同”，我们

来计算司的概率。事件.可以分解成两步：第一步在13个不同数字中抽取5个数字，共有C；3

种取法；第二步给竺个数字涂一种花色每个数字共有4种花色可选，5个数字共有4、种不同

的选择。所以事件入共包含4sxe1。由于在52张牌随机抽取5张的基本事件个数为C1，

_45xC5

于是事件A发生的概率为一1x0.5071,从而尸(A)=1-0.5071=0.4929»

Gz

2013A6、从1,2,…,20中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为

232

♦答案:

323

★解析:

记所取的5个数分别为且6va2<%<%。

若这力.个数互小相邻，WOl<a,<a2-l<a3-2<a4-3<a5-4<16,由此可知，从

1,2,…,20中取5个互不相邻的数的取法和从1,2,…,16中取5个不同的数的取法相同即C3

故所求至少有两个数是相邻的概率为至3=—

G323

2013A8、己知数列｛%｝共有9项，其中％=传=1,且对每个iw｛1,2,…,8｝,均有

也e2,1,-i则这样的数列的个数为_____________

42J

♦答案：491

★解析：记出■=〃，iw｛l,2,…,8｝,则用w«2,1,-L44…％=%=1*

42J6

反之，若符合*的8项数列也〃｝可以唯一确定一个符合题意条件的9项数列｛a,,｝o

记符合条件*的团｝有N个，显然b,ie｛1,2,…出中有偶数个-；，即24个一g：继而有2k

个2,8—软个1,当给定々的值时,也,｝有种，易得及只能取0,1,2,

所以这样的数列团｝共有1+C：C：+C；C：=491.故所求的数列个数为491。

2013A三、(本题满分50分)一次考试共有小道试题，"个学生参加，其中"八〃22为给定

的整数，每道题的得分规则是：若,该题恰有x个学生没有答对，知每个答对该题的学生得x分，

未答对的学生得0分.每个学生得总分为其/〃道题的得分总和南所有的学生总分从高到低排

列为七2八2…2匕，求£+八的最大可能值。

★解析：对任意的％=1,2,•••,〃?，设第攵题没有答对的有勾人，则第々题没有答对的有〃-%

人，由得分规则知，这〃-々.在第4题均得到勺分，记这〃个学生的得分之和为S,则

〃mmtn

2E=s=》式〃-々)=心看-2(XJ

1=1/=1A=lA=1

刖

因为每一个人在第左题上至多得匕分，故

hl

由于匕2^2・・亚匕，故有巴工0+，2+…+P"=土汽

mi(m\2

由柯西不等式的）2>■Tzz

*=|，〃田;

于是，p^p<-----!一

n--〃?(〃-1)+-1)Wm(n-1)

m（n-1）

另一方面，若有一个学生全部答对，其他〃一1个学生全部答错时，匕+2=〃7（〃-1）

综上所述，<+6的最大可能值为"?（〃—1）。

2013B8、将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之「则存在三个同色的顶点

构成锐角三角形的概率为.

247

♦答案：--

256

★解析：若同一种颜色的顶点沟成的凸多边形内部包含正九边形的外接圆圆心，则存在这种

颜色的三个顶点，其构成的三始形也包含圆心，从而这个三角形是锐角三角形。反之，若某

种颜色的顶点包含一个锐角三角形的顶点，则它们所生成的凸多边形就包含了止九边形外接

圆的圆心。这样一来，如果红嫌两色的顶点生成的凸多边形都不包含圆心的话，那么这两种

颜色的顶点分别落在外接圆的半圆中，这种情况发生的仅有的可能是红点是连续的4个顶点,

18247

或者是连续的S个顶点.它们各有9种情况.所以,所求的概率为。=1

29256

2012A8.某情报站有A8,C,。四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都

是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第1周使用A密码，那么第7周也使

用A密码的概率为

,61

♦答案：—

243

★解析：用E表示第攵周用A种密码的概率,则第k周末用A种密码的概率为1-6.

于是，有•，即=由6=1知，｛%一；｝是首项为

公比为一！的等比数列。所以《一L=3（_1）I,即《=3（-故?=包

43人443人434’243

2012B8、•个均匀的正方体散子的各面上分别标有数字1,2,…,6,每次投掷这样两个相同的

骰子，规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数。那么，投掷3次所得3个点数之积

能被14整除的概率是（用最简分数表示）

♦答案：!

3

★解析：考虑一次投掷时，投出的点数是7的概率为乂投出的点数是奇数（偶数）的概

6

率均为L,故投出的点数是奇数但不是7的概率为=-0

2263

在3次投掷中，记”仅有一次投出的点数是7,另外两次至少有一次投出的点数是偶数”为事

件A,则P（A）=C：x，xC^xlxl+lxl二,记“有两次投出的点数是7,另外

612322」24

一次投出的点数是偶数”为事件8,则P(8)=C；]><!=」，显然事件A与事件8互

■⑹224

斥，

故所求概率为P(A)+P(B)=—+—=~.

24243

2011A5、现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每

个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同女排方案数为

♦答案：15000

★解析：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：

(I)有一个项目有3人参加，共有。f-C>5!=3600种方案；

(2)有两个项目各有2人参加，共有3(。》。；)・5!-仁・5!=11400种方案；

所以满足题设要求的方案数为3600+11400=15000.

2011B4,把扑克牌中A2,,/,Q,K的分别看作数字1,2,,11,12,13.现将一副扑克牌中的

黑桃、红桃各13张放在•起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平

方数的概率为.

2

♦答案：乡

65

★解析：从26张牌中任意取出2张，共有Cl=325种取法。牌的花色相同且枳是完全平方

数的有4=1x4,9=1x9,16=2x8,36=3x12=4x9共10对，因此概率为

10_2

325-65

2010AB6、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两个颗，第一个胡两颗骰子点数和大于6者为

胜，否则轮另一个人投掷。则先投掷人获胜的概率为

ie12

♦答案：-

217

★解析：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为二=’，从而先投掷人的获胜概率为

3612

7,5\27,5\477112

121212121212.2517

I-----

144

2009*7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数

之和，最后一行仅有一个数，第一行是前10()个正整数按从小到大排成的行，则最后一个数

是(可以用指数表示)

♦答案：101x298

★解析：易知：(i)该数表共有100行；(〃)每一行构成一个等差数列，旦公差依次为

4=1,=2,=29S

(访)为00为所求。设第〃(〃N2)行的第一个数为凡，则

%=a,i+(a,i+2-2)=2ae+2"-2

n2

=2[2an_2+2"^]+2-

2n2

=2[2an,3+21]+2x2""+2~

=2ZT+3X27

=2”-2+(〃-1)乂2)2

=(〃+1)2”-2

故400=101x298.

2009*8、某车站每天8:OO~9:OO，9：00~1某00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是

随机的，且两者到站体时间是相互独立的，其规律为

到站时刻8:108:308:50

9:109:309:50

概率J_1_2

623

一旅客8:20到车站，则他候车时间的数学期望为（精确到分）

♦答案：27

★解析：解：旅客候车的分布列为

候车时间（分）1030507090

概率111111

2—X——X——X—

3662636

候车时间的数学期望为

10xl+30xl+50x—+70x—+90x—=27

23361218

2008AB3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人

7|

比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为；，乙在每局中获胜的概率为二，

33

且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数4的数学期望是（）

241D266c274、670

A.——B.---C.——D.——

818181243

♦答案：B

★解析：方法一:依题意知，&的所有可能值为2、4、6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束

时比赛停止的概率为彳尸+弓），=3.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各

得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有，（4=2）=工，

D/匕AX，452°D"/4216M52016266

=4）=（—）（—）=——»=6）=（―）=—>故E4=2x—+4x—+6x——=-

99819819818181

方法二：依题意知，J的所有可能值为2、4、6.令人表示甲在第&局比赛中获胜，则4表

示乙在第4局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得

__5

PC=2）=P（A4）+P（A4）=G，

P（&=4）=p（A'AA）+p（44）+aA&AA）+p（A4A4）

=吟伊中耻景

P(^=6)=P(A1A^AJ)+P(A1A2A,A4)+P(AlA2Aj4)+P(A1A2^A4)

=4“(—2)”-(—、)'2=——16

3381

因此母=2x/唱+6x群普

2008AB9、将24名志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同

的分配方法共有种。

♦答案：222

★解析：方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额.如|****|*..*|**|

表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，

由于左右两端必须是“I”，故不同的分配方法相当于24+2=26（个）位置（两端不在内）被2

个“I”占领的一种“占位法”.“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空

隙中选出2个空隙插入“I"，故有CM=253（种）.又在“每校至少有一个名额的分法''中"至少

有两个学校的名额数相同的分配方国有31种.综上知，满足条件的分配方法共有253—31=

222（种）.

方法二：设分配给3个学校的名额数分别为罚、/、与，则每校至少有一个名额的分法数

为不定方程司+占+弓=24的正整数解的个数，即方程N+七+与=21的非负整数解的个数，

它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：H：=C；；=C；3=253.又在“每校至少有一

个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知，满足条件的分

配方法共有253-31=222（种）.

20。7*3、将号码分别为1,2,…,9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相

同。甲从袋中摸出一个球，其号码为放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为。。则使

不等式a-2/?+i（）＞0成立的事件发生的概率等于

♦答案：D

★解析：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。

由不等式。一2〃+10＞（）得如＜。+10,于是,当力=1,2,3,4,5时,每种情形〃可取12…,9

中每一个值，使不等式成立，则共有9x5=45种；当〃=6时，。可取3,4,…9中每一个值,

有7种；当力=7时，。可取5,6,7,8,9中每一个值，有5种；当b=8时，”可取7,8,9中每一

个值，有3种；当人=9时，。只能取9,有1种。于是，所求事件的概率为

45+7+5+3+161

"81=810FTT

2007*12、将2个〃和2个〃共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格-----

内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共

有种。

♦答案：3960

★解析：解：使2个〃既不同行也不同列的填法有=72种，同样，使2个人既不同行

也不同列的填法也有=72种，故由乘法原理，这样的填法共有72?种，其中不符合要

求的有两种情况：2个。所在的方格内都填有〃的情况有72种：2个。所在的方格内仅有1个

方格内填有方的情况有Cl用=16x72种。所以，符合题设条件的填法共有

722—72—16x72=3960种。

2006"2、袋中有8个白球和2个红球，每次从中随机取出1个球，然后放叵II个球，则第4次

恰好取完所有红球的概率为

♦答案：0.0434

★解析;第4次恰好取完所有红球的概率为

xl+Ax2x2xl+m\-xl

=0.0434.

1010101010UoJ1010

2005*7、将关于K的多项式/*）=1一k+/一/+…一79-x”表示为关于），的多项式

g（y）=《）+6）'+。2）'2+…+49）''9+。20）'2°，其中y=X-4,则

+《+。2---*■"19+a20的值为

s521+1

♦答案：——

6

★解析：由题设知，/（X）和式中的各项构成首项为1,公比为-X的等比数列，由等比数列

的求和公式，得：/（X）=（一「」—1二令x=y+4,得g（y）=（>+4）」+1,

-x-1x+1y+5

521+1

取y=1,有《）+6+出+…+。比=g（l）=---•

6

2005*14、（本题满分20分）。

将编号为1,2,3,…,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.

设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如

果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）

★解析：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在

81

圆周上的一个圆形排列，故共有8!种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有二种.

2

下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条

路径，设内,它，…，5是依次排列于这段弧上的小球号码，则

|1—X||+IX|—x2I4---I-II—9H（1—Xj）+（x,—x2）4---F（xx-9）|=|1-91=8.上

式取等号当且仅当1<内v/<•••<£<9,即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排

列.

因此S皎小=2-8=16.

由上知，当每个弧段上的球号｛1,内,匕，…5,9｝确定之后，大到最小值的排序方案便唯一

确定.

在1,2,…，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3,…，8,将它们分为两个子集，元素

较少的一个子集共有+C；+C；+=26种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最

96I

小的唯一排法，即有利事件总数是26A种，故所求概率〃=

o'315

2

2004*5、设三位数〃=Hg，以a,为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这

样的三位数〃有

A.45个B.81个C.165个【）.216个

♦答案：C

★解析：⑴等边三角形共9个：

⑵等腰但不等边三角形：取两个不同数码（设为。/），有36种取法，以小数为底时总能

构成等腰三角形，而以大数为底时，/?<〃<».。=9或8时，b=4,3,2,1,有4x2=8种:

。=7或6时，b=3,2,1,有3x2=6种：。=5或4时，8=2,1有2x2=4种：

。=3或2时，/?=1,有1x2=2种，共有8+6+4+2=20种不能取的值.

所以共有2x36—20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有

52x3=156个三位数。综上知，可取9+156=165种数.选C.

2004*13、（本题满分20分）一项“过关游戏”规则规定:在第九关要抛掷一颗侬子〃次，如果

这〃次抛掷所出现的点数的和大于2”,则算过关.问：

（1）某人在这项游戏中最多能过几关？

（2）他连过前三关的概率是多少？

★解析：

解：。）设他能过〃关，则第〃关掷〃次，至多得6〃点，

由6〃、2"，知，«<4.即最多能过4关.

⑵要求他第一关时掷I次的点数大于2,第二关时掷2次的点数和大于4,第三关时掷3

次的点数和大于8.

42

第一关过关的概率为

63

第二关过关的基本事件有6?=36种，不能过关的基本事件有为不等式x+yW4的正整数

解的个数，有。：=6个（亦可枚举计数：l+2J+2,l+3,2+l,2+2,3+l）计6种，

所以过关的概率为1-£=?；

366

第三关的基本事件有6、种，不能过关的基本事件为方程x+y+z<8的正整数解的总数,

可连写8个1,从8个空档中选3个空档的方法为C；=56种，不能过关的概率处=,，能

过关的概率为1一7'='20；

2727

・•・连过三关的概率为2x9x型=侬

3627243

2002*8、将二项式卜日+土）的展开式按x的降事排列，若前三项系数成等差数列，

则该展开式中”的幕指数是整数的项共有个

♦答案：3

★解析：不难求出前三项的系数分别是

28

V2•—77=1+—-1）

28

।Hr

・•・当〃=8时，，+i=C：（5）'x'（「=0,1,2，…,8）

.・.所以当r=0,4,8时，x的事指数是整数，即有3项。

2002*三、（本题满分50分）在世界杯足球赛前，尸国教练为了考■察A，&,…，A?这七名，准

备让他们在三场训练比赛（每场9（）分钟）都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一

人在场上，并且4,A?,A3，A4每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除，如果每场换人

次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。

★解析：设第i名队员上场的时间为七分钟（i=L2,3,…,7）,问题即转化为：求不定方程

西+々+…+七=270①在条件7|若(，=1,2,3,4)且13氏(j=5,6,7)下的正整数解的级

数。

若(%,修，…，与)是满足条件①的一组正整数解，则应有ZE=7〃?，2Xj=13n(m,neN)

i=ij=5

・•.m,n是不定方程7〃叶13n=270②在条件〃止4且〃23下的一组正整数解。

*.*l(m—4)+13(n—3)=203,令〃?=〃2-4,〃=〃-3有7加+13〃=203③

・•・求②满足条件〃?之4且〃之3的正整数解等价于求③的非兔整数解。

V易观察到7x2+13x(-l)=l,，7x406+13x(-203)=203,

即6°=406,即=-203mo=406是③的整数解

••・③的整数通解为M=406-13k,4=-203+7攵其中ZeZ

令M=406-13620,1=-203+7。之0,解得29<k<3\,

in—29[in-16m—3

取女=29,30,31得到③满足条件的三组非负整数解.：《，、《，、《，

〃=0[n=7[n=14

/zz=33in=20=7

从而得到②满足条件的三组正整数解：1一s、q一，

n-3[n=10[n=17

1)当m=33,n=3时，显然x5=x6=x7=13仅有一种可能，

又设七=7y(Z=1,2,3,4).于是由不定方程y+%+%+%=33有

。；二=cl2=4960组正整数解。

••・此时①有满足条件的C；2=4960组正整数解。

2)在m=20,〃=10时，设匹=7»(i=l,2,3,4),.=7%(j=5,6,7)于是由不定方程

)1+)'2+%+%=20有Cl蛆正整数解，不定方程总+”+M=10有C；组正整数解。

・••此时①有满足条件的G"C；=34884组正整数解。

3)在〃?=7,〃=17时，设巧=7y,(i=l,2,3,4),x.=7j.(J=5,6,7)□于是由不定方

程y+必+%+%=7有C：组正整数解，不定方程%+)%+%=*有G：组正整数解。

・•.此时①有满足条件的CrG；=2400组正整数解。

综上①满足条件的正整数箭的组数为

q+GiC+CC；=4960+34884+2400=42244。

2001*5、若（1+x+Fyooo的展开式为即+4工+生/+…+^3^2000,则

〃0+%+---6998的值为

A.3333B.3666C.3"9D.32001

♦答案：C

★解析：令工=1可得。0+。］+%+。3+…+。2000=^，0°°；

2300G

令产可得为+。⑷+a2a）+ayco+…+。200032_。；

（其中®则。3=1且/+"+1=0）

22

2464000

令尸切？可得4+a^o+a2co+ciyco+…+6/200067=0.

以上三式相加可得3（%+。3+。6+。94---^^1998）=31000

所以即+%+。6+。9+…+《998=3999.

2001*12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同/\A/

一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植/F\/B

物可供选择，则有__________种栽种方案.(x—

.答案：732\E/\c

★解析：考虑A、C、E种同一•种植物，此时共有4x3x3x3=108种方法.口

考虑A、C、E种二种植物，此时共有3x4x3x3x2x2=432种方法.

考虑A、C、E种三种植物，此时共有2x2x2=192种方法.

故总计有108+432+192=732种方法.

2000+8、设册是(3-4)’的展开式中十项的系数(〃=2,3,4「T，则

<32333")

lim—+——+---H---=______.

—生

♦答案：18

★解析：由题意得%=C：3"T.・•・—=18=18xf-!---

于是

akk(k-\)U-lk

25

r(333")..(1I))I。

lun—+--(■•••+—=lim18x--------=18.

f4a,a,a„<2-1kJ.

2000*12、如果⑴a,力,c,d都属于｛1,2,34｝：⑵aw/九Owe,cwd,dwa；(3)。是