复习讲义03 一次函数（原卷版）

专题03一次函数（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型1一次函数与正比例函数定义题型2求一次函数自变量和函数值题型3列一次函数解析式并求值题型4判断一次函数图像题型5利用一次函数图像性质求参数题型6一次函数图像的平移题型7待定系数法求一次函数解析式题型8一次函数与二元一次方程组的关系题型9一次函数与一元一次不等式的关系题型10分配方案问题题型11最大利润问题题型12行程问题题型13梯度计价问题题型14双一次函数应用题型15一次函数几何综合应用题型16一次函数规律探索过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律一次函数与正比例函数的定义能依据定义准确区分一次函数、正比例函数与常数函数基础必考小题，易错点为忽略k≠0的限制条件，混淆函数从属关系一次函数的图像画法与图像特征能使用两点法正确画出一次函数、正比例函数的图像常规基础考点，常结合坐标交点考查，题型以选择、填空为主一次函数的图像与性质能根据k、b的符号判断函数经过的象限及增减性核心重难点，各类题型均会考查，易错点为记错象限分布、增减性规律用待定系数法求一次函数解析式能按照步骤运用待定系数法求解一次函数、正比例函数解析式高频解答考点，命题形式多样，常结合交点、增减性等条件综合考查一次函数与方程、方程组、不等式的综合能结合函数图像求解方程、方程组与一元一次不等式综合拔高考点，侧重数形结合思想，易错点为图像与代数关系理解不到位一次函数的实际应用能将实际问题转化为一次函数模型并完整求解作答期末压轴解答题常考类型，多以行程、计费、销售等生活场景命题，易错点为结果未结合实际检验知识点01一次函数的定义1.一般形式：形如y=kx+b（k、b为常数，且2.核心判定要点：k为一次项系数，必须满足k≠0，若k=0，式子变为y=b，属于常数函数，不再是一次函数；常数项b取值不受限制，当b=0时，函数简化为y=kx，此时为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数；自变量x的次数必须为3.常见易错点：解题时容易忽略k≠知识点02一次函数的图像与性质（一）图像特征一次函数y=kx+b(k≠1.普通一次函数两点法画图步骤：令x=0，解得y=b，得到直线与y轴交点(0,b)；令y=0，解得x=-bk，得到直线与x2.正比例函数图像特点：正比例函数y=kx(k≠0)的图像一定经过坐标原点(0,0)，使用两点法作图时，通常选取(0,0)和（二）函数性质一次函数的图像位置、增减性由系数k、b的符号共同决定。其中k决定函数的增减性，b决定直线与y轴的交点位置。1.当k>0，b>2.当k>0，b=0时，函数为正比例函数，图像经过第一、三象限，y随3.当k>0，b<0时，图像经过第一、三、四象限，y随4.当k<0，b>0时，图像经过第一、二、四象限，y随5.当k<0，b=0时，函数为正比例函数，图像经过第二、四象限，y随6.当k<0，b<0时，图像经过第二、三、四象限，y随补充规律：直线中|k|的数值越大，直线走势越陡峭；|k|的数值越小，直线走势越平缓。知识点03一次函数解析式的求解求解一次函数解析式的核心方法为待定系数法，本质是求出系数k和b的值。1.待定系数法基本步骤：设，设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)；代，将题目给出的点坐标或两组x、y对应值代入解析式，得到关于k、2.常见出题条件：已知图像上两个点的坐标；已知直线与x轴、y轴的交点坐标；已知函数为正比例函数（此时b=0，仅需一组对应值即可求出k）；已知函数增减性（判断k的符号）结合一个点的坐标解题。知识点04一次函数与方程、不等式的关系（一）一次函数与一元一次方程对于一次函数y=kx+b(k≠1.求解方程kx+b=0，等价于求该函数图像与x轴交点的横坐标。2.若已知y=c（c为常数），求解对应自变量x的值，就是求函数图像上纵坐标为c的点对应的横坐标。（二）一次函数与二元一次方程组1.两个一次函数图像的交点坐标，就是由两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解；反之，二元一次方程组的解，对应两个一次函数图像的交点坐标。2.若两个一次函数满足k1=k3.若两个一次函数满足k1=k（三）一次函数与一元一次不等式1.解不等式kx+b>0(k≠0)，等价于求函数图像位于x轴上方部分对应的自变量2.解不等式kx+b<0(k≠0)，等价于求函数图像位于x轴下方部分对应的自变量3.解题技巧：结合函数图像直观分析，注意系数k的符号会影响不等号方向，避免计算失误。知识点05一次函数的实际应用此类题型核心是数学建模，把生活实际问题转化为一次函数问题求解。1.解题完整步骤：审，通读题目，梳理已知量、未知量，挖掘题目中的数量关系；设，设定自变量，结合题意设出一次函数解析式y=kx+b；求，利用待定系数法求出k、2.常见应用场景：行程问题，结合路程、速度、时间建立函数关系；计费问题，包含水电费、通讯费、交通费等分段计费题型；销售利润问题，结合单价、销量、总价、利润列式；生产调配问题，结合工作效率、工作时间、工作量解题。题型1一次函数与正比例函数定义例1．下列函数中，一次函数是（

）A． B．C． D．（，是常数）变式1-1．当________时，函数（是常数）是正比例函数．变式1-2．在中，若y是x的正比例函数，则k的值为______．变式1-3．下列四个函数中是一次函数的是（

）A． B． C． D．题型2求一次函数自变量和函数值例2．已知函数的图象经过点，则的值为（

）A． B． C． D．变式2-1．点在直线上，则代数式的值是______．变式2-2．已知点，在函数的图像上，则_________．变式2-3．如图，如果输入的值为，那么输出的值为__________；如果输出的值为，则输入的值为_________．题型3列一次函数解析式并求值例3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（

）弹簧总长L（）1314151617重物质量x（）A．27 B． C．20 D．变式3-1．已知等腰三角形的周长是28．(1)直接写出底边长y关于腰长x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当底边长为10时，求腰长．变式3-2．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高．变式3-3．已知．(1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式；(2)当或时，求函数值；(3)当时，求自变量x的值．题型4判断一次函数图像例4．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（

）A． B．C． D．变式4-1．若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长之间的函数关系的图象是（

）A． B．C． D．变式4-2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．B．C． D．变式4-3．已知一次函数和，函数和的图象可能是（

）A．B．C． D．题型5利用一次函数图像性质求参数例5．一次函数的图象不经过第四象限，则（

）A．， B．， C．， D．，变式5-1．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是______．变式5-2．一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（）A． B． C． D．变式5-3．已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，；如果，那么的值可以是________（请写出一个符合条件的值）．题型6一次函数图像的平移例6．将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________．变式6-1．在平面直角坐标系中，若将一次函数向右平移3个单位长度可以得到一个正比例函数，则当该正比例函数图象上的点的横坐标为6时，纵坐标为（

）A．9 B．4 C． D．变式6-2．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位得到直线，则值为（）A．1 B． C． D．11变式6-3．将一次函数的图象通过下列操作后，一定不能经过点的是（

）A．关于x轴对称 B．沿y轴向上平移C．沿x轴向左平移 D．沿y轴向下平移题型7待定系数法求一次函数解析式例7．在平面直角坐标系中，将某个一次函数的图象向下平移2个单位后，恰好经过点和，则这个一次函数的表达式为（

）A． B． C． D．变式7-1．已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________．变式7-2．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离（单位：）与所挂物重（单位：）之间满足我们学过的某种函数关系，下表是记录的几组数据，则与之间的函数关系式为（

）00.511.522.55.25810.7513.5A． B． C． D．变式7-3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在函数上．(1)常量与的值分别为：_________，_________；(2)在网格中画出函数的图像．题型8一次函数与二元一次方程组的关系例8．直线与相交于点，则关于x的方程的解是_____．变式8-1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1．(1)求k和b的值；(2)请直接写出方程组的解；(3)若点D在上，且满足，求点D的坐标．变式8-2．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______．变式8-3．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．(1)求b，m的值；(2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______；(3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积．题型9一次函数与一元一次不等式的关系例9．在直角坐标系中，一次函数图象把平面分成上、下两个部分．已知点（，−）在这个函数图象的下面，则的取值范围（

）A． B． C． D．变式9-1．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．变式9-2．已知不等式的解集是，则一次函数的图象一定经过______象限．变式9-3．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题：(1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围；(2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质；(3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）．题型10分配方案问题例10．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元．(1)求A，B两种型号的帐篷的单价；(2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用．变式10-1．为推进“教育强国”战略，某边境县教育局计划为辖区内乡村学校采购一批智慧黑板．现有甲、乙两种型号可供选择，若购买甲型号智慧黑板2块和乙型号智慧黑板1块，共需元；若购买甲型号智慧黑板1块和乙型号智慧黑板2块，共需元．(1)甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别是多少？(2)该县计划购买甲、乙两种型号智慧黑板共块，其中甲型号数量不超过乙型号数量的2倍．由于运输条件限制，每块黑板需额外支付元运费．该县应如何购买，才能使总费用（含运费）最少？并求出最少总费用．变式10-2．科技是第一生产力，随着人工智能的迅猛发展，快递业迎来了技术革命，为了提高工作效率，某仓库购买机器人进行快递分拣的工作．已知1台甲型机器人的费用比购买1台乙型机器人的费用多2万元；用25万元购买甲型机器人的数量和用20万元购买乙型机器人的数量一样多．(1)请问购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价分别为多少？(2)该公司计划购买这两种型号的机器人共10台（每种机器人至少购买2台），已知甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1500件．若使这10台机器人每小时分拣快递数量总和不少于16000件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？变式10-3．今年春节某商家购进A，B两种不同造型的哪吒玩偶．已知购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元．(1)求A，B两种玩偶的进价；(2)由于销售情况较好，商家决定再购进A，B两种玩偶共20个，设总费用为W，若总费用低于340元但不少于329元，那么当A，B两种玩偶分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用．题型11最大利润问题例11．某特产店销售A款臭豆腐挂件和B款酱板鸭挂件．购进50个A款和30个B款，共需940元；购进30个A款和50个B款，共需820元．A款售价20元/个，B款售价15元/个．(1)A、B两种挂件每个的进价分别是多少元？(2)该商家计划购进A、B两款挂件共200个，且A款数量不少于B款数量的，总费用不超过2000元，该商家如何进货能在这批挂件全部售完时获利最大？最大利润是多少元？变式11-1．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店计划从工厂购进长、短两款传统服饰共200件进行销售，进货价和销售价如下表：价格／类别短款长款进货价（元／件）8090销售价（元／件）100120设购进长款服装件，销售总利润元．(1)写出与之间的函数关系．(2)若此次进货总价不高于16800元．服装店应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？变式11-2．菏泽是中国牡丹之都，戏曲、武术、书画之乡，近年来文旅产业蓬勃发展．为响应“传承非遗文化，讲好菏泽故事”的号召，某社区青年创业团队计划销售两款菏泽特色文创产品：A款为牡丹主题手绘折扇，B款为面塑工艺钥匙扣．已知用900元购进的A款折扇与用720元购进的B款钥匙扣数量相同，且每件A款折扇的进价比B款钥匙扣多18元．(1)求A、B两款文创产品每件的进价各是多少元？(2)已知A款折扇每件售价112元，B款钥匙扣每件售价86元．为扩大非遗文化影响力，团队计划再用不超过7550元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，所得利润将全部用于社区非遗体验课的公益活动．请问：怎样进货才能使公益活动的资金（即利润）最大？最大资金是多少元？变式11-3．计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．(1)求柏树和杉树的单价各是多少元；(2)本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？题型12行程问题例12．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题：(1)乙比甲晚出发________，乙提速前的速度是每秒________，________，________；(2)求出何时乙恰好追上甲？变式12-1．小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象．下列说法一定正确的是（

）①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18；③线段所表示的y与x之间的函数表达式为；④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④变式12-2．4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示．(1)分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度．(2)求图2中线段所在直线的函数表达式．(3)当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？变式12-3．4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象．(1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____；(2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围；(3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？题型13梯度计价问题例13．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象．(1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式．(2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？(3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？变式13-1．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：甲商场：所有商品打折；乙商场：一次性购物不超过元不打折，超过元时，超出的部分打折．(1)设原价为元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请直接分别写出与，与之间的表达式；(2)请你按照下表中自变量的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值：x/元/元/元则表格中，，(3)在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象．

(4)根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案（直接写出结论）．变式13-2．中国电力发电量全球第一，为AI竞赛等国家战略提供坚实的能源基础．为节约用电，某市采用“阶梯电价”的方法按月计算电费：不超过200千瓦时，每千瓦时0.5元；超过200千瓦时但不超过400千瓦时，超过部分每千瓦时0.6元；超过400千瓦时，超过部分每千瓦时0.8元．(1)写出电费y（元）与月用电量x（千瓦时）的函数关系；(2)小明家上个月的电费是228元，求小明家上个月的用电量；(3)这个月小明家想把电费控制在160元以下，请你计算出小明家这个月用电量的范围．变式13-3．某景区门口有两个停车场，按停车小时数收费．A停车场，每小时收费3元，B停车场，前3小时收费10元，超过3小时的部分，每小时收费2元．(1)设A停车场停车小时，收费元，B停车场停车小时，收费元，分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围；(2)王老师要停车5小时，选择哪个停车场更省钱？请说明理由；(3)当停车多少小时时，两个停车场收费相差3元？题型14一次函数几何综合应用例14．如图，直线与过点的直线相交于点，与y轴相交于点B．(1)求直线的解析式；(2)点P在直线上，且点P不与点B重合，轴，交直线于点Q．若，求点P的坐标．变式14-1．如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（

）A．B． C． D．变式14-2．如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________．变式14-3．如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴、轴分别交于点、，过点的直线与轴、轴分别交于点、．(1)______，点坐标______，点坐标______；(2)若点、关于点对称，①求直线的解析式；②求的面积；(3)在（2）的条件下，已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标．题型15一次函数规律探索例15．正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________．变式15-1．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______．变式15-2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在轴上，点，，都在直线上，并且，，，分别与轴垂直，，，分别与直线垂直，若，则的面积为__________．变式15-3．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（2025·26八年级下·上海·阶段检测）下列函数中属于一次函数的是（

）A． B．C． D．2．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（

）A． B． C． D．3．（2026·山西大同·三模）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温T（单位：℃）随时间t（单位：）变化的数据，如表：时间0246水温18345066若水温的变化是均匀的，则当水温达到时，所需的时间是（

）A． B． C． D．4．（2025·26八年级下·山西运城·阶段检测）已知关于的不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（

）A．B．C． D．5．（2026·陕西西安·模拟预测）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．（2026·湖南岳阳·二模）点在函数的图像上，则代数式的值等于_______．7．（2025·26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”）8．（2025·26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标．9．（2024·25八年级下·广东广州·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，画函数的图象(1)①列表，②描点，③连线x…012…y……(2)观察图象可知，当x由小变大时，y随x的增大而________；（填“增大”或“减小”）(3)点在这个函数的图象上，则________．10．（2026·陕西安康·一模）浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：供水时间/时02468箭尺读数/厘米618304254(1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数表达式．(2)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（2026·广东惠州·二