复习讲义01 三角形的证明及其应用（原卷版）

专题01三角形的证明及其应用（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01利用三角形的内角和求角度题型02三角形的外角的性质求角题型03三角形内角和与外角和综合问题题型04多边形内角和与外角和问题题型05利用等腰（等边）三角形的性质求解题型06含30°的直角三角形性质的应用题型07利用垂直平分线与角平分线的性质求解题型08全等的性质和HL综合问题题型09垂直平分线与角平分线的综合问题题型10等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律三角形内角和与外角1.掌握内角和定理及外角性质，能进行角度计算与简单证明；2.能结合平行线、角平分线解决角度问题。1.基础必考点，以选择、填空为主；2.常与特殊三角形结合考查，外角性质是解题关键。等腰三角形1.掌握“等边对等角”“三线合一”性质及“等角对等边”判定；2.能解决边长、角度计算与线段、角相等证明，处理分类讨论问题。1.中考核心考点，选择、填空、解答均有涉及；2.压轴题常结合全等三角形考查，“三线合一”是高频易错点。等边三角形1.掌握等边三角形性质（三角均为60∘）及三种判定方法；2.能结合含30∘角直角三角形解决线段倍分问题。1.重点考查判定与性质，常与直角三角形、四边形结合；2.60°角相关计算是必考内容。线段的垂直平分线1.掌握“垂直平分线上点到两端点距离相等”的性质与判定；2能利用性质证明线段相等，理解三角形外心性质。1.基础必考点，选择、填空考查性质应用；2.尺规作图常考，易与角平分线性质混淆。角平分线1.掌握“角平分线上点到两边距离相等”的性质与判定；2.能通过作垂线辅助线解决线段、角相等问题。1.高频综合点，常与垂直平分线、全等三角形结合；2.辅助线“作两边垂线”是解题关键，易忽略“角内部”前提。三角形证明综合应用1.整合特殊三角形、全等三角形知识，规范证明步骤；2.掌握常见辅助线添加方法，解决综合几何问题。1.中考压轴题核心，考查多知识点融合；2.侧重逻辑推理与几何直观，易因步骤不规范、辅助线思路不清失分。知识点01三角形内角和定理与外角1.三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。示例：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=70°；若外角为110°，且与∠B不相邻，则可求对应内角。易错点：外角容易错用“相邻内角”计算-忽略“不相邻”这个关键条件-多个外角叠加时逻辑混乱知识点02等腰三角形的性质与判定1.性质：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）判定：等角对等边示例：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=∠C=70°。易错点：“三线合一”只对顶角、底边成立，乱用在底角上-已知边求边长时，忘记分类讨论（谁是腰、谁是底）-忽略三角形三边关系，直接写解知识点03等边三角形的性质与判定性质：三边相等，三个内角都是60°，具有等腰三角形所有性质2.判定：三边相等；三个角相等；有一个角是60°的等腰三角形示例：等腰三角形有一个角为60°，则该三角形为等边三角形。易错点：把“有一个60°角”直接当判定，忘记前提是等腰三角形-混淆等边三角形与等腰三角形的条件知识点04直角三角形的性质与判定1.两锐角互余；2.勾股定理：a2+b2=c2；3.斜边上的中线等于斜边的一半；4.30°角对的直角边等于斜边的一半；5.判定：有一个直角/两锐角互余/满足勾股逆定理。示例：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，则斜边AB=6。易错点：勾股定理只适用于直角三角形，乱用在任意三角形-分不清“直角边”“斜边”，代错公式-忽略“中线等于斜边一半”的前提是直角三角形知识点05线段的垂直平分线1.性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等2.判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三顶点距离相等示例：点P在AB的垂直平分线上，则PA=PB。易错点：与角平分线性质混淆-作图或证明时，漏写“垂直且平分”知识点06角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等判定：在角内部，到两边距离相等的点在角平分线上3.三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等示例：点P在∠AOB平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。易错点：忘记“距离是垂线段”，随便连线段就说相等-判定时忽略“在角的内部”这一条件-证明跳步，不写垂直直接用性质知识点07全等三角形在证明中的应用判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）用途：证线段相等、角相等、等腰/等边/直角三角形示例：用SAS证明两三角形全等，从而得到对应边相等。易错点：用“SSA”当判定定理-对应顶点、对应边写混乱-条件不足强行证明知识点08反证法（拓展）知识点先假设结论不成立，推出矛盾，从而原命题成立。示例：证明“三角形中至少有两个锐角”，先假设至多一个锐角，推出内角和超180°。易错点：假设写反-推导过程逻辑不严密。题型一利用三角形的内角和求角度解｜题｜技｜巧抓住“内角和180°”列方程：设未知角，用已知角表示其余角，或利用等腰、平行、折叠等条件导出等量关系，巧妙转化后代入求解，注意外角等于不相邻内角和。【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点是射线上一点，，，平分，点在射线上，连接．当垂直于的一边时，的度数为______．【典例2】（25-26八年级上·四川成都·期末）一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上．若，则等于__________．【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°．【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D是的中点，E是射线上的一点，连接，将沿翻折得到，当时，则的度数为______．题型二三角形的外角的性质求角解｜题｜技｜巧巧用“外角等于不相邻两内角和”转化已知角，将分散条件集中到一个三角形中；结合邻补角、角平分线或平行线，先求外角再倒推内角，或设未知数列方程快速求解。【典例1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则________．【典例2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）随着教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的打卡地．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为________．【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______．【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数是__________．题型三三角形内角和与外角和综合问题解｜题｜技｜巧内外角结合时，灵活选用“内角和180°”与“外角等于不相邻内角和”，将条件转化到同一三角形中，通过设未知数列方程，沟通内外角关系，注意外角和恒为360°这一隐含条件。【典例1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点．(1)若，求的度数；(2)求证：．【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，满足，平分，P为线段上的一个动点，过点P作交的延长线于点E．(1)若，，求的度数；(2)当P点在线段上运动时，试探究与，之间的等量关系，并证明．【变式1】（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究．问题背景：已知如图1，凹四边形．初探：(1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由；应用(2)请你直接利用以上结论，解决下面问题．如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______；拓展(3)如图，平分，平分，若，，求的度数．【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合）（1）的度数为，“和谐三角形”（填“是”或“不是”）；（2）若，试说明：是“和谐三角形”；【应用拓展】（3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数．题型四多边形内角和与外角和问题解｜题｜技｜巧抓住内角和公式(n-2)×180°与外角和恒为360°列方程，将边数、内角、外角相互转化，利用相邻内外角互补关系，设未知数求解，注意正多边形各角相等可简化计算。【典例1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________．【典例2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______．【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为________．【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）窗棂是中国传统文化的一种元素，它常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则_______．题型五利用等腰（等边）三角形的性质求解解｜题｜技｜巧运用等边对等角、三线合一及等边三角形各角60°等性质，将边长相等转化为角相等，再结合内角和或外角定理，建立等量关系；常通过作底边中线或高线构造直角三角形求解。【典例1】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是________．【典例2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，D，E是等边两边上的两个点，且，连接与交于点P，过点B作于Q，那么，_________．【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______．【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______．题型六含30°的直角三角形性质的应用解｜题｜技｜巧抓住30°角所对直角边等于斜边一半这一核心，结合勾股定理与含60°角的等边三角形转化，遇30°角常作垂线构造直角三角形，利用边长比例关系快速求解。【典例1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________．【典例2】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，D是的中点，于，若，则________．【变式1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为___________．【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，为的中点，点为线段上一动点．则的最小值为_____．题型七利用垂直平分线与角平分线的性质求解解｜题｜技｜巧垂直平分线到线段两端等距，角平分线到角两边等距，由此转化边长或角相等，常结合等腰三角形及对称性，通过作垂线或连线构造全等，搭建等量关系列方程求解。【典例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________．【典例2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________．【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______．题型八全等的性质和HL综合问题解｜题｜技｜巧先根据已知条件判定全等，再对应边角相等转移条件；HL专用于直角三角形，找斜边与一直角边相等。常需多次全等或结合勾股定理，通过等量代换与方程思想求解。【典例1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点，，于点，，与交于点，．(1)求证：；(2)若，，，求线段的长．【典例2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且．(1)求证：为直角三角形；(2)若，，求的长．【变式1】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）已知：如图，在中，于点为上一点，连接交于点，满足．(1)求证：．(2)若，且，求的值．【变式2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）飞镖是生活中常见的图形．数学课上，李老师和同学们围绕着飞镖图形展开如下探讨：如图1，延长交于点E．【问题发现】（1）延长交于点F，如图2，若，，则的数量关系为：__________；、的数量关系为：__________．【类比迁移】（2）延长交于点F，连接，如图3，若，，，可在上取一点M，使得，连接．求证：．【拓展应用】（3）如图4，若，，请判断的数量关系，并加以证明．题型九垂直平分线与角平分线的综合问题解｜题｜技｜巧同时出现时，分别用垂直平分线得等线段，角平分线得等角与到边等距，常连接对称点构造等腰或全等，将分散条件集中到同一三角形或直角三角形中，建立方程求解。【典例1】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若．(1)求证：平分；(2)已知，求的长．【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．(1)若，求的度数；(2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上．【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点．(1)与垂直吗？证明你的结论．(2)若的面积为21，，，求的长．(3)如图2，若的两边分别与、相交于、两点，且，请写出、、三条线段的数量关系并简要说明理由．【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，求的大小；(3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分．题型十等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题解｜题｜技｜巧先由边等推角等或由角等推边等判定形状，再运用三线合一、对称性及等边三角形各角60°等性质转化条件，常作底边高线或中线，结合方程思想与全等三角形求解。【典例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合）．连接，以点为直角顶点，以为一边作，使，边交于点．(1)求证：；(2)若，求的长；(3)若点是的中点，试判断与是否垂直？请说明理由．【典例2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）等边三角形线段计算的探究：在中，，点E在边上，，，垂足分别为点D、F．【初探】（1）当时，与有什么数量关系，请证明你的猜想．（2）在（1）的条件下，求的长．【再探】（3）在图1中移动，过点C作，交于点P，得到图2，若，求长．【变式1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)．(1)如图，若点在上，且，则的度数是________；(2)如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数；(3)如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积．【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知：在中，，．【初步发现】（1）如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，，连接，，先由边角边证明，从而得到，，所以，进而得到、、之间满足的数量关系是；【深入研究】（2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；【拓展研究】（3）若点D在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的值．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（26-27八年级上·陕西西安·期末）如图，，则的度数是（）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④4．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________．5．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______．6．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为________．7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，．(1)证明：；(2)若，，求长．8．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）几何直观是初中阶段数学核心素养的主要表现之一，也是一种可视化的思维方式．已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接．初步感知（1）如图1，当点在边上时，求的度数．类比探究（2）如图2，当点在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段的数量关系，并说明理由．拓展运用（3）如图3，当点在边的延长线上时，，求线段的长．期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于F，交于E，若，则的长为（

）A．8 B．10 C．12 D．142．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的