复习讲义05 三角形（原卷版）

专题05三角形（期末复习讲义）内容导航明·期末考清把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型一三角形的识别与有关概念题型二三角形的个数问题题型三构成三角形的条件题型四三角形的分类题型五确定第三边的取值范围题型六三角形三边关系的应用题型七三角形内角和定理的证明题型八与平行线有关的三角形内角和问题题型九与角平分线有关的三角形内角和问题题型十三角形折叠中的角度问题题型十一三角形的外角定义及性质题型十二三角形角平分线的定义与性质题型十三画三角形的高题型十四重心的概念题型十五根据三角形中线求长度题型十六根据三角形中线求面积题型十七与三角形的高有关的计算问题过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律三角形的概念与表示能准确描述三角形定义并规范书写三角形符号与名称基础送分考点，多以选择题、填空题形式考查三角形的分类能按照边、角两种标准对三角形正确分类常规基础考点，常结合图形辨析出题，易混淆等腰三角形与等边三角形从属关系三角形的稳定性能区分图形是否具备稳定性，并掌握多边形变稳定的方法高频小题考点，常结合生活实例考查，题型固定、难度较低三角形三边关系会利用三边关系判断线段能否构成三角形、求解第三边取值范围核心必考考点，选择、填空、解答题均有涉及，易错点为忽略三边限制条件、取值范围书写错误三角形内角和定理能运用内角和定理及推论计算三角形内角度数重点考查内容，计算类题型为主，常结合角度比例、直角三角形综合命题三角形外角性质与外角和能利用外角定理进行角度计算与大小比较重难点考点，角度综合计算高频出题，易错点为混淆相邻外角与不相邻内角关系三角形的高、中线、角平分线概念与性质能识别三种线段，熟练运用其几何性质进行推理与计算综合考点，中线常结合面积考查，高易因不同三角形高的位置判断出错知识点01三角形的相关概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。三角形可用符号“△”表示，若三角形三个顶点分别为A、B、C，则记作知识点02三角形的分类1.按边分类三边都不相等的三角形、等腰三角形（包含底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）。2.按角分类锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个内角是直角的三角形；钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。知识点03三角形的稳定性与三边关系一、三角形的稳定性三角形的三条边长确定后，它的形状和大小就固定不变，这一性质就是三角形的稳定性。四边形以及边数更多的多边形不具备稳定性；若想让多边形具备稳定性，可将多边形分割成若干个三角形。二、三角形三边关系基本定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。常用结论：设三角形三边长为a、b、三边关系实际应用1.判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的和大于最长线段即可。2.已知三角形两条边长为a、b，可利用公式|a-3.根据周长计算三角形边长时，若求出多组结果，必须结合三边关系检验，排除无法构成三角形的情况。知识点04三角形的内角与外角一、三角形内角和定理三角形的三个内角相加和为180∘推论：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角相加等于90∘内角和定理应用1.已知三角形其中两个内角度数，可直接求出第三个内角的度数。2.已知三个内角的比例关系，可结合内角和求出每个内角的具体度数。3.在直角三角形中，已知一个锐角度数，就能求出另一个锐角的度数。二、三角形外角相关定理三角形的外角和为360∘三角形外角的性质1.三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和。2.三角形的一个外角，大于任意一个与它不相邻的内角。知识点05三角形的高、中线、角平分线1.三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。几何表示：若AD是△ABC中BC边上的高，则∠图形：主要作用：得到垂直关系、判定直角、计算角度。2.三角形的中线定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。几何表示：若AD是△ABC中BC边上的中线，则BD=CD，且S图形：主要作用：平分线段、平分三角形面积。3.三角形的角平分线定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。几何表示：若AD是△ABC中∠BAC的角平分线，则图形：主要作用：平分角、推导相等角度。题型一三角形的识别与有关概念例1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（

）A． B．C． D．变式1-1．在中，若，则，其依据是___________．变式1-2．在中，边的对角是（

）A． B． C． D．变式1-3．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个．题型二三角形的个数问题例2．图中共有（

）个三角形A．2 B．4 C．6 D．8变式2-1．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（

）个直角三角形．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个变式2-2．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（

）A．36 B．37 C．38 D．39变式2-3．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角．题型三构成三角形的条件例3．下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（

）A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，6，20 D．5，5，11变式3-1．下列各组条件中，不能组成三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，变式3-2．在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（

）A． B． C． D．变式3-3．若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（

）A． B． C． D．题型四三角形的分类例4．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定变式4-1．已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形变式4-2．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”）变式4-3．已知的三边长分别为，，．(1)若，，满足，试判断的形状；(2)若，，且为整数，求的周长．题型五确定第三边的取值范围例5．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个变式5-1．三角形的两边长分别为1和5，则第三条边a的取值范围是________．变式5-2．小明同学计划从一堆木条中取出三根来拼接成一个三角形，若他选择了长度（单位：分米）为3和4的两根木棒，那么第三根木棒的长度不能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式5-3．已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可）题型六三角形三边关系的应用例6．已知某校篮球场和图书馆到校门口的直线距离分别是和，那么篮球场与图书馆之间的直线距离不可能是（

）A． B． C． D．变式6-1．如图，①②是两根细直木棒，现需要将其中一根截成两段，首尾相接搭成一个三角形框架，则下列说法正确的是（

）A．只有截①可以 B．只有截②可以C．截①②都可以 D．截①②都不可以变式6-2．在青少年机器人越野竞赛中，参赛机器人需要沿着三角形赛道完成绕行任务.组委会已经设定好赛道的两条边，长度分别为8米和15米，第三条边的长度为整数．为保证机器人能正常行驶，第三条边的长度不可能是（

）A．10米 B．15米 C．20米 D．25米变式6-3．如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可）题型七三角形内角和定理的证明例7．如图，直线经过点A，，，，(1)________；________；________；(2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？变式7-1．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（

）A．过点作B．延长到，过点作C．过上一点作D．过上一点作变式7-2．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（

）A． B．C． D．变式7-3．（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程．（已作）∴，∴+（两直线平行，同旁内角互补）即∴（等量代换）．题型八与平行线有关的三角形内角和问题例8．实践课上，淇淇利用如图所示的四边形纸片做折纸游戏，其中，，，淇淇将纸片沿对折后点恰好落在上的点处．(1)猜想与的位置关系，并说明理由．(2)求的大小．变式8-1．如图，直线，于点D，若，则等于（

）A． B． C． D．变式8-2．如图，直线、，，则的度数为（

）A． B． C． D．变式8-3．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数．题型九与角平分线有关的三角形内角和问题例9．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________．变式9-1．在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________．变式9-2．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的（为大于1的正整数）倍，则称为“倍角三角形”．例如，在中，，，，可知，所以为“倍角三角形”．如图，直线直线于点，点，分别在射线，上，点在的延长线上．已知，的平分线分别与的平分线所在的直线交于点，．若为“倍角三角形”，则的度数为_____________．变式9-3．如图，在中，和的平分线相交于点．(1)若，求的度数；(2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系．题型十三角形折叠中的角度问题例10．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点．(1)填空：________；(2)求的度数．变式10-1．如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．变式10-2．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（

）A． B． C． D．变式10-3．如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____．题型十一三角形的外角定义及性质例11．一副三角板按如图所示的方式摆放，顶点A，E，C，F在同一条直线上，，，．若，则的大小为（

）A． B． C． D．变式11-1．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，使两个三角尺的斜边平行，则（

）A． B． C． D．变式11-2．如图，与、分别交于点、，则______变式11-3．将含角的直角三角板按如图所示的位置摆放，已知，，则的度数为（

）A． B． C． D．题型十二三角形角平分线的定义与性质例12．如图，是边上的一点，连接，．(1)是的__________；(2)根据图中数据，求的度数．变式12-1．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______．变式12-2．如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分．变式12-3．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？解：∵是的角平分线（已知），∴______．∵（已知），∴____________（两直线平行，内错角相等），∴（等量代换）．∵（已知），∴（），（），∴（等量代换），∴平分．题型十三画三角形的高例13．中边上的高的作法正确的是（

）A．B．C． D．变式13-1．如图，在中，边上的高是（

）A． B． C． D．变式13-2．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（

）A． B． C． D．变式13-3．如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上．(1)画出向上平移6格后的图形；(2)画出的高；(3)直接写出和的关系：_____．题型十四重心的概念例14．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（

）A． B． C． D．变式14-1．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上．变式14-2．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________．变式14-3．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________．题型十五根据三角形中线求长度例15．已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______．变式15-1．如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，．（1）若的周长为，则的周长为_______；（2）若的面积为，则的面积为_______．变式15-2．在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______．变式15-3．已知三边，是边上的中线．(1)求的取值范围；(2)若，求的长度．题型十六根据三角形中线求面积例16．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（

）A．6 B．8 C．10 D．12变式16-1．如图，是的中线．若，则_____．变式16-2．如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（

）A． B． C． D．变式16-3．如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（

）A． B． C． D．题型十七与三角形的高有关的计算问题例17．如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则的面积为________．变式17-1．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________．变式17-2．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是的高，则．当，，时，的长为______．变式17-3．如图，在中，是高，是角平分线，，．求：(1)的度数；(2)的度数；(3)的度数．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．下列长度的4组细木棒中，能摆成一个三角形的是（

）A．1，2，3 B．6，3，5 C．4，4，9 D．2，6，102．若为的三边长，且，则一定是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形3．在中，，，则的度数为（

）A． B． C． D．4．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（

）A． B． C． D．5．脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角的检测示意图，于，于，与交于