清单03 整式的乘法（12个考点梳理＋18题型解读）（原卷版）

清单03整式的乘法（12个考点梳理+18题型解读）清单01同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．清单02幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．清单03同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．清单04单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．清单05单项式乘多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．清单06多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．清单07完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．清单08完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）清单09平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．清单10平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．清单11零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．清单12负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．【考点题型一】同底数幂相乘（）【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式1-1】（22-23七年级下·河北张家口·期中）计算：．【变式1-2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）【阅读理解】阅读下列内容，观察分析，回答问题：Ⅰ．；Ⅱ．；Ⅲ．．【概括总结】通过以上分析，填空：（m、n为正整数）．（1）在上述分析过程中：①所在括号中填______，②所在括号中填______．【应用与拓展】计算：（2）_________；（3）_________；（4）如果x是不等于1的正数，且，求n的值．【考点题型二】幂的乘方运算（）【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）下列运算结果等于的是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则．【变式2-2】（24-25七年级下·河北承德·期中）计算：(1)解二元一次方程组：(2)计算：【考点题型三】幂的乘方的逆用（）【例3】（2025·河北保定·一模）对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（

）A．5 B．6 C．8 D．16【变式3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则（填“”“”或“”号）【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，（m，n是正整数）．求：(1)；(2)．【考点题型四】积的乘方运算（）【例4】（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【变式4-1】（24-25七年级下·全国·单元测试），．【变式4-2】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）计算：(1)；(2)【考点题型五】同底数幂的除法运算（）【例5】（24-25七年级下·河北承德·期中）若“○”代表一种运算，计算的结果是．则“○”中的运算符号为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）【变式5-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，．(1)求代数式的值；(2)若，写出，，之间的关系式并说明理由．【考点题型六】零指数幂（）【例6】（24-25七年级下·河北邢台·期中）计算的结果是（

）A． B．1 C．2025 D．2026【变式6-1】（23-24七年级下·河北邢台·期中）计算：．【变式6-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【考点题型七】负整数指数幂（）【例7】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）计算的结果是（

）A． B． C．8 D．【变式7-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若，，则．【变式7-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知关于，的方程组(1)求该方程组的解；(2)利用（1）求得的结果，计算的值．【考点题型八】计算单项式乘单项式（）【例8】（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）计算：（）A． B． C． D．【变式8-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算．【变式8-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【考点题型九】计算单项式乘多项式及求值（）【例9】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）若规定，则（

）A． B． C． D．【变式9-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）由可以得到单项式乘多项式的法则：单项式与多项式相乘，先用乘，再把所得的积．【变式9-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算是否正确？如有错误，请改正．(1)；_______(2)；_______(3)；_______(4)．_______【考点题型十】计算多项式乘多项式（）【例10】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）已知，则（

）A． B．1 C．2 D．0【变式10-1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算：．【变式10-2】（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）小明在计算“”时，由于马虎，将数m前的“+”抄成“-”，得到的结果为，其结果中的常数项被覆盖．(1)求m的值及被覆盖的数；(2)求原式正确的计算结果．【考点题型十一】多项式乘多项式与图形面积（）【例11】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，边长为，的长方形，它的周长为面积为，则的值为（

）A． B． C． D．【变式11-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知长方形可以按图所示方式分成九个部分，在a，b变化的过程中，下列说法中，正确的有（填序号）．①图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长；②长方形的长宽之比可能为；③当长方形为正方形时，九个部分都为正方形；④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100．【变式11-2】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，某学校有一块长为米，宽为米的长方形地块，其中有两条宽为b米的通道，该校计划将除通道外其余部分进行绿化．(1)用含有a，b的式子表示阴影部分绿化的总面积．（结果写成最简形式）(2)若，，请你计算出阴影部分绿化的总面积．【考点题型十二】（x+p）（x+q）型多项式乘法（）【例12】（22-23七年级下·河北承德·期末）若，则m，n的值分别是（

）A．4， B．，4 C．，18 D．4，7【变式12-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是．【变式12-2】（22-23七年级下·河北沧州·期中）先计算下列各式，再观察，最后解答后面问题：__________；__________；__________；__________；（1）根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则__________；（2）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果①__________；②__________；（3）在计算时，甲把错看成了6，得到结果是：；乙错把看成了，得到结果：．依据上述发现的规律，直接写出__________，__________．【考点题型十三】运用平方差公式进行运算（）【例13】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）下列各式不能用平方差公式的是（） B． C． D．【变式13-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）若，，则．（填，或）【变式13-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）计算：(1)；(2)；(3)（用简便方法计算）；(4)；【考点题型十四】平方差公式与几何图形（）【例14】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（

）A．①② B．②③ C．② D．③【变式14-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）．（1）图①中阴影部分的面积为；（2）图②的面积可以表示为；（3）这验证了平方差公式：．【变式14-2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，将两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形．

(1)若图1中的阴影部分面积为，则图2中的阴影部分面积为________（用含字母a，b的代数式表示）；(2)由（1）你可以得到的等式是________；(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：①若，，则________；②计算：．③解方程：【考点题型十五】运用完全平方公式进行运算（）【例15】（23-24七年级下·河北保定·期中）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【变式15-1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若，，则的值为．【变式15-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：请观察以下算式：①；②；③；……(1)请你写出第④个符合上述规律的算式___________；(2)验证规律：设两个连续奇数为（其中为正整数），请验证它们的平方差是8的倍数；(3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是___________命题．（填“真”或“假”）【考点题型十六】完全平方公式在几何图形中的应用（）【例16】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y（其中）表示小矩形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（

）A． B． C． D．【变式16-1】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为．【变式16-2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）对于一个图形，利用